Устройство для решения линейных интегральных уравнений (его варианты)

Устройство для решения линейных интегральных уравнений (его варианты)

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Изобретение относится к автоматическому управлению и аналоговой вычислительной технике и предназначено для решения линейных интегральных уравнений : Вольтерра первого рода. изобретения - повышение точности. Устройство по первому варианту содержит сумматор, два функциональных преобразователя, коммутатор , интегратор, блок определения дисперсии шума входного сигнала , блок управления коммутатором и блок формирования модели решения, содержащий интегратор, узел умножения, три масштабирующих узла и сумматор. Указанные совокупности признаков позволяют достигнуть цели изобретения. 2 с.п. ф-лы, 3 ил. (/

@g 4 G 06 С 7/3&

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

:В

ГОсуд Рственньй ЙОмитет сссР ло делАм иэОБРетений и отнРытю

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ (613 926682 (21) 3883276/24-24 (22) 16.04.85 (46) 23.12.86. Бюл. Ф 47 (71) Одесский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт и Институт проблем моделирования в энергетике AH УССР (72) А.Ф.Верлань, В.Ф.Миргород и С.Т.Тихончук (53) 681.32(088.8) (56) Авторское свидетельство СССР

1 1101845, кл. G 06 С 7/38, 1984.

Авторское свидетельство СССР

В 926682, кл. G 06 С 7/38, 1983. (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ЕГО ВАРИАНТЫ) (57) Изобретение относится к автоматическому управлению и аналоговой вычислительной технике и предиаэначено для решения линейных интегральных уравнений:. Вольтерра перво- . го рода. Цель изобретения — повыиение точности. Устройство по первому варианту содержит сумматор, два функциональных преобразователя, коммутатор, интегратор, блок определения дисперсии шума входного сиг" нала, блок управления коммутатором и блок формирования модели решения, содержащий интегратор, узел умножения, три масштабирующих узла и сумматор. Укаэанные совокупности признаков позволяют достигнуть це" ли изобретения. 2 с.п. ф-лы, 3 ил.

1278899 (4) п ь К

F (x(t)g

rye x(t) — значение входной переменной;

F fx(t)J — значение выходной пере менной;

K(t,() — ядро интегрального урав-, нения.

При решении интегральных уравнений с разностным ядром первый функциональный преобразователь 2 представляет собой модель интегрального оператора (динамический линейный преобразователь) и может быть реализован известными способами..

Блок 8 совместно с интегратором

5 предназначен для формирования приближенной (аппроксимационной) модели решения ° В качестве примера приводятся два возможных варианта построения блока 8.

K(p)- х(р) = F(p), gpx(p) = W (р) f Г(р) — К(р)"

xx(y)j (3) 55 где > О, W (р) — передаточная функция корректирующего звена, введенного для ликвидации структурной неусИзобретение относится к автоматическому управлению и аналоговой вычислительной технике, предназначено для устойчивого, приближенного решения линейных интегральных уравне- 5 ний Вольтерра первого рода и являет) ся усовершенствованием известного устройства по авсв. Ф 926682.

Целью изобретения является повы шение точности.

На фиг. 1 представлена блок-схема устройства; на фиг. 2 — структура блока формирования модели решения при аппроксимации линейным дифференциальным уравнением; на фиг. 3то же, нелинейным дифференциальным уравнением.

Устройство для решения линейных интегральных уравнений содержит сумматор 1, первый 2 и второй 3 функциональные преобразователи, коммутатор 4; блок 7 управления коммутатором и блок 8 формирования модели решения ° Блок 8 (фиг. 2) содержит интегратор 9, масштабирующие узлы 10 и 11 и сумматор 12. Блок 8 (фиг. 3), содержит интегратор .13, узел 14 умножения, масштабирующие узлы 15—

17, сумматор 18. Выходом устройства является выход интегратора 5.

Принцип работы устройства основан на динамическом методе регуляции решения некорректно,поставленных задач.

Устройство решает линейное интегральное уравнение Вольтерра. первого рода K (t, о ) x() йь = f(t), (1)

40 которое для разностного ядра K(t,() xx

= K(t-() может быть записано в изображениях Лапласа следующим образом где К(р) =: К(с); х(р) =. x(t)

F(p) =; f(t).

Согласно динамическому методу регуляризации вместо (2) необходимо решать уравнение тойчивости схемы„ выбирается так; чтобы обеспечить устойчивость моделирующей схемы и апериодический характер переходного процесса.

Так, например, передаточную функцию корректирующего звена, удовлетворяющую этим требованиям, всегда можно выбрать в виде дробно-рациональной функции р. к к-л р + а,р +... а„

< P ph + Ъ ph1 + ° ° ° + ) В устройстве в качестве корректирующего звена испопьэуется второй функциональный преобразователь 3, Схема второго функционального преобразователя 3 с передаточной функцией вида (4) может быть построена на основании известных методов.

Первый функциональный преобразователь 2 реализует следующее преобразование:

J K(x, ) x() dC (5)

На фиг. 2 представлен вариант. построения блока 8, который совместно с интегратором 5 формирует модель решения в соответствии с дифференциальным уравнением у=ау +а7; (6)

z=y, где у — приближенное значение (оценка) исходного решения интегрального уравнения (1), которое формируется на выходе интегратора 5;

1278899 а и а . — коэффициенты усиления г масштабирующих узлов 11 и 10 соответственно.

На фиг. 3 представлен другой вариант построения блока 8, когда совместно с интегратором 5 блок 8 формирует модель решения в соответствии с нелинейным дифференциальным уравнением !

О (7)

, =ЬУ +Ь z+b>y>

= У ! где У вЂ” приближенное значение (оценка) искомого решения интегрального уравнения (1), которое формируется в результате решения аппроксимирующего уравнения (7) на выходе интегратора

5;

Ь,, Ьг и b > — коэффициенты усиления масштабируюших блоков 15 — 17.

Устройство работает следующим образом.

На первый вход сумматора 1 поступает входной сигнал f(t), представля- 25 ющий собой смесь полезного сигнала с шумом, а на первый вход блока 7 управления коммутатором — сигнал, пропорциональныЦ величине дисперсии шума входного сигнала Q полученный т на выходе блока 6. Если в процессе решения абсолютная величина небаланса (невязки) решаемого уравнения

r(t) =/ f (t) — I K(t, ) х(с) йС! на о выходе сумматора 1 оказывается больше,. чем б то блок 7 управления коммутатором замыкает коммутатор 4 н верхнее положение и выход второго функционального преобразователя 3 соединяется с входом интегратора 5.Схема интегрирует уравнение (3). При этом (с учетом устойчивости схемы обеспечиваемой соответствующим выбором передаточной функции (4) второго функционального преобразователя 3) рассогласование отрабатывается с малой постоянной времени, определяемой величиной коэффициента в . уравнении (3) (эа счет коэффициента усиления интегратора 5 Ко

=1/(), и величина невязки на ныхо— де сумматора 1 уменьшается. Как только невязка r(t) становится меньше б блок 7 включает коммутатор 4 и нижнее положение и соединяет выход блока 8 с входом интегратора 5.

При этом размыкается контур,включающий в себя блоки — 5 и замыкается контур, включающий блоки 4, 5 и 8, и схема начинает интегриронать уравнение (6) или (7) представляющее собой аппроксимационную модель решения интегрального уравнения (1), построенную HB основе имеющейся априорной информации. В таком режиме устройство работает до тех пор, пока модель ненязки исходного интегрального уравнения (!), получаемая как разность входным сигна- лом f(t) и решением интегрального уравнения, формируемым в соответствии с (6) или (7) и преобразованным первым функциональным преобразователем 2, не превышает порога 6

Как только r(t) становится больше

G коммутатор 4 переключается в верхнее положение, схема снова начинает интегрировать уравнение (3) (замкнут контур, в который вхФдйт блоки 1, 3, 4, 5 и 2), невязка снова уменьшается. Как только модуль невяэки становится меньше б коммутатор (4) снова переключается в нижнее положение и т.д.

При этом все решение на выходе интегратора 5 разбивается на ряд интервалов в общем случае неравной длительности. На каждом иэ этих интервалов решение формируется в соответствии с аппроксимальной моделью (6) или (7). Переход с одного интервала .аппроксимации на другой осуществляется с очень малой постоянной времени контура

1, 3,4, 5 и 2, определяемой большим коэффициентом усиления Кц интеграторов 5. Таким образом, решение интегрального уравнения (1) получается в виде кусочно-полиномиальной функции времени.

В процессе решение интегрального уравнения (1) сигнал ошибки на выходе сумматора не превышает величины б, т.е. на выходе первого функционального преобразователя 2 входной сигнал отслеживается с ошибкой ь не превышающей б, что соответствует уровню неопределенности входного сигнала.

Имеет место предельный переход при отсутствии шумов во входном сигнале 5 = 0;, коммутатор 4 все .время находится н верхнем положении

У устройство моделирует уравнение (3) и при достаточно малэй ) на выходе интегратора 5 образуется точное решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода (1). При этом мо1278899 дель решения (блок 8) в схему ке подключается.

При наличии шума во входном сигнале G > 0 не имеет смысла . ка выходе первого функционального преобразовате-g ля 2 отслеживать этот сигнал с точностью, превышающей дисперсию шума,так как иначе этот шум (вследствие некорректности решаемой задачи) усиливается и может полностью подавить 1О точное решение задачи. Поэтому устройство работает так, чтобы невязка на выходе сумматора I ке превышала величины ? — дисперсии шума входного сигнала. Иначе говоря, 15 сигнал на выходе блока 2 (на в?>?ходе следящей системы) отличается от входного сигнала не более, чем на величину 6 т.е. эти сигналы совпадают с точностью до погрешнос- 20 ти задания входного сигнала.

При этом решение линейного интегрального уравнения Зольтерра первого рода на выходе интегра-ора 5 устойчивое и приближенное и не содер- 25 жит значительной высокочастотной шумовой составляющей. Объясняется это тем, что устройство начинает отрабатывать рассогласование только тогда, когда оно превышает величину шума входного сигнала, следовательно такое рассогласование действительно имеет место относительно входного сигнала, оно не являет.-.я проявлением шума во входном сигнале.

Отметим, что чем больше величина шума во входном сигнале, тем более приближенное решение интегральног0 уравнения получается при этом. При уменьшении погрешности во входном 40 сигнале устойчивое решение интегрального уравнения стремится к точному.

Параметры блока 8, т.е. коэффици- 45 енты усиления масштабирующих блоков

10, 11 или 15 — 17 определяются апр??орко так, чтобы в среднем модель аппроксимировала все множество решений интегрального уравнения. Возможен случай, когда решение точно описывается априорно заданной моделью, которая реализована с помощью блока 8.

Тогда устройство позволяет получить точное решение интегрального уравнения даже при наличии шума ка входе.

Формула изобретени

1. Устройс тво, для решения линейных интегральных уравнений по авт, св. Ф 926682, о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности, оно содержит блок формирования модели решения, вход которого подключен к выходу интегратора, а выход соединен со вторым информационным входом коммутатора, причем блок формирова.ния модели решения содержит интегратор, два масштабирующих узла и сумматор, причем вход блока формирования модели решения соединен с входом интегратора,выход которого соединен с входом перного масштабирующего узла, выход которого соединен с первым входом сумматора, вьгход которого соединен с вьгходом блока формирования модели решения, вход блока формирования модели решения подключен к входу второго масштабирующего узла, выход которого соединен с вторым входом сумматора.

2. Устройство для решения линейных интегральных уравнений по авт.св. Ф 926682, с т л и ч а ющ е е с я тем, что, с целью повышения точности.оно содержит блок формирования модели решения, вход которого подключен к выходу интегратора, а выход соединен с вторым информационным входом коммутатора,причем блок формирования модели решения содержит интегратор, узел умножения, три масптабирующих узла и сумматор, причем вход блока формирования модели решения соединен с входом интегратора,, выход которого соединен с первым входом узла умножения, выход которого соединен с входом первого масштабирующего узла, вьгход которого соединен с первым входом сумматора, выход которого соединен с выходом блока формирования модели решения, выход интегратора соединен с входом второго масштабирующего узла, выход которого соединен с вторым входом сумматора, вход блока формирования модели решекия соединен с вторым входом блока умножекия и входом третьего масштабирующего узла, выход которого соединен с третьим входом сумматора.

1778899

Редактор Г. Волкова Техред Л. Сердюкова Корректор О. Луговая

Заказ 6842(50 Тираж 671 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

Производственно-полиграфическое предприятие, г. Ужгород, ул. Проектная, 4