Устройство для решения дифференциальных уравнений

Устройство для решения дифференциальных уравнений

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для решения дифференциальньЕХ уравнений в частных производных. Цель изобретенияповышение быстродействия устройства. Поставленная цель достигается тем, что устройство содержит блок 1 ввода-вывода, блок- 2 управления, два блока 3i и 32 местного управления, N блоков двунаправленной передачи данных, где N - линейный размер области определения уравнения , N решающих блоков 5i-5, N групп по п и (УУ-|-1)-ю группу из п блоков 6 однонаправленной передачи данных, где п - размерность уравнениями блок 7 вычислений. 11 ил.

СОЮЗ СОВЕТСКИХ

СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ

РЕСПУБЛИК (ц 4 G 06 F 15/328

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Я1

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР

ПО ДЕЛАМ ИЗОБРЕТЕНИЙ И ОТКРЫТИЙ (21) 4104875/24-24 (22) 5.08.86 (46) 23.03.88. Бюл. № 11 (72) В. В. Высочанский, В, Н. Куценко, И. И. Петров и А. И. Яцунов (53) 682.325.5 (088.8) (56) Авторское свидетельство СССР № 620980, кл. G 06 F 15/32, 1978.

Авторское свидетельство СССР № 1104513, кл. G 06 F 7/46, 1984. (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (57) Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано

„„SU„„1383391 A 1 для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Цель изобретения— повышение быстродействия устройства. Поставленная цель достигается тем, что устройство содержит блок ввода-вывода, блок 2 управления, два блока 3i и 3> местного управления, N блоков 4i — 4,, двунаправленной передачи данных, где N — линейный размер области определения уравнения, N решающих блоков 5 — 5,, N групп по и и (N+1)-ю группу из и- блоков 6 однонаправленной передачи данных, где n— размерность уравнения,и блок 7 вычислений, 11 ил.

1383391

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для решения дифферециальных уравнений в частных производных.

Цель изобретения — повышение быстродействия устройства.

На фиг. 1 представлена структурная схема устройства; на фиг. 2 — схема блока управления; на фиг. 3 и 4 — схемы блока местного управления; на фиг. 5 — схема блока двунаправленной передачи данных; на фиг. 6 — схема решающего блока; на фиг. 7 — схема блока однонаправленной передачи данных; на фиг. 8 — схема блока вычислений; на фиг: 9 и 10 — алгоритмы работы устройства; на фиг. 11 — временная диаграмма работы устройства.

Устройство содержит блок 1 ввода-вывода, блок 2 управления, первый 3i и второй 3> блоки местного управления, Л блоков 41 — 4,, двунаправленной передачи данных, N решающих блоков 51 — 5„N групп блоков 6i— б„ однонаправленной передачи данных, блок 7 вычислений, системные выходные шины 8, системные входные шины 9, входные шины 10 блока 3 местного управления, выходные шины 11 блока 3 местного управления, выходные шины 12 решающего блока 5, входные шины 13 решающего блока 5, первые выходные шины 14 блока 7, первые входные шины 15 блока 7, вторые входные шины 16 матричного вычислителя 7, вторые выходные шины 17 матричного вычислителя 7.

Блок 2 управления может быть выполнен по известной схеме, и содержит узел 18 памяти, регистр 19 адреса, буфер 20 вводавывода, счетчик 21 команд, регистр 22 команд, буферный регистр 23, дешифратор 24 команд, узел 25 синхронизации.

Блок 3 местного управления может быть выполнен по известной схеме и содержит узел 26 памяти, регистр 27 адреса, буфер 28 ввода-вывода, счетчик 29 команд; регистр 30 команд, буферный регистр 31, дешифратор

32 команд, узел 33 синхронизации, элемент

И 34, дешифратор 35 адреса, элемент И 36, группу ключей 37, регистр 38 вывода, регистр 39 ввода, группу ключей 40, элемент

И 41, элемент И 42, дешифратор 43 адреса.

Блок 4 двунаправленной передачи данных может быть выполнен по известной схеме и содержит регистр 44 вывода, группу клк)чей 45, элементы И 46 и 47, группу ключей 48, регистр 49 ввода, элемент И 50, дешифратор 51 адреса, дешифратор 52 адреса, элемент И 53.

Решающий блок 5 может быть выполнен по известной схеме и содержит регистр 54 результата, узел 55 синхронизации, регистр

56 второго операнда, регистр 57 первого операнда, дешифратор 58 команд, счетчик 59 команд, сумматор 60, регистр 61 команд, регистр 62 адреса, регистр 63 частичного

1(ант а ) аЯао аФ

Ке дх ду ду дх д хну й+д e „(б) дх ду (а) 30

+1 ф= — Q(x, g, z), (в) удовлетворяющей на д 0 условиям прилипания и непроницаемости: ,р=О; <=0; (2) ди

1) условиям первого рода (3) T=Tp

45 на границе охлаждения;

2) второго рода

W„=0 (n=l, 2, 3) (4) для боковых поверхностей параллелепипеда.

50 Для системы (1) исходными являются первое и второе уравнения, с помощью которых определяются конвективные члены (V= — и V= ), а результатом решения

Э ф ду ах распределение температур (Т) в области D.

Введя в область D разностную сетку и заменив производные разностными отношениями, т. е. для аппроксимации оператора результата, группу ключей 64, узел 65 памяти.

Блок 6 однонаправленной передачи данных может быть выполнен по известной схеме и содержит регистр 66, группу ключей 67, элементы И 68 и 69, дешифраторы 70 и 71 адреса.

Блок 7 вычислений может быть выполнен по известной схеме и содержит группу решающих блоков 72 (выполненных аналогично решающему блоку 5), группу блоков

73 двунаправленной передачи данных и две группы входных и выходных шин 74, 75 и 76, 77 блоков 73.

Устройство работает следующим образом.

15 В исходном состоянии устройство подготовлено к работе, т. е. в узел 18 памяти блока 2 управления записаны через блок 1 ввода управляющие программы, в узел 26 памяти блоков 3i и 3 местного управления записаны блоком 2 управляющие программы, 20 массивы коэффициентов, начальные и граничные условия, а в узлах 65 памяти решающих блоков 5 и 72 записаны управляющие и прикладные программы.

Рассмотрим работу устройства на приме25 ре решения задачи о стационарном течении вязкой жидкости, в терминах безразмерных переменных «функция тока — вихрь», в ограниченной области D, которая описывается системой дифференциальных уравнений

1383391

Лапласа используем пятиточечную схему, а первые производные аппроксимируем центральными разностями, получим для первого уравнения системы (1) !!!!+1, — 2а!!+!1!! I, lPij+I — 2в1,1+а!, I 5 !2 У

А +" "+В " " — О

2h„ 2h„ где Ац= — Яе /1,1, В1,1= — ReV;, (5) 1О

Составляющие вектора скорости / и выражаются следующим образом через ф:

1к!j + 1 Qi,j — 1 !IiIi+ 1,j ф! — 1,!

V,= — — (6)

Для второго уравнения системы (1) получим

Pi+I. — 2ф1,,+ф! 1, ф!»! — 2ф;,!+.ф,;

2 2

Т,- ...— Т... Т;,;,,— Т...,,1 — — )+ ь„; ь„;

Т;,;,— Т;;

hz,! — 1

2Л, (Ti, I — Ti. l

hzl+ hzI — I hzc

+ i+I,j — I,j + V i.j+I i,j+

Т вЂ” Т

26„6„;

Т;,; — Т;, + — — -)= — q ii ь„,, (8) с условиями ф1,!.— — 0; ф!.! 1,1= ф 1,;, ф1,! 1=ф,; — 1,,i = I, N, j=l, ..., М, l=l, L, Т/j=p=Tp, Т,,,—

=Т; 1,;,1, T;; l+I=T;; l

Для решения системы разностных уравнений (5) и (7) используем метод оптимальной релаксации, в соответствии с которым имеем для (5):

c!) 1 (11 а1 — +4+2(I С,;1+! 4;l) X ((! +lспl с! ) !0 1,!+(1+ с!!l с j) +1 j+

+(I+ldijl !!)„4.1 -!+(1+ 4+ 4)" + = 5P а для (7) (I 0) 55 где С1,1= — Reh„V;;, d;j= Reh„V;,j а !

L1 — оптимальный коэффициент релаксации х Ь„

= — !pi j .. (7)

Для третьего уравнения системы (1) используем аппроксимацию Самарского. В итоге получим

Т!.! 1,ji — 2Тс1,!+Т! jl 2Лу 25

Значение вихря на границе представляется в виде !

1!"=а f(g )+(1 — а1)(о,". (ll) где а! — параметр релаксации; (ф ) — зависимость между вихрем на границе и функцией тока вида! (ф")— = pi,"=(I — 2а )ф1,1+а ф!"!!+ аф1,z, (12) где а2 — параметр сглаживания, значение модуля которого

la I(I.

Для уменьшения невязки решения третьего уравнения системы (1) и избавления сеточных параметров применим метод разделения переменных с использованием БПФ.

Для этого перепишем (8) следующим образом: (Л„+- ",- V ) 6+1; l — 2Л„Т!,; i+ (Л, + w z 1, ) Х

X Ti — I,j — I,l+а!,IÒl j,l+ fkj !Тк! 1- 1,1-! !+у!,!Х

X T;,; — 1,i — 1 рО.;,;,i, (13) где р=й„, а;,1= — (2Л,+/1, (/Г!+И! I+Ri+

+Ri — !)), P; l=hx(Ri+Ri), у1,1=ЙК; 1+ Ri — 1).

2l +h„ V / 1 — — — — ††††) R

Ь„; Ь„+hy, @„-, где Ь1,, l — — g 2 — Яс! !sin<" -, I

1(1аЛ вЂ” 1.

Подставим (14) и (13), получим л/г 0+1)

Х(Л„+- " /) (ak; l(sin — — + к= " Nz . й(! — 1), т и

sin —: — !+а;,!Qk, l Sin — -+ р j.!elk.j+ I,!+ I Х

Мк N, Ф

Фк-!

Xsin — +у!.!а„; 1,! . !sin „— Р. Ь .;, Х

Х к=!

Х sin%)-"

h„ (!5) Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках в (15), придем к соотношению Р1,1 k,l < I,l+ I+ 4,; 1 k.,,i+ Ók,;,!а1,,i

=P6k,j,1, где Л ; i=L, !+2(Л„+ —" V )cos +

+ ! !! . ÓI-1 h jj+ yj-1 ze liz,f+IIe,е-1

2Л, 1

Ri — 1= — — (— — — — )

hz,i — 1 2,!+К,! — 1

Точное решение конечно-разностного уравнения (13) представим в виде разложения по собственным функциям, содержащего конечное число членов в виде:

М! . Л

T;;,l=Zak,j,!sin" —;; Q;,j1=ХЬ1,,;,!з!и- - -, (l4) к NÄ к! Aк

1383391

Алгоритм решения задачи включает следующие этапы:

1. Загрузка исходных данных из блоков

3 и За через блоки 4l — 4„и ál — 6„. в решающи» блоки 51 — 5, и в блок 7 вычислений;

2. Решение разностного аналога уравнения движения (1а) методом оптимальной релаксации в блоке 7 (в соответствии с формулой (9) определяется значение ь внутри области);

3. Решение разностного аналога уравнения Пуассона (1б) методом оптимальной релаксации в блоке 7 (в соответствии с формулой (10) определяется уточненное ф);

4. Определение значения вихря на границе (ж,) методом оптимальной релаксации с использованием регуляризации в блоке 7 (в соответствии с формулами 11 и 12);

5. Определяется невязка для каждой точки области D для значений . Если невязка в допустимых пределах, то переход к п. 6, в противном случае возврат к п. 2;

6. Пересылаются полученные значения 1 внутри области и на границе, а для ь только на границе из блока 7 через блоки 6 — 6„ в решающие блоки 5l — 5„;

7. Вычисляются в решающих блоках 51—

5, в соответствии с формулой (6) значения / и V;

8. Решение разностного аналога уравнения (1в) методом разделения переменных с использованием БПФ (в соответствии с формулами 13 и 14).

Для реализации приведенного алгоритма по командам блока 2 управления блоки 31 и 3 местного управления по собственным программам параллельно загружают исходную информацию (коэффициенты, значения граничных условий) в решающие блоки 72.

Для этого блок 3 местного управления выдает по шинам 11l, 11, 11 соответственно данные, управляющий сигнал «Запись» (ЗП) и адрес. В блоке бь g которому адресуется блок 3 местного управления, срабатывает дешифратор 70 адреса, с выхода которого активный сигнал совместно с активным сигналом ЗП поступает на входы элемента И 68.

По сигналу с выхода элемента И 68 передаваемая информация с шин 11l записывается в регистр 66 и одновременно сигнал «Запрос» поступает в решающий блок 72 (узел

55 синхронизации) . По сигналу «Запрос» решающий блок 72 переходит на подпрограмму чтения информации из регистра 66.

Для этого решающий блок 72 выставляет на шинах 14 адрес, который поступает на вход дешифратора 71 адреса, а по шине 141— активный сигнал «Чтение» (ЧТ) . По совокупности активных сигналов на входе элемента И 69 ключи 67 подключают выходы регистра 66 к шинам 15l и информация через группу ключей 64 записывается в регистр 54 результата, а затем запоминается в узле 65 памяти (фиг. 6). При чтении информации

55 из регистра 66 сигнал «Запрос» по шине 10> сообщает блоку 3 местного управления, что можно передавать следующее слово. По инициативе блока 3 рассмотренный цикл передачи повторяется. Последней командой передаваемого массива слов блок 3 местного управления запускает первый решающий блок 72l l на выполнение прикладной программы в соответствии с формулами (9)— (12). Для этого передается в решающий блок 72l l код, соответствующий передаче управления, и адрес перехода.

Далее блок 3 местного управления переключается через соответствующий блок 6 к решающему блоку 72 l, загружает исходной информацией и передает ему управление.

Таким образом, все п решающих блоков 72 со смещением во времени параллельно выполняют вычисления. После выполнения очередной итерации решающие блоки 72 через блоки 73 обмениваются информацией с соседними решающими блоками в соответствии с алгоритмом (9) и (10).

Для примера рассмотрим обмен информацией блоками 7211 и 721л через блок 73, l;2, Если обмен инициируется решающим блоком 72 l, то на шинах 74l, 74 и 74з выставляются соответственно данные, сигнал ЗП и адрес. В блоке 73 срабатывает дешифратор 52 адреса и по активному сигналу с выхода элемента И 46 передаваемая информация записывается в регистр 44. По сигналу «Запрос» (шина 76 ) решающий блок 72 l принимает информацию через ключи 45 и шину 761 в узел памяти. Для этого выставляется по шинам 7722 и 77 соответственно сигнал ЧТ и адрес блока 73 I;2l. Передача информации из решающего блока 72 в

72l,l осуществляется аналогично рассмотренному через регистр 49 и ключи 48.

После получения решения с определенной точностью в блоке 7 значения ф; и ь;; пересылаются в решающие блоки 51 — 5, через группы блоков 6. Каждому i-му столбцу решающих блоков 72 в блоке 7 соответствует

i-й решающий блок 5. Во время выполнения вычислений в блоке 7 блок 3l местного управления через блоки 4l — 4,, загружает исходной информацией решающие блоки 5 —

5,, которые после приема информации из блока 7 приступают к выполнению п. 7 и 8 описанного алгоритма. Более подробно алгоритм работы блоков 5l — 5, приведен на фиг. 10.

После того, как определено распределение температур (Т) в текущей плоскости, результаты через блоки 4l — 4,, пересылаются в блок 3l для последующего вывода. Во время работы блоков 51 — 5,, по расчету значений искомой функции в текущей плоскости блок

7 приступает к расчету ф и ю для следующей плоскости.

Формула изобретения

Устройство для решения дифференциальных уравнений, содержащее блок ввода-вы1383391 вода, блок управления, два блока местного управления, N блоков двунаправленной передачи данных, где N — линейный размер области определения уравнения, с первого по N-й рещающие блоки, первый, второй и третий выходы блока управления подключены соответственно к первым, вторым и к третьим входам режима первого и второго блоков местного управления, первые выходы первого и второго блоков местного управления объединены и подключены к первому входу режима блока управления, вторые выходы первого и второго блоков местного управления объединены и подключены к второму входу режима блока управления, четвертый и пятый выходы блока управления подключены соответственно к информационному и управляющему входам блока вводавывода, информационный выход которого подключен к третьему входу режима блока управления, третий, четвертый и пятый выходы первого блока местного управления подключены соответственно к первым информационным, первым управляющим и к вторым информационным входам N блоков двунаправленной передачи данных, первые информационные выходы N блоков двунаправленной передачи данных объединены и подключены к четвертому входу режима первого блока местного управления, первые управляющие выходы N блоков двунаправленной передачи данных объединены и подключены к пятому входу режима первого блока местного управления, отличающееся тем, что, с целью повышения быстродействия устройства, оно содержит N групп по п блоков однонаправленной передачи данных, где и — размерность уравнения, (N+1)-ю группу из и блоков однонаправленной передачи данных и блок вычислений, первый информационный выход К-го решающего блока (К=1, .;., N) подключен к третьему информационному входу К-го блока двунаправленной передачи данных, второй информационный и управляющий выходы К-ro решающего блока подключены, соответственно, к четвертому информационному и к второму управляющему входам каждого блока двунаправленной передачи данных, а также соответственно к первым информационным и к первым управляющим входам п блоков однонаправленной передачи данных К-й группы, первые информационные выходы п блоков однонаправленной передачи данных К-й группы и второй информа5

45 ционный выход К-го блока двунаправленной передачи данных объединены и подключены к информационному входу К-го решающего блока, первые управляющие выходы п блоков однонаправленной передачи данных

Кй группы и второй управляюгций выход

К-го блока двунаправленной передачи данных объединены и подключены к управляющему входу К-го решающего блока, вторые управляющие выходы n блоков однонаправленной передачи данных (N+ I ) -й группы объединены и подключены к пятому входу режима второго блока местного управления, третий, четвертый и пятый выходы второго блока местного управления подключены соответственно к вторым информационным, вторым управляющим и к третьим информационным входам и- блоков однонаправленной передачи данных (N+ 1)-й группы, первые информационные выходы блоков однонаправленной передачи данных с первого по и -й (N+1) -й группы подключены соответственно к информационным входам с первого по и - первой группы блока вычислений, первые управляющие выходы блоков однонаправленной передачи данных с первого по и -й (Л +1)-й группы подключены соответственно к управляющим входам с первого по nï первой группы блока вычислений, вторые управляющие выходы п блоков однонаправленной передачи данных К-й группы объединены и подключены к К-му управляющему входу второй группы блока вычислений, первые информационные входы блоков однонаправленной передачи данных с первого по и -й (N+1)-й группы подключены соответственно к информационным выходам с первого по и первой группы блока вычислений, первые управляющие входы блоков однонаправленной передачи данных с первого по и -й (N+1)-й группы подключены соответственно к управляющим выходам с первого по и -й первой группы блока вычислений, К-й информационный выход второй группы блока вычислений подключен к вторым информационным входам п блоков однонаправленной передачи данных К-й группы, К-й управляющий выход второй группы блока вычислений подключен к вторым управляющим входам п блоков однонаправленной передачи данных К-й группы, К-й информационный выход третьей группы блока вычислений подключен к третьим информационным входам п блоков однонаправленной передачи данных каждой группы.

1383391

138339l

1Ь !

16!

7У !

7Þ (жр! фиг, 7

1383391 фиг г

Начало (метод релаксации

Метод релаисации

oem

Конец

Фиг.9

Решение разностного аналога ура днения дби жения:

pzu г2ш д ч дш дч ди) дг дхг дуг ) ду дк ox dy с учетом граничных услйий ч =Π— =б дФ о

Решение разностного аналога ура днения Пуассона дг ч дгч, + — — ш дкг дуг . учетом граничных усладии

=и др

Определение значения дикря на границе,ч, 1 у,.",)+1,„) п-г г (иг) ч1,1 иг "цо+ аг Чс,z

Решение разностного аналога

upa5nenuo теплопрододности:

tд . dT д dT д д7 — (лх — ) + — (Яу — )+.— (Лг — ) +

Зх дк ф ду дг дг

V — + v.— = — а (х,у, z) с учетом

07 д дх ду граничных усладой T =7,, K =0 метод релахса— ции с использода наем регуляризации

Методы разделеия переменных с спользоданием дыстого преодразодания урье

1383391 фиг.10

1383391

Составитель В. Смирнов

Редактор H. Тупица Техред И. Верес Корректор И. Муска

Заказ 915)49 Тираж 704 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, 7K — 35, Раушская наб., д. 4/5

Производственно-полиграфическое предприятие, г. Ужгород, ул. Проектная, 4