Устройство для решения дифференциальных уравнений

Устройство для решения дифференциальных уравнений

Реферат

 

Изобретение относится к специализированной вычислительной технике и может быть использовано при разработке оптических вычислительных машин. Сущность изобретения состоит в том, что в устройство для решения обыкновенных дифференциальных уравнений введена оптическая обратная связь, позволяющая осуществлять решение дискретизованного во времени уравнения в частных производных как обыкновенного дифференциального уравнения по пространственному аргументу со свободным членом, изменяющимся во времени в соответствии с решением уравнения в предыдущий момент времени. 2 ил.

Изобретение относится к специализированной вычислительной технике и может быть использовано при разработке оптических вычислительных машин.

Известны пространственно-оптические системы, позволяющие определять решение стационарного дифференциального уравнения в частных производных за счет использования методов пространственно-частотной фильтрации.

Наиболее близким по техническому исполнению к предложенному устройству является когерентно-оптический многоканальный аналоговый процессор, содержащий источник излучения, группу линз и транспарантов.

Недостатками данных устройств являются, во-первых, низкая точность решения из-за погрешностей формирования пространственно-частотных изображений в областях высоких и низких частот, во-вторых, невозможность организации решения дифференциальных уравнений в смешанных частных производных (ДУЧП) в реальном масштабе времени.

Заявляемое изобретение направлено на решение задачи формирования в реальном масштабе времени решения ДУЧП и повышение точности устройства.

Подобная задача возникает при решении различных проблем математической физики, теории управления, стохастической фильтрации и т.д., требующих применения быстродействующих специализированных вычислителей.

В данном случае решение поставленной задачи осуществляется следующим образом.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в смешанных частных производных следующего вида: = a_i(x)+b(x)(x,t)+f(x), (1) где (х,t) - решение уравнения, = _io, а_i(х),b(х),f(х) - известные аналитические функции.

Использование дискретного представления решения во времени позволяет представить данное уравнение с требуемой точностью следующим образом: - + где t - шаг дискретизации.

В свою очередь, данное уравнение для момента времени t_n может быть представлено в виде системы линейных дифференциальных уравнений по "х": =₁, =₂, . . . . . . . .

= +b(x)_o+F(x,t_n-1), где _i= , F(x,t_n-1)= f(x) - (t_n-1), или в общем виде: =A+, (2) где =..., A = .... , = Таким образом, решение исходного ДУЧП (1) может быть реализовано в текущий момент времени как решение линейного векторного обыкновенного дифференциального уравнения (2), в котором свободный член Ф формируется на основании решения уравнения (2) в предыдущий момент времени.

Решение уравнения (2), в свою очередь, осуществляется путем использования дискретного представления (уже по аргументу "х" с шагом х) вектор-функции .

Сущность изобретения состоит в том, что в устройство дополнительно введены блок решения обыкновенных дифференциальных уравнений (БРОДУ), группа блоков вычитания световых потоков, N групп оптических транспарантов и оптический разветвитель, содержащий N групп по М ответвлений в каждой, входы которых оптически связаны с выходами соответствующих оптических усилителей БРОДУ, а выходы подключены ко входам транспарантов соответствующей группы, причем выходы транспарантов с одинаковыми порядковыми номерами в своих группах подключены ко входу ответвления, выход которого подключен ко входу вычитаемого соответствующего блока вычитания световых потоков, выход которого подключен ко входу соответствующего оптического усилителя БРОДУ, а вход уменьшаемого через транспарант соединен с выходом источника излучения, который также подключен ко входу входного оптического разветвителя БРОДУ, N ответвлений которого разветвляются на (М+1) волокон каждое, выход первого волокна каждого ответвления через соответствующий транспарант и оптическое волокно связан со входом первого оптического усилителя соответствующего волоконно-оптического контура, а выходы остальных волокон каждого ответвления через соответствующие транспаранты оптически связаны со входами объединенных ответвлений j-х оптических волокон соответствующего i-го волоконно-оптического контура, выходы которых через j-й оптический усилитель связаны со входом ij-го оптического разветвителя, имеющего (N+1) ответвлений, причем выход k-го ответвления оптически связан со входом i-го транспаранта в группе (N+1) транспарантов, выходы которых объединены с помощью ответвлений (j+1)-го волокна в k-м контуре и подключены ко входу (j+1)-го оптического усилителя k-го контура, а выход нулевого ответвления является выходом БРОДУ для значения i-го компонента вектора решения i,k=; j=.

На фиг.1 приведена функциональная схема устройства для решения ДУЧП; на фиг. 2 - функциональная схема блока решения обыкновенных дифференциальных уравнений (БРОДУ).

Устройство содержит БРОДУ, обозначенный (фиг.1) как контур "S" и состоящий из источника излучения 1, оптического разветвителя 2, группы 3 оптических вычислительных транспарантов, группы волоконно-оптических контуров 4₁-4_N (содержащих оптические усилители 5), группу 6 оптических разветвителей; а также вторую группу (матрицу) из NхМ вычислительных транспарантов 7_i^(k) (i= ; k= ) и группу из М блоков вычитания световых потоков 8₁-8_М (БВСП).

Устройство БРОДУ "S" (фиг.2) подробно описано ниже.

Выход источника излучения 1 подключен ко входу оптического разветвителя 2, имеющего N ответвлений 2₁-2_N.

Каждое ответвление 2_i разветвляется, в свою очередь, на (М+1) ответвлений 2_ij, i=; j=. Выходы ответвлений 2_iо оптически связаны с транспарантами 3_iо, выходы ответвлений 2_ij, соответственно, - 3_i^(j-1), i=; j= . Выходы транспарантов 3_iо через оптические волокна 4_iоконтура 4_i оптически связаны со входами соответствующих оптических усилителей 5_iо. Входы 5_ij оптически соединены с помощью оптического волокна 4_ij контура 4_i, имеющего (N+1) ответвление, с выходами транспарантов 3_i1^(j-1) 3_iN^(j-1), 3_i^(j-1); i= ; j=. Выходы оптических усилителей 5_ij оптически связаны со входами оптических разветвителей 6_ij, имеющих (N+1) ответвление 6_ij⁽⁰⁾ 6_ij^(N), i= ; j=. Разветвители 6_iМ ответвлений не имеют, их выходы являются выходами БРОДУ (и соответствующего контура 4_i) 4_i^(М), i=. Выход ответвления 6_ij⁽⁰⁾ является выходом БРОДУ 4_i^(j), выходы ответвлений 6_ij^(k) оптически связаны с транспарантами 3_ki^(j), i, k=; j=.

Функции пропускания транспарантов пропорциональны следующим значениям (здесь и далее учтено, что на функцию пропускания умножается амплитуда А проходящего потока, а не его интенсивность I=А²): для 3_iо- _io^1/2; 3_ii^(k), 3^(k)_i(i+1)-"1"; 3- + b_o(x_k)x , 3^(k_Ni⁾- x ; 3⁽_N^k)-f(x_k)x ; 7⁽_i^k)-x ; x_k=x_o+kx; i,j=; k=, для остальных - нулевым значениям. БВСП 8_i может быть выполнен, например, в виде типового последовательного соединения "фотодиоды - схема вычитания - светодиод".

Каждый оптический разветвитель 6_ij, j= , входящий в БРОДУ "S", кроме ответвлений 6_ij⁽⁰⁾6_ij^(N), схема подключения которых приведена на фиг. 2, имеет (N+2)-е ответвление 6_ij^D, выход которого оптически связан с транспарантом 7_i^(j) и объединен далее с выходами ответвлений 6^D_mj,m=, в ответвление 6^(j), выход которого подключен ко входу вычитаемого БВСП 8_j+1.

Вход уменьшаемого БВСП 8_j+1 оптически связан с выходом транспаранта 3^j_N, а выход с помощью оптического ответвления подключен ко входу оптического усилителя 5_N(j+1). Выходы БРОДУ "S" являются выходами устройства.

Устройство работает следующим образом.

По включении устройства на выходе источника излучения 1 формируется световой поток интенсивностью N(М+1) усл.единиц, поступающий далее на вход разветвителя 2. На выходе ответвлений 2_iо2_iМ формируются световые потоки единичной интенсивности, поступающие на входы соответствующих транспарантов 3_iо, 3_i⁽⁰⁾3_i^(М-1), i= . С выходов транспарантов 3_iоснимаются световые потоки с интенсивностями, пропорциональными значениям компонентов вектора _o , т.е. _(i-1)0 , i=. С выходов транспарантов 3_i⁽⁰⁾3_i^(М-1) формируются световые потоки с интенсивностями, пропорциональными значениям соответственно функций f(х_о)хf(х_М-1)x, i= . Световой поток с интенсивностью _(i-1)o , проходя через усилитель 5_iо и усиливаясь в (N+1) раз, поступает на вход оптического разветвителя 6_iо, имеющего (N+1) ответвлений: 6⁽⁰⁾_io6^(N)_iо, i= . С выхода ответвления 6⁽⁰⁾_iо поток с интенсивностью _(i-1)o поступает на выход устройства 4_i⁽⁰⁾ (на выходе устройства 4_i^(k) формируется значение i-го компонента вектора для момента t₁: _i-1 (х_k,t₁), i= , k=). С выхода ответвления 6⁽ⁱ⁾_i0 световой поток с интенсивностью _(i-1)oпоступает на вход транспаранта 3_ii⁽⁰⁾, а с выходов ответвлений 6^(k)_i0, ki, k= - на входы транспарантов 3⁽⁰_ki⁾ . Сформированные таким образом потоки, поступая на входы ответвлений оптического волокна 4_i1, суммируются и образуют на входе усилителя 5_i1 поток с интенсивностью _i-1 (х₁, t₁). В усилителе 5_i1 происходит усиление интенсивности входного потока в (N+1) раз, ввиду его последующего разветвления в разветвителе 6_i1 на (N+1) потоков. Последующее формирование значений компонентов вектора решения _i-1 (х_k,t₁). происходит аналогично вышеизложенному (с выхода ответвления 6⁽⁰⁾_ij сигнал _i-1 (х_j,t₁). поступает на выход БРОДУ 4_i^(j), с выходов ответвлений 6_ij^(k) - на входы транспарантов 3^(j)_ki, i,k=; j=).

Таким образом, на выходах ответвлений 6⁽⁰_ij⁾ (а, значит на входах, соответственно, ответвлений 6^D_ij ) формируются в первый момент времени значения решения системы (2) _i-1 (х_j,t₁)., i=; j=.

Со входа ответвления 6_ij^D световой поток с интенсивностью, пропорциональной _i-1 (х_j,t₁), поступает на транспарант 7^j_i^, с выхода которого снимается оптический сигнал с интенсивностью, пропорциональной а_i-1(х_j) ^. _i-1 (х_j,t₁) .

Сигналы с выходов транспарантов 7_i^(k), i= суммируются в ответвлении 6^(k), на выходе которого формируется световой поток с интенсивностью, пропорциональной a_i-1(x_k)_i-1(x_k, t₁).

Данный поток поступает на вход вычитаемого БВСП 8_k+1, на вход уменьшаемого которого поступает значение f(х_k) х. Световой поток с интенсивностью, пропорциональной разности интенсивностей данных потоков, т.е. значению F(х_k,t₁), поступает с выхода БВСП 8_k+1 на вход оптического усилителя 5_N(k+1).

Работа БРОДУ повторяется, но уже для новых значений функции Ф - свободного члена уравнения (2). На выходе устройства формируются значения _i (х, t₂) и т.д., аналогично вышеизложенному. Таким образом, предложенное устройство решает поставленную задачу, позволяя сформировать решение искомого ДУЧП в реальном масштабе времени с требуемой степенью точности.

Формула изобретения

УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, содержащее источник излучения и группу вычислительных транспарантов, отличающееся тем, что для организации решения дифференциальных уравнений в частных производных в реальном времени и повышения точности устройства, дополнительно введены блок решения обыкновенных дифференциальных уравнений (БРОДУ), группа блоков вычитания световых потоков, N групп оптических транспарантов и оптический разветвитель, содержащий N групп по M ответвлений в каждой, входы которых оптически связаны с выходами соответствующих оптических усилителей блока решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а выходы подключены к входам транспарантов соответствующей группы, причем выходы транспарантов с одинаковыми порядковыми номерами в своих группах подключены к входу ответвления, выход которого подключен к входу вычитаемого соответствующего блока вычитания световых потоков, выход которого подключен к входу соответствующего оптического усилителя блока решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а вход уменьшаемого через транспарант соединен с выходом источника излучения, который также подключен к входу входного оптического разветвления блока решения обыкновенных дифференциальных уравнений, N ответвлений которого разветвляются на M + 1 волокон каждое, выход первого волокна каждого ответвления через соответствующий транспарант и оптическое волокно связан с входом первого оптического усилителя соответствующего волоконно-оптического контура, а выходы остальных волокон каждого ответвления через соответствующие транспаранты оптически связаны с входами объединенных ответвлений j-х оптических волокон соответствующего i-го волоконно-оптического контура, выходы которых через j-й оптический усилитель связаны с входом ij-го оптического разветвителя, имеющего N + 1 ответвлений, причем выход k-го ответвления оптически связан с входом i-го транспаранта в группе N + 1 транспарантов, выходы которых объединены с помощью ответвлений (j + 1)-го волокна в k-м контуре и подключены к входу (j + 1) -го оптического усилителя k-го контура, а выход нулевого ответвления является выходом БРОДУ для значения i-го компонента вектора решения i, k=; j=.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2