Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей

Иллюстрации

Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей (патент 1470)
Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей (патент 1470)
Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей (патент 1470)
Прибор для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей (патент 1470)
Показать все

Реферат

 

М 1470

Класс 42-b

ПАТЕНТ HA ИЗОБРЕТЕНИЕ

ОПИСАНИЕ прибора для определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей.

K патенту Ю. И. Ягна, заявленному 10 июля 1924 года (заяв. свид. Хе 78591).

0 выдаче патента опубликовано 31 июля 1926 года. Действие патента распространяется на 15 лет от 15 сентября 1924 r. — — 1эл-1 sin 2т ... (21) Предлагаемый прибор предназначается, главным образом, для педагогических и научных лабораторий и для исследований различных типов профилей и имеет целью механическое определение моментов инерций плоской фигуры при переходе от одних центральных коорди- натных осей по фигуре к другим осям,; поворотным относительно первоначальных на некоторый угол, а также определение положения главных осей инер- ции и величину главных моментов, инерции.

На фиг. 1 изображен прибор для, преобразования моментов инерции и лю- бым осям, на фиг. 2 †приб для опре- деления главных моментов инерции и на фиг. 3 — 8 пояснения отсчета. (Поворачивая координатные оси так, чтобы центральный момент относительно них обратился в нуль, получаются на приборе отсчеты, дающие угол поворота главных осей инерции и величины главных моментов инерции. Чтобы воспользоваться прибором, необходимо знать моменты инерции и центробежный момент относительно начальных осей.

Вместо центробежного момента может быть задан момент инерции относитель- . но оси, составляющий с начальными осями угол в 45 . Начальные моменты могут быть получены аналитически, графически или же определены механически с помощью интеграторов известных систем (Амслер, Коради и др,).

Формулы преобразования моментов инерции и центробежного момента следующие (фиг. 3):

Ix — - Ii lë. — Ii

1-i 4- - — cos 2а—

2 — Px» sin 2а... (1)

Li. —, - I1I I.» — Ii

1У = — — - — — — — сов 2а —:—

2 2

1 .гу sin 2я... (2)

Li — Iy

Pl i 11- —— sin 2м-, 2

-+ 1 .ii cos 2я... (31

Складывая и вычитая (1) и (2) и деля результат на два, получается:

Li) - - 1», Iл. -",— 1»

2 = — — — - -"-- Const ...... (1 )

lx, — - 1у, 1л — I» — — — сов 2а—

2 2

1x — 1у если Р.)>у и — — — — известны

Для эгого надо в некоторой прямо- угольной координатной системе Определить точку с координатами

/з — 11

Рх v u

1 1

2 и затем повернуть оси на угол 2а. Координаты той же точки в повернутой, системе будут искомыми величинами

1х, — 111

1 .Рх, v) и — — ——

2 ! .=.>та точка названа буквою 1. 1

11 — Ж

Построение величин Рх>у1 и

2 показано на фиг. 5. Имея на фиг. 5 полуразность искомых моментов инер- ции lх, и 1) Д можно определить каж- дый из пих в отдельности, так как j

1.11 — 111 полусумма их известна

/х--/г

- -;-- — = — const. Откладывая полуО

Уравнение (3) сохраняется без изменения

11: — Iy

Рх)у) =- — — з) п 2а - —

2

- - Р.1) cos 2 2 .... (3)

Уравнение (2 ) и (3) можно рассматри- вать как формулы преобразования ко- i ординат при повороте осей на угол 2а, причем абсциссами точки /> старой и новой координатной системы будут центро- бе>кные моменты Рху и Рх) ) „а орди1 натами полуразности моментов инерции

1х — 1) 1х) — 1) — — — и — 1 — - . Координатные

2 2 осп, к которым относится это преобразование, обозначены через и и и (фиг, 4).

Формулы преобразования: п)=и cos 2а+v з)п 2ã.. (4), 1= о cos 2а — и sin 2а... (5)

Из сравнения (2 ) с (5) и (3) с (4) находят и === Рх у, п =- Р.).1 у1, 1г — 11/ 11 — - /1 1

2 2

Отсюда получается правило для поlг, — 1г, слоения величин Рх).1 1 и сумму их по осп г) в одну и в другую сторону от начала координата, полу)аются отрезки 5 D = — Ix u S С=-111 (фиг. 5).

Точка С и D при вращении осей

О, !., оп и ш ет окружность радиуса

1.1: /1

2 с центром в начале координат О, (фиг. 6).

Когда круг построен для определеHHH величин 11 1) lpI H Рх1у1 для л)Обых осей надо только опустить перпендикуляр из точки 1 на ось О, Р,.

Длина этого перпендикуляра дает центробежный момент Рх))1, а отрезки, на которые основание перпендикуляра разделит диаметр круга, совпадающий с осью 0 „определяет моменты инерции /1., и 111, при чем момент 1х, отложится от основания перпендикуляра 51 в отрицательном направлении оси О VI а момент /),— в положительном направлении ее. Знак центробе>кного момента и полуразности моментов инерции определяется по аправлешпо координатных осей.

Для определения величины главных моментов инерции и положения таковых Осей инерции Л 01 У0, для которых Рх) -=- О, следует провести диаметр круга через точку Т и принять его за ось О, „. Точка 1 поделит этот диаметр на отрезки, определяющие величину главных момен foB инерции, при чем отрезок, который отложится в положительном направлении оси О> „, определит момент Iyo, а другой отрезок момент l)o.

Угол поворота осей Ui) О, !. относительно осей 1/ О оудет равен двойному углу поворота главных осей на фигуре .",) О > 0 по отношению к начальным осям Л О 1, Геометрическое построение главных моментов инерции показано на фиг. 7. Изложенный способ графического представления изменений моментов инерции в несколько ином виде был предложен проф. Л/о/и- о.)ь

Предлагаемый прибор вьп)олняет механически изложенное графическое построение.

Устройство прибора может быть или проще или сложнее, в зависимости от требований. На фиг. 1 представлен вариантт устройства прибора, приспособленного к преобразованию моментов к лю-, бым осям. Эту схему можно упростить, если назначить прибор исключительно для определения главных моментов инерции. Такое устройство показано на эскизной фиг. 2. В том и другом случае возможно упрощение или усложнение в зависимости от степени точности, которую желают получить от прибора.

Устройство прибора, представленное, на фиг. 1, состоит в следующем: (В железной цилиндрической коробке Ь, укреплен вращающийся медный дискА.

На верхнем краю цилиндра В укреплен лимб «., на котором нанесена шкала с деления1«и в 2, причем цифры шкалы поставлены так, что два градуса принимаются за один, т. е. отсчет по шкале дает половину y«.r«a поворота диска.

На краю диска нанесен верпьер с делениями 6 на >- основной шкалы, т. е. деление верпьера определяет so . «

На диске А прочерчень«центральные прямоугольные оси U««Ги круг (D=20 c».),, отделяющий внешнее кольцо, на котором,. располо>кены верпьеры от внутренней рабочей части плоскости диска. Диаметры, круга, совпадающие с осями U и V, разделены каждый на 100 частей.

Через деления проведены перпенди-, кулярные прямые, покрывающие всю внутреннюю площадь диска сетью ква- дратов (при диаметре круга = 200 м.». каждый квадрат будет размером, 2;", 2 м. м.).

Около каждой прямой, соответствую-, щей делению диаметра, кратному Г, ста-, В>«тся цифоы (о, >, 1«>, I и т. д), причем цифра повгоряется вдоль прямой, через ка>кдые пять делений, отсекаемых на ней перпендикулярными прямыми, т. е. через каждые пять квадратиков. Нумерация прямых, перпендикулярных оси, Г ведется от нуля у верхнего конца диаметра и до ста у нижнего конца.

Нумерации прямых, перпендикулярных оси U, ведется от нуля у ценгра в обе сторны до ;О у концов диаметра.

Для того чтобы глаз мог легче ориентироваться в нумерации на круге изготовляющегося прибора, цифры вдоль оси « ! пишутся черной краской (на фиг. 1 чертежа черные, горизонтальные) цифры, идущие в положительную сторону оси

U красной (на фиг. 1 черте>ка черные., вертикальные), а в отрицательную сторону синей (на фиг. 1 чертежа тоже, черные вертикальные) краской.

Все цифры ставятся по одну (правую) сторону от линии, к которой они относятся.

Зная моменты инерции Ул и Л относительно некоторых перпендикулярных осей и центробежный момент Рп для тех же осей, можно по сумме моментов инерции Л:-.- 1«, приравнивая ее диаметру, т. е. r oo, определить масштаб и найти на круге точку Т по величине 1з и Р т, как это показано на фиг. 8. Если теперь, остявляя точку Т неподви>кной, повернуть диск с координатной сеткой и прочесть новые отсчеты в точке Т, то получится момент инерции Л «и центробежный момент Рх«у, в новой координатной системе, угол поворота которой покажет шкала лимба.

Момент инерции Jx, будет найден, как дополнение величины момента Ь «до r oo.

Таким образом, вращая диск, можно перейти к любым новым осям.

Для ог«ределения главных осей инерции н главных моментов инерции надо повернуть координатную сетку так, чтобы ось V прошла через точку I.

Тогда отсчет по лимбу даст угол поворота главных осей, а отсчеты «о сетке круга в точке Т дадут по оси (1 центробежный момент Р«ohio=() и по оси 1— главный момент инерции Ivr» Другой главный момент инерции li найдется по формуле lх, =- 100 — 1 „. Для определения точки 7 и для производства в ней отсчетов после поворота диска служит стеклышко 0 с двумя пересекающимися нарезками. Стеклышко передвигается по направляющим Е, которые в свою очередь двигаются по брускам

F u G. Для уменьшения параллакса глаза между стеклом и плос«ъость«0 д««ска оставляется лишь небольшой зазор.

Вращение диска производится с помощью рукоятки Л с конической зубчатой передачей. Z.

Вследствие аналогии между формулами преобразования для моментов инерции и формулами преобразования для напряжений при плоском напряженном состоянии, кругом инерции можно пользоваться для изучения изменений напряжени!! в некоторой точке при главных напряжениях одного знака. В случае главных напряжений разных знаков точка

Т выйдет за пределы круга и потому, для применения прибора к изучению, этого случая напряженного состояния, пришлось бы устроить еще внешшою координатную сетку.

Из побочных применений круга инерпии (представленного на фиг. 1) можно указать следующее: определение сину- сов и косинусов углов (с точностью до единицы в третьем знаке); решение не- которых случаев прямоугольных и косо-;: угольных треугольников; преобразование прямоугольных координат точки, при повороте оси.

На практике приходится преимуще-, ственно определять главные моменты инерции. Поэтому дан другой вариант устройства прибора, при котором он при- I способлен исключительно для этой цели.

Этот вариант прибора представлен на фиг. 2. Вращающийся диск здесь заменен врагцаюгцейся линейкой. Вместо координатной сетки имеется одна шкала, соответствующая диаметру круга V.

В отличие от 1-го варианта ось V здесь расположена горизонтально. Определение положения точки Т делается с помощью отдельных неподвижных шкал, нанесенных на брусках, по которым движутся салазки и визирное стеклышко.

Центробежныймомент относительноначальной координатной системы определяется по шкалам ЛХ и Г, момент инер- ции 1у по шкале О. !!1кала О не обя- зательна, так как вместо нее можно поль- зоваться шкалой на подви>кной линейке, когда она занимает нулевое положение.

Когда точка Т определена, надо повернуть линейку так, как чтобы линия шкалы подошла в точку У; т. е. Под пересе-, чение нарезок на стекле и тогда отсчетом; по шкале будет определен главный момент инерции /у, а разность 100 — >у, I даст другой главный момент инерци lx,.

Угол поворота главных координатных осей относительно начальных определяется отсчетом по лимбу, который устраивается одинаково как в одном. так и в другом варианте прибора.

Приспособление для вращения шкалы здесь проще, чем в 1-ом варианте.

Вместо рукоятки с зубчатой передачей устроены небольшие ручки Р и Ii y самой линейки и на случай, когда они могут быть загорожены брусками, по которым движется визирное стекло, такие же ручки устроены на концах особых рычажков S u g. Такое приспособление для вращения линейки хуже и потому в случае, когда желательно получить от прибора большую точносп показаний, лучше применить зубчатую или червячную передачу, или же наводящие винты, подобно тому как это делается в топографических угломерных приборах.

ПРЕДМЕТ ПЛТЕНТЛ.

1. Прибор дла определения моментов инерции плоских фигур при повороте координатных осей, характеризующийся тем, что он состоит из поворотного при посредстве передачи E L диска А несущего на своей поверхности координатную сетку, снабженную нониусами, и окруженного разделенными на равные части лимбом С, лежащим на пилиндридрической коробке В, окруженной деревянным прямоугольной формы ящиком, несущим бруски Г и С, по которым движутся направляющие .Е ползуна, снабженного стеклом D с нанесенными на нем двумя взаимно - перпендикулярными линиями (фиг. 1).

2. Видоизменение, охарактеризованного в п. 1 прибора, отличиющееся: а) заменой поворотного диска А поворотной же линейкой . 1> с делениями, снабженной ручками Р и A и рычажками

О и S, и б) снабжением как брусков

F и, так н направляющих Е делениями (фиг. 21.