Генератор случайных процессов

Генератор случайных процессов

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ , содержащий источник шума, первый усилитель, первый сумматор, первьй интегратор, первый линейный преобразователь, коммутатор, отличающийся тем, что, с целью расширения функциональных возможностей генератора путем обеспечения взаимной независимости одномерной плотности распределения слунайного процесса и его корреляционной функции, он содержит переключатель. три усилителя, три нелинейных преобразователя , второй сумматор, второй интегратор и второй линейный преобразователь, выход которого соединен с входами первого, второго и третьего нелинейных преобразователей , выходы которых соединены соответственно с первым, вторым и третьим входами коммутатора, вькод которого соединен с входом первого линейного преобразователя, выход которого является выходом генератора , выход источника шума соединен с входами первого и второго усилителей , выходы которых соединены соответственно с первыми входами пер- 5 вого и второго су 1маторов, выход (Л третьего усилителя соединен с вторым входом второго сумматора, выход первого сумматора соединенс первым входом переключателя,выход которого через первый интегратор соединен с ; входами второго линейного преобразова , теля и четвертого усилителя, выход кото4; рого .соединен с третьим входом рого сумматора, выход которого через второй интегратор соединен с о ;о вторыми входами первого сумматора, и переключателя и с входом третьего усилителя.

(19) (L 1) СОЮЗ СОВЕТСНИХ

СОЦИАЛИСТИЧЕСНИХ РЕСПУБЛИН

4 5)) 4 06 Р 7/58

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

К ABTOPCHOMY СВИДЕТЕЛЬСТВУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР

fl0 ДЕЛАМ ИЗОБРЕТЕНИЙ И ОТНРЫТИЙ (21) 3653944/24-24 (22) 18. 10. 83 (46) 23,02 ° 85. Бюл. )) - 7 (72) N.ß. Îñòðîâñêèé и В. Б. Живетин (71) Казанский ордена Трудового

Красного .Знамени и ордена Дружбы народов авиационный институт им. А.Н.Туполева (53) 681.325(088.8) (56) 1. Авторское свидетельство СССР

N 452841, кл. 5 06 F 7/58, 1973.

2. Авторское свидетельство СССР

Р 646362, кл. G, 06 F 7/58, 1976 (прототип).

3. Нестеренко Б.К. Интегральные операционные усилители. M., "Энергоиздат", 1982, гл. 2. (54)(57) ГЕНЕРАТОР СЛУЧАЙНЪ|Х ПРОЦЕС-

СОВ, содержащий источник шума, первый усилитель, первый сумматор, первый интегратор, первый линейный преобразователь, коммутатор, о т— л и ч а ю шийся тем, что, с целью расширения функциональных возможностей генератора путем обеспечения взаимной независимости одномерной плотности распределения случайного процесса и его корреляционной функции, он содержит переключатель, три усилителя, три нелинейных преобразователя, второй сумматор, второй интегратор и второй линейный преобразователь, выход которого соединен с входами первого, второго и третьего нелинейных преобразователей, выходы которых соединены соответственно с первым, вторым и третьим входами коммутатора, выход которого соединен с входом первого линейного преобразователя, выход которого является выходом генератора, выход источника шума соединен с входами первого и второго усилителей, выходы которых соединены соответственно с первыми входаии первого и второго сумматоров, выход третьего усилителя соединен с вторым входом второго сумматора, выход первого сумматора соединен- с первым входом переключателя, выход которого через первый интегратор соединен с входами второго линейного преобразова: теля и четвертого усилителя, выход которого. соединен с третьим входои второго сумматора, выход которого через второй интегратор соединен с вторыми входами первого сумматора и переключателя и с входои третьего усилителя.

1141409 2

10!

25

35

Изобретение относится к вычисли- "".. тельной технике и может найти применение при статистическим моделировании на аналоговых вычислительных машинах, а также при создании аппаратуры для формирования случайных процессов.

Известно устройство для формирования марковских процессов, содержащее источник нормального белого шума, блок суммирования, блок нелинейного преобразователя и блок интегрирования Г1J.

Недостатком данного устройства является невозможность формирования случайных процессов, имеющих заданный закон распределения и корреляционную функцию, отличную .от экспоненциальной.

Наиболее близким к изобретению техническим решением является генератор случайных процессов, содержащий источник нормального белового шума, блок перемножения, блок суммирования, блок интегрирования, блок нелинейности типа "зона нечувствительности", блок нелинейности типа "ограничение", блок вычитания, блок нелинейного преобразования, два блока извлечения квадратного корня, источник постоянного напряжения, коммутатор и масштабный усилитель, при этом выход источника нормального белого шума соединен с первых входом блока перемножения, выход которого подключен к первому входу блока суммирования, выход которого покдлючен к входу блока интегрирования, выход которого соединен с входом нелинейного блока типа "зона нечувствительности" и входом нелинейного блока типа "ограничение", выходы которых подключены соответственно к первому и второму входам блока вычитания, выход которого, являющийся выходом устройства в целом, соединен с входом блока линейного преобразования и входами первого и второго нелинейных блоков извлечения квадратного корня, выходы к6торых и выход источника постоянного напряжения подключены соответственно к первому, второму и третьему входам коммутатора, выход которого соединен с входом масштабного усилителя, выход которого соединен с вторым входом блока перемножения, второй вход блока суммирования соединен с выходом блока линейного преобразователя (2).

Недостатком известного устройства является невозможность обеспечения взаимной независимости одномерной плотности распределения формируемого случайного процесса и его корреляционной Аункции.

Целью изобретения является расширение функциональных возможностей путем обеспечения взаимной независимости одномерной плотности распределения случайного процесса и его корреляционной функции.

Для достижения поставленной цели в генератор случайных процессов, содержащий источник шума, первый усилитель, первый сумматор, первый интегратор, первый линейный преобразователь, коммутатор, введены переключатель, три усилителя, три нелинейных преобразователя, второй сумматор, второй интегратор и второй линейный преобразователь, выход которого соединен с входами первого второго и третьего нелинейных преобразователей, выходы которых соединены соответственно с первым, вторым и третьим входами коммутатора, выход которого соединен с входом первого линейного преобразователя, выход которого является выходом генератора, выход источника шума соединен с входами первого и второго усилителей, выходы которых соединены соответственно с первыми входами первого и второго сумматоров, выход третьего усилителя соединен с вторым входом второго сумматора, выход первого сумматора соединен с первым входом переключателя, выход которого через первый интегратор соединен с входами второго линейного преобразователя и четвертого усилителя, выход которого соединен с третьим входом второго сумматора, выход которого через второй интегратор соединен с вторыми входами первого сумматора и переключателя и с входом третьего усилителя.

Для пояснения сущности изобретения рассмотрим теоретические основы формирования непрерывного стационарного случайного процесса Z(t) с заданными одномерной плотностью распределения uJ(Z) и корреляционной функцией К (i).

Как известно, большинство распространенных непрерывных одномерных плотностей распределения

Затеи с помощью Лиг. 2 по рассчи- танным В„ и определяют вид подхо. дящего для заданной и (Е) S-распределения.

Далее рассчитывают параметры т и E выбранного S-распределения, используя метод моментов нли условие минимума функционала, характеризующего различие заданного и

10 выбранного распределений, например функционала-вида ехр — — g+q i

123 (Z g)2 7 2 2, j Е(1,2,3) ге 2Е (2) 15

f (Zl- вар — — у+) Ь 7,, (в) 20 где ь, Л, т и — параметры.

Выражение (1) соответствует S —в распределению Джонсона, выражение (2) — В„ -распределению Джонсона, выражение (3) — S -распределению

Джонсона. Выбор подходящего S-распределения Джонсона зависит от величин квадрата коэффициента ассиметрии ехр

Z(t)=i!

1+ехр

+ 1„, (7) p = MÐ )Mç (4)

30 если Z(t) имеет плотность распределения (1), I q™q 4 желаемого стационарного случайного процесса Z(t), подчиненного одно- 35 мерной плотности распределения ы(2)

В выражениях (4) и (5) М,, — второй центральный момент (дисперсия) процесса 2(t), М, и М+ — соответственно третий и четвертый центральный 40 моменты процесса Z(t).

Таким образом, для построения Браспределения Джонсона, соответствующего заданной плотности распределения ы(Z), необходимо рассчитать 45 по формулам (4) и (5) квадрат коэффициента ассиметрии р, и коэффициент эксцесса р,, характеризующие заданную плотность распределения

Ф(Е).,При этом формула для вычисле- 50 ния моментов К, — M имеет вид

M; = ) (Z — m) м (Z)d7., Z м)(7.)62.

ЮФь

Для некоторых плотностей распределения коэдхЪициенты а и р указаны в

1 2 справочной литературе.

v+(t) ()- у („ затем полученный процесс у+(t) подвергают нелинейному преобразованию вида

55 у (ц "р(()> („

1+ ехр(ъ+(tl l

1() 27 (2-Е)(Л-2 E) . 1 2 Р и коэффициента эксцесса

3 = мах ы(2)-f (2,,Ъ, )", E)I ) е (1,2,Э) . ()

Процесс 7.(t), имеющий одно из

$-распределений (1) — (3), может быть представлен как результат нели.нейного преобразования Джонсона некоторого нормального (гауссовского) нормированного процесса y(t):

2ф= — ехр -cape I)+E (eI если Z(t) имеет плотность распределения, (2), z(t)=il exp(")+g ) если Z(t) имеет плотность распределения (3).

Из выражений (7) — (9). видно, что алгоритм формирования каждого

S-распределения один и тот же.

Сначала нормированный гауссовский процесс y(t) линейно преобразуют с целью получения процесса

1141409 или вида

<

<«« С .J... которое получается из формулы (18) при <, = 0.

В результате случайный процесс Z(t) .

25 имеющий желаемые одномерную плотность распределения < < <,/! и корреляционную функцию Kz(i), может быть сформирован путем последовательных преобразований (10), (11) или (12), или (13) и (14) нормированного гауссовского случайного процесса y(t), имеющего (нормированную) корреляционную функцию 9„(<) .

Рассмотрим формирование нормированного гауссовского случайного

35 процесса y(t) с корреляционной функцией 9 (е ). При этом ограничимся рассмотрением лишь таких р„(г), которые описываются выражением

-a(f)

9,(")=е (c«se i+f5si

Z(t) = 3 <1< («" (t)) 1.K < ) 6(1<2<3), (14)

f имеющего требуемое S-распределение.

Для того, чтобы процесс Z(t) имел заданную корреляционную функцию . К2(т), необходимо соответствующим образом выбрать нормированную корреляционную функцию Р„ (е) вспомогательного процесса y(t). Указанный выбор может быть осуществлен в два этапа.

На первом этапе вспомогательный процесс y(t) выражается явным образом через желаемый процесс Z(t) с помощью выражений (7) — (10). Проделав необходимые преобразования, получают:

«() =<1 е<< + У, (1S)

1 если 7.(t) имеет плотность распределения (1), sjtl= pares<(„*< ), (1ы

< Z(t)-Е если Z(t) имеет плотность распределения (2), >(

J (1S) — (17), причем при

j = 1 следует брать правую часть выражения (15) и т.д., 6<. — среднеквадратическое отклонение процесса Z(t)

H„(Z) — полином Эрмита и-ro порядка, у (Z) — нормированная корреля2 ционная Аункция процесса Z(t) .

При практическом проведении расчетов в ряду (18) нужно оставлять лишь несколько первых членов. Это число N может быть получено из условия где с<, м и — параметры. если Z(t) имеет плотность распределения (3) .

На втором этапе по известной корреляционной функции К () и по ниду преобразований (15) — (17) определяют искомую нормированную корреляционную функцию Р„(С) по формуле (1Ь) где

2 ч.(iz)j< (z)c dz,<6<1<<), ФФ (1S i

В таблице приведено несколько наиболее часто встречающихся функций

45 семейства (20).

Можно показать, что гауссовский случайный процесс y(t) с корреляционной функцией вида (20) может быть

50 сформирован как компонента y„(t) двумерного марковского процесса

"у,. (t)( порождаемого следующей сис() т ) темой стохастических дифференциальных уравнений:

«,(t) =«(с)+ь„ (t); (21)

«,ф-а y (t)+oj «ф+ъ (), Ю

14U9 . ожидание m,, дисперсия Ьг, квадрат коэффициента ассиметрйи я и

1 коэффициент эксцесса рг процесса

Z(t), подчиненного плотности (23), 5 имеют следующие значения: 1г = = О 09, следовательно

Z(t) = 0,5/5% (1,937) (25) Чг (b > ° 2) -" 1,937 arcsh (О 5 0), 0,510 р (С) = ехр(-2/t/) (1+0,45 / /) .. ц)(Е) = exP(Z/0,165): 1 0,165 (1 +

+ ехр(Z/0,165)Ц " (23) и корреляционной функции вида

При практических расчетах в выражение (18) подставляют значения р (ь ) функции pz () ° причем

K () = 0 09 exp(2 /г/)(1 + О, 1, 2, . ° ., 60, e= О, "Go — 15 °

+ 0,45 /i/). (24) Интегралы В выражении (1 9) Вычисляют численно.

Плотность (24) называется логистичеь

В результате получают таблицу кой. Известно, что математическое значен " + ". А „(), значений р „(7; ) функции р

7 114 где f (t) — стационарный белый шум, т.е. гауссов белый шум с, нулевым математическим ожипанием и корреляционной функцией К (7)=

Р(т), 1

d"(1 — дельта-функция Дирака, а = -(а + шг)

Z1 У агг = -2а (22)

",. ГГс. - . ) . с. .. ), Ъ = 2(а +pw )(аг + мг) — 2ah

Таким образом, у(г) = у, (t) .При этом нужно помнить, что случайный процесс у (t) (и, следовательно, случайный процесс у() будет иметь корреляционную функцию (20) после установления его стационарности.

Окончательно получаем, что для сформирования случайного процесса

Ф

Z(t) с заданной одномерной плотностью распределения M(Z) и заданной корреляционной Функцией К () необходимо сформировать двумерный гаус/с совский случайный процесс уг) удовлетворяющий системе дифференциальных сравнений (22), компоненту у этого процесса подвергнуть ли1 нейному преобразованию вида (10), результат которогб подвергнуть одному из трех нелинейных преобразований вида (11) — (13), а .результат последнего преобразования подвергнуть линейному преобразованию нида (14) .

При этом параметры,, 1 и

E. линейных (10) и (.14) и одного из нелинейных (11) — (13) преобразований, параметры а, u) и р функции (20 и коэффициенты a21 à2> Ъ1 и bг системы дифференциальных уравнений .(21) рассчитываются заранее.

В качестве примера использования предлагаемого подхода рассмотрим формирование случайного процесса

Z(t) с плотностью распределения вида

Точка А с координатами (0,4.2), вид видно из Фиг. 2, находится в области S„-распределений Джонсона, следовательно, плотность распределения (23) может:быть представлена как плотность S„-распределения

15 Джонсона, т.е. вида (2).

Выберем параметры плотности (2) .

Прежде всего заметим, что в силу центрированности (m, = О) и симметричности (p = 0) плотности (23) не20 обходимо, чтобы параметры г u f плотности (2) равнялись нулю. Оставшиеся параметры и Л плотности (2) выберем из условия минимума функционала (6) с учетом равенства

tu(0) = f,(0, tl, Л ).

Проделав необходимые вычисление, получим = 1,937, Л = 0,5 10.

Таким образом, преобразование, 3Q которому следует подвергнуть вспомогательный нормированный гауссовский процесс y(t) для получения процесса Z(t) с вероятностными характеристиками (23) и (24), имеет вид (см. выражения (14) и (12)

F(y(t) = 0,5/ 4г.(-1 937), Нормированная корреляционная функция у„ (i) процесса у() рассчи45 тывается по формулам (18) и (19).

При этом

1141409

i = О, 1,. "2, ..., 60. Найденные значения аппроксимировались выражением (20). Хорошая точность аппроксимации достигнута минимизацией функ ционала 5

-ы(".)

Эта»)» @»ь»»»,»Я»м)»;))-t» (»;))

1 по параметрам at, w и, в резулв. тате которой получено or = 1.6, ы

О, — произвольно.

При указанных значениях a, м и во-первых, нормированная корреляционная функция р () имеет вид

-16 н (2в} а, во-вторых; коэффициенты (22) системы стохастических дифференциальных уравнений (21) принимают следую- щие значения: а „= -2.56, агг

Ь„= 1.789, Ъ = -2.862.

Следовательно, после установления стационарности компонента у„ двумерного гауссовского случайного процесса (< ), порождаемого систеУ

У, мой стохастических дифференциальных уравнений типа (21), т.е.

y„(t) = у, (t) + 1,789 $ 1t), y2(t) = -2,56 у„(t) — 3,2 yг(t) — 2,862 f 1t), имеет корреляционную функцию (26) .

Подвергнув сформированный таким способом случайный процесс у (t) преобразованию (25), получим случайный 4g процесс Z(t) с желаемыми вероят-.ностными характеристиками (23) и (24).

При формировании случайного процесса предлагаемое устройство обеспечивает взаимную независимость его одномерной плотности распределения и корреляционной функции.

На фиг. 1 представлена функциональная схема генератора, на фиг.2- у плоскость и рг и ее области, 1 соответствующие S-распределениям

Джонсона.

Генератор содержит источник 1 шума, первый усилитель 2, первый сумматор 3, переключатель 4, первый интегратор 5, второй 6, третий 7 и четвертый 8 усилители, второй сумма-, тор 9, второй интегратор 10, второй линейный преобразователь 11, первый

12, второй 13 и третий 14 нелинейные преобразователи, коммутатор 15 и первый линейный преобразователь 16.

Источник 1 шума в каждый момент времени t формирует нормальный белый шум единичной интенсивности (т.е. стандартный белый шум), который подается на первый усилитель 2 с коэффициентом усиления, равным Ь„ (см. систему дифференциальных уравнений (21). Выходной сигнал с первого усилителя 2 поступает на первый сумматор 3, где суммируется с сигналом, поступающим с выхода второго интегра тора 10 и равным уг (см. систему дифференциальных уравнений (21)). Выходной сигнал с первого сумматора

3 поступает на первый вход переключателя 4, который может находиться в одном из двух состояний. В первом состоянии переключатель 4 соединяет выход первого сумматора 3 с входом первого интегратора 5, во втором — выход второго интегратора

10 с входом первого интегратора 5.

В первом случае на вход первого интегратора 5 поступает си:нал, равный у,(t) + Ь„ (г) и представляющий собой в соответствии с первым уравнением системы (21) производную сигнала у„(t) т.е. у„(t). В первом интеграторе 5 происходит интегрирование сигнала, равного у, (t), в результате чего на выходе интегратора

5 формируется сигнал, равный у„(t) т.е. нормированный нормальный процесс, имеющий после установления стационарного состояния корреляционную функцию вида (20). Указанный сигнал поступает на вход линейного преобразователя 11 и на вход четвертого усилителя 8, который по техническому решению эквивалентен первому усилителю 2 и имеет коэффициент усиления, равный а „ (см. систему дифференциальных уравнений (21)). Выходной сигнал с четвертого усилителя 8 поступает на первый вход второго сумматора 9, где суммируется с выходным сигналом с третьего усилителя 7 и с вьиодным сигналом со второго усилителя 6. При этом сигнал с выхода третьего усилителя 7 представляет собой усиленный в а,, раз сигнал с выхода второго интегратора

10, а сигнал с выхода второго усиl2

11414

/ n.

11 лителя 6 представляет собой усилен- ный в Ь раз нормальный белый шум, сформированный источником 1 шума.

Второй 6 и третий 7 усилители по техническому решению эквивалентны 5 первому усилителю 2 и имеют коэффициенты усиления Ь, и а2, соответственно. В результате на выходе второго сумматора 9, который по техническому решению представляет собой 10 операционный усилитель, например, серии К140, К153 и т.п., создается равныи ау„y „(t) + <2 уя (t)+

+ b, ((t) и являющийся в соответствии со вторым уравнением системы 15 (21) производной сигнала у (t), т.е. у, (t) . Во втором интеграторе

10, который по техническому решению эквивалентен первому интегратору 5, происходит интегрирование сигнала, 2р равного у,(t), в результате чего на выходк интегратора 10 создается сигнал, равный у,() и необходимый для формирования сигнала у„(t).

Таким образом, в блоках 1-10 форми- 25 руется сигнал у,(t), который вместе с сигналом у (t) образует решение системы стохастических дифференциальных уравнений (21) .

В том случае, когда переключатель щ

4 находится во втором состоянии (т.е. соединяет выход второго интегратора 10 с входом первого интегратора 5), .сигнал у с выхода второго интегратора 10 поступает непосредственно на вход первого интегратора 5, где происходит его интегрирование ° Данный случай позволяет формировать такие случайные процессы у (t) от рые являются сос-4 тавной частью решения системы дифференциальных уравнений (21), когда в последней Ъ, = О. Это соответствует, например, ситуации, когда корреляционная функция процесса 4 р„() должна иметь вид

Pj=9 СОВЫ7l — Slllu>(Ц).

-a(t j г

1 (О

Вне зависимости от состояния пе- SO реключателя 4 выходной процесс у„(t) с первого интегратора 5 поступает на вход второго линейного преобразователя 11, в котором осуществляется преобразование (10), т.е. формируется сигнал

Линейный преобразователь 11 может быть выполнен в виде аналогового линейного функционального преобразователя (33.

Сигнал у,(t) с выхода линейного

Ф преобразователя 11 поступает одновременно на входы первого 12, второго 13 и третьего 14 нелинейных преобразователей, в которых осуществляются преобразования (11) — (13) соответственно. Нелинейные преобра зователи 12-14 могут быть выполнены в виде нелинейных функциональных преобразователей. Аналоговые блоки таких преобразователей также хорошо известны Г33. Выходные сигналы с нелинейных преобразователей поступают соответственно на первый, второй и третий входы коммутатора 15. Коммутатор 15 в зависимости от своего состояния. соединяет выход одного из трех нелинейных преобразователей

12-14 с входом линейного преобразователя 16, в котором осуществляется преобразование (14), т.е. формируется сигнал

g 1j=gV. (1" (Ц)+Е, j e(1,2,3! где Y. (у"(t) — сигнал с выхода од3 ного из трех нелинейных преобразователей.

Сигнал X(t) на выходе линейного преобразователя 16 является искомым случайным процессом, так как имеет желаемые заранее заданные одномерную плотность распределения и(Е) и корреляционную функцию К (Г) .

Возможность создания устройства для формирования процесса с произвольными одномерной плотностью распределения и корреляционной функцией, задаваемыми независимо друг от друга, расширяет функциональные возможности предлагаемого устройства и сферу его применения.!

114.1409, 1З

-d(Ö, Пример функции y () е " 1 (cos м t + — sin w/ /)

Соответствующие значения параметров выражения (20) 4l= О, - c0 (ð (ao (Ol

1141409

f0

Составитель А.Карасов

Редактор В.Данко Техред М.Кузьма; Корректор.М.Демчик

Заказ 496/36 Тираж 710 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д, 4/5

Филиап ППП "Патент", г. Ужгород, ул. Проектная, 4