Способ адаптивной автоматической сегментации и распознавания клеток на изображениях цитологических препаратов

Способ адаптивной автоматической сегментации и распознавания клеток на изображениях цитологических препаратов

Реферат

 

Изобретение относится к области медицины и предназначено для обработки изображений цитологических препаратов. Способ сегментации и распознавания клеток на изображениях цитологических препаратов в поле зрения светового микроскопа состоит из нескольких этапов обработки изображений. Сначала выполняется настройка параметров моделей контуров клеточных структур (ядрышек, ядер и цитоплазм) с использованием указанных оператором границ клеточных структур на небольшой обучающей выборке изображений клеток. Настройка параметров выполняется автоматически путем формирования обучающей выборки подлежащих и неподлежащих объединению границ соседних фасетов (однородных по цветояркости односвязных фрагментов изображения). В процессе сегментации границ клеточных структур оцифрованный кадр с изображением клеток разбивается на фасеты и далее формируются границы структур клеток. Факторами объединения фасетов являются доля общей границы двух фасетов в периметре одного из них, средняя кривизна границ фасетов и их оптические плотности, а также заданные диапазоны допустимых значений цветности и площади фасетов каждого типа структуры. Способ обладает малой вычислительной сложностью. 1 з.п.ф-лы, 2 ил.

Область техники, к которой относится изобретение.

Изобретение относится к системам обработки изображений, системам автоматического распознавания объектов (САРО) и к системам настройки САРО для оптимизации их качества функционирования.

Уровень техники Количественная фото- и морфометрия изображений в поле зрения микроскопа является одним из основных современных методов исследования цитологических препаратов. В последние тридцать лет предприняты многочисленные попытки автоматизировать этот процесс с целью применения в медицинской диагностике широкого круга заболеваний. Фотоморфометрическая информация может быть использована для раннего обнаружения воздействий неблагоприятных факторов внешней среды, для прогноза течения лейкозов, лимфосарком, анемий и др.

В настоящее время в ряде ведущих центров США, Европы и Японии ведутся широкомасштабные исследования по созданию приборов, автоматизирующих распознавание и измерение микроскопических изображений клеток в цитологических и гистологических препаратах [1]. Накопленный опыт показал, что задача создания автоматического цитофотоморфометра является с математической и технической точек зрения весьма сложной. Это связано как с высокой вариабельностью клеток и клеточных структур, так и с высоким уровнем шумов и помех, частичной утратой информации в плоских изображениях по сравнению с трехмерным оригиналом, неравномерностью условий окраски в процессе приготовления образцов и т.д. В настоящее время можно считать, что задача создания такого прибора, прежде всего из-за сложности задачи автоматического распознавания и измерения слабоконтрастных цитологических образов, решена лишь частично. Именно этим обстоятельством объясняется безраздельное господство высокопроизводительных проточных цитоанализаторов в медицинской практике, несмотря на преимущества цитоанализатора изображений в гибкости и количестве снимаемых характеристик клеток.

В настоящее время существует количество способов сегментации цитологических изображений, выбор которых определяется конкретной задачи. Например, для контрастных окрашенных препаратов часто применяются хорошо отработанные методы пороговой обработки в сочетании с морфологическими операциями эрозии и дилатации [2]. В этих методах в качестве параметров используются характеристики распределений оптических плотностей объектов. Эти методы эффективны в тех случаях, когда распределения оптической плотности различных сегментируемых объектов имеют незначительные пересечения. Преимуществом таких методов является теоретическая проработка и высокая скорость обработки изображений. Подобный метод достаточно эффективен для сегментации сравнительно простых объектов, таких как изолированные эритроциты или изолированные ядра при окраске по Фельгену. Однако в более сложных случаях, например при исследовании характеристик ядрышек и ядер клеток белой крови, даже в случае отдельно лежащих клеток практически при окрасках любых типов некоторые объекты имеют слабоконтрастные границы и значительные пересечения распределений оптических плотностей различных объектов (цветностей в случае цветных изображений). В этих наиболее информационных случаях эффективность указанных методов невысока. Для подобных задач приходится применять более сложные алгоритмы, использующие кроме характеристик распределения оптических плотностей геометрические свойства границ сегментируемых объектов. Примером является работа [3] по сегментации изображений в маммологии. Для цитологических исследований, когда необходимо обработать большое количество изображений, такие методы, по нашим данным, в практической реализации до сих пор не применялись. Это связано, по-видимому, со сложностью существующих общих методов и отсутствием для них эффективных вычислительных схем.

В [4] нами был предложен способ сегментации и распознавания клеток на цитологических изображениях, включающий телевизионный съем увеличенного изображения цитологического препарата мазка периферической крови с окраской, в частности, по Крокеру и обработку оцифрованного изображения, состоящий в том, что оцифрованное изображение разбивают на первичные сегментированные связные фрагменты, однородные по оптической плотности, и итерационно объединяют в образы соответствующей заданной модели распределения механической нагрузки в несущих структурах клетки. Недостатком указанного способа является отсутствие способа подбора априорных параметров модели, значения которых влияют на качество распознавания.

Теоретическое обоснование этого способа было получено позднее в работе [5] авторов настоящего изобретения. Оказалось, что явный вид критерия объединения участков может быть получен исходя из модели активного контура [3] с использованием фасетной схемы сегментации [6]. Модель контура зависит от ряда параметров упругих свойств контура. Общим недостатком способа сегментации и распознавания в [4], [5] является неучет при объединении фрагментов кривизны границ фасетов, которая входит в модель активного контура, и необходимость ручного подбора ряда параметров модели.

Один из подходов к настройке параметров САРО на заданный класс изображений предложен в [7], где описан адаптивный сигнальный процессор на основе знаний и моделей (АСПОЗМ). Преложенная в [7] система автоматически подстраивает параметры САРО при изменении характеристик изображения, так что САРО может поддерживать оптимальное качество функционирования. АСПОЗМ подстраивает параметры САРО на основе изменений сцены/изображения/сигнала и используют формальные модели предсказания качества функционирования на основе моделей качества функционирования. Модели качества функционирования являются непрерывными поверхностями, которые строятся по результатам тестирования САРО по тщательно подбираемых примерах изображений и проверяются на экзаментационных изображениях. Модели качества функционирования в АСПОЗМ являются параметрическими, т.е. предполагается наличие явной зависимости качества функционирования САРО от фиксированного списка метрик изображения и параметров алгоритмов распознавания и сегментации. В случае сегментации достаточно сложных объектов эффективность такого подхода невысока из-за сложного характера поведения функции и связанной с этим необходимости весьма большого числа экспериментов по настройке параметров алгоритма. Поэтому актуальной является разработка такого способа адаптации параметров алгоритма сегментации, который использовал бы специфику объектов сегментации и алгоритма сегментации, позволял бы производить адаптацию алгоритма сегментации в процессе работы к реальным цитологическим изображениям с учетом их изменчивости и в то же время обладал бы достаточно малой вычислительной сложностью с тем, чтобы была возможна его реализация на вычислительных средствах типа IBM PC.

Сущность изобретения Целью изобретения является разработка адаптивного способа сегментации изображений цитологических объектов с учетом характеристик кривизны границ однородных участков изображений и способа адаптации параметров алгоритма сегментации изображений цитологических объектов, который использовал бы специфику объектов сегментации и алгоритма сегментации, позволял бы производить адаптацию алгоритма сегментации в процессе работы к реальным цитологическим изображениям с учетом их изменчивости и в то же время обладал бы достаточной малой вычислительной сложностью с тем, чтобы была возможна его реализация на вычислительных средствах типа IBM PC.

Решение поставленной задачи достигается за счет специализации класса используемых моделей алгоритмов распознавания и за счет использования методов непараметрического оценивания параметров алгоритма средствами обучения с учителем. Предлагаемый в настоящем изобретении способ сегментации применим к изображениям клеток таких препаратов, как мазки с поверхности шейки матки, вытяжки лимфатических узлов, мазки периферической крови и другие. Для клеток препаратов этого класса характерны округлые очертания клеточных структур (цитоплазм, ядер, ядрышек), связанные с относительной мягкостью видимых пограничных мембран и доминирующим влиянием на их форму внутриклеточных факторов.

Основным предметом изобретения является разработка адаптивного способа сегментации и распознавания клеток на изображениях цитологических объектов, использующего оптимизацию функционала энергии контуров.

Применение модели класса клеток "с доминирующими внутренними факторами формы" позволяет предложить способ распознавания цитологических образов, работоспособный в условиях слабоконтрастных границ объектов.

Предлагаемый способ распознавания состоит в определении функционалов энергии контуров клеточных компонентов (ядрышка, ядра и цитоплазмы), разбиение изображения на однородные по цветояркости фрагменты (фасеты) и формировании областей изображений клеточных компонент путем объединения фасетов с использованием критерия объединения, обеспечивающего минимизацию функционала энергии контура. Существенными факторами, определяющими решение об объединении фасетов, являются доля общей границы двух фасетов в периметре одного из них, средняя кривизна границ фасетов и разность оптических плотностей.

Адаптация алгоритма распознавания под конкретный класс изображений цитологических препаратов производится определением параметров модели контуров цитологических объектов с использованием метода обучения с учителем на реальных изображениях.

Перечень фигур чертежей Фиг. 1. Пример разбиения изображения клетки на фасеты.

Фиг. 2. Примеры некоторых значений функции близости фасетов.

Сведения, подтверждающие возможность осуществления изобретения 1. Способ распознавания и сегментации цитологических объектов Используемый в САРО алгоритм распознавания и сегментации цитологических объектов основан следующей модели клетки, описывающую формообразующие факторы клетки в сухом цитологическом препарате.

Будем предполагать, что зафиксированная форма интересующих нас внутриклеточных объектов (ядрышек, ядер, цитоплазмы) зависит от упругих свойств соответствующих мембран, а также от воздействующих на мембраны "внешних сил", возникающих в процессе фиксации и окраски клетки. При определении характера внешних сил будем считать, что они зависят от разности концентраций вещества по обе стороны мембраны и что средняя парциальная плотность вещества в объеме некоторого фрагмента клетки пропорциональна средней оптической плотности вещества этого фрагмента (закон Бэра-Ламберта). Чтобы перейти от мембраны к контуру, то есть к характеристикам плоского двумерного изображения, будем считать, что либо клетка достаточно хорошо распластана, так что ее высота мала по сравнению с размерами изображения, либо изображение соответствует некоторому внутреннему достаточно тонкому слою клетки, находящемуся в фокусе, и что вкладом в суммарную плотность находящихся не в фокусе переднего и заднего слоев клетки можно пренебречь. Предполагая, что энергия упругости пропорциональна длине контура, а энергия изгиба пропорциональна как длине контура, так и его кривизне, полную энергию контура E() с учетом энергии внешних сил можно записать в виде E() = P()(W₁D()+W₂+W₃K()), где P() - длина контура ; K() - средняя кривизна ; D() - средняя оптическая плотность контура . Считая, что в устойчивом состоянии форма контура соответствует некоторому минимуму его энергии, получаем в качестве искомого местоположения границы клеточного объекта в плоскости кадра контур, соответствующий минимуму (1).

В целом модель (1) можно рассматривать не только как содержательную модель биофизических свойств клетки, но и как формальное описание контура мембраны разложением в ряд с точностью до членов второго порядка. При этом параметры разложения W₁, W₂, W₃ могут быть определены путем минимизации невязки с реальными реализациями. Минимизация (1) традиционными непрерывными методами для цитологических объектов, имеющих, как правило, пеструю текстуру, приводит к значительным трудностям ввиду многоэкстремальности E() при значительных колебаниях в значениях D(). Нами предложено [5] в подобных ситуациях применять так называемую "фасетную" схему сегментации [6], когда изображение из каких-либо соображений сначала разбивается на совокупность { F₁} связных областей - "фасетов" (см. фиг. 1), а затем путем итерационного объединения соседних фасетов "выращиваются" объекты сегментации.

Рассмотрим на изображении две соседние области (фасеты) A и B, имеющие общую границу длиной L_ab со средней оптической плотностью D_ab и средней кривизной K_ab. Пусть оставшиеся части границ областей имеют характеристики L_a, D_a, K_a, L_b, D_b и K_b соответственно. Для того, чтобы при объединении A и B энергия их общего внешнего контура уменьшилась, из (1) следует необходимость выполнения условия q=L_ab/L_b>(W₂+W₃K_b+ W₁D_b)/(W₂+W₃K_ab+ W₁D_ab). (2) Из (2) получаем, что при прочих равных условиях, при объединении фасетов уменьшение энергии нового контура по сравнению с энергией каждого из объединяемых контуров будет происходить на границах однородных по оптической плотности областей там, где оптическая плотность значительно изменяется. С другой стороны, при значительном возрастании кривизны или длины объединенного контура его энергии может возрасти несмотря на уменьшение оптической плотности. Доля общей границы фасетов (до объединения) q=L_ab /L_b как раз является приближенной оценкой возрастания длины контура и его кривизны после объединения. Действительно, при q/l один из фасетов охватывает другой фасет, и их объединение может только уменьшить длину и кривизну контура. При q, близком к нулю, объединенный контур возрастает по длине и кривизне. Указанные соотношения проиллюстрированы на фиг. 2. Таким образом, естественно использовать алгоритм поиска границ цитологических объектов, который рассматривает только кривые, состоящие из границ между однородными по оптической плотности фасетами. При итерационном объединении фасетов используется условие вида (5). Мы приходим к сочетанию модели активного контура с фасетной схемой сегментации.

Наряду с контекстными условиями типа (2) при решении вопроса об объединении фасетов применяют также пороговые ограничения на допустимые значения оптической плотности в красном, синем и зеленом цвете и на площади фасетов (как первичных, так и на каждой итерации объединения): Z^c₁<D^{_a, Dc_ab, Dc_b<Z₂, c=r,g,b, Z₃<S_{,Sb<Z, (3) Ограничения (3) позволяют учесть априорную информацию о неконтекстных свойствах объектов клеток. Чем сильнее ограничения (3), тем ближе работа алгоритма к обычным методам пороговой обработки.}}

Ввиду сложной структуры клеток и разных характеристик различных клеточных структур в алгоритме распознавания, выделяющем не только внешние границы клеток, но и внутриклеточные объекты (ядрышки, ядра, цитоплазма), необходимо использовать несколько операторов с условиями типа (2), (3). Каждый такой оператор в общем случае имеет свой собственный набор значений W и Z.

2. Применение настройки параметров САРО Основной проблемой при практической реализации описанного в п. 1 способа распознавания являлся подбор довольно большого числа параметров W^t и Z^t в (2), (3) для объектов каждого типа t и выбор последовательности применения элементарных функций обработки изображений. В связи со сложной топологией клетки и принятой схемы "выращивания" объектов распознавания как последовательности объемлющих объектов (ядрышки, ядра вокруг ядер, цитоплазмы вокруг ядер) в алгоритме применяется несколько вызовов операторов объединения фасетов с различными наборами значений W. Первочанально, до реализации средств адаптации, была предпринята попытка подобрать под каждый тип цитологического препарата свой фиксированный вариант значений параметров W и Z. Даже для изображений клеток препарата одного и того же типа подбор W и Z оказался затруднительным. Основной причиной этого являлась огромная вариабельность окраски клеток. Довольно скоро стало очевидным, что для всего многообразия препаратов и главное в условиях ручных технологий приготовления препаратов с применением красителей и фиксаторов различного качества заранее подобрать необходимое количество вариантов настройки алгоритма распознавания не удастся.

После проведения настройки условий (3) индивидуально для каждого препарата результаты экспериментов коренным образом изменились. Выполненный в результате кропотливой экспериментальной работы с использованием обучения подбор параметров W₁ - W₃ для препаратов Ag-NОR реакции лимфоцитов (мазки периферической крови) оказался практически без изменений применим к препаратам всех остальных рассмотренных типов (неокрашенных эритроциты, моноциты и лимфоциты в мазке крови окраска по Романовскому-Гимза, отпечатки лимфатических узлов с окраской AG-NOR). Различия в алгоритмах распознавания для указанных различных типов препаратов были сведены к различной "сборке" клеток в зависимости от ее состава (наличие или отсутствие ядрышек, ядер, цитоплазмы).

Таким образом, результаты проведенных экспериментов показали, что значения параметров W модели клетки (1) остаются весьма устойчивыми для изображений клеток всех рассмотренных типов в условиях различных окрасок. И наоборот, параметры Z значительно различаются для разных типов препаратов и их окрасок.

3. Способ настройки параметров модели Способ настройки позволяет оператору в диалоговом режиме на обучающей выборке изображений клеток препарата неявно задать параметры W и Z^ct в (2) и (3) для каждого цвета c=r,g,b и для каждого типа t объектов клетки.

В случае настройки Z^ct₁, Z^ct₂ оператор с помощью зонда монитора закрашивает интересующие его клеточные структуры (т.е. подлежащие автоматическому распознаванию и измерению), и система определяет минимальные и максимальные значения оптической плотности фасетов по обучающей выборке.

Значения параметров Z^ct₃, Z^ct₄ вводятся непосредственно экспертом и определяют допустимые площади объектов, которые могут получаться в результате применения алгоритма сегментации.

Определение параметров W в (2) является значительно более сложной задачей. Оно может быть выполнено с использованием обучающих кадров, для которых оператором-цитологом проведены обучающие "истинные" границы клеток и внутриклеточных компонент. Выборка истинных границ клеток обучающей выборки может быть получена либо одновременно с адаптацией параметров Z^t, либо в сеансе ручной сегментации с проведением границ на экране монитора с помощью манипулятора мышь. После разбиения кадров на фасеты для каждой пары соседних фасетов с помощью обучающих границ определяют, подлежат в случае t-ого типа цитологических объектов (t= 1,2,3 для ядрышек, ядер и цитоплазм соответственно) склейке в операторе (2) или нет. Таким образом получают обучающую выборку { X_i} , i = 1,...,I границ фасетов шести классов: M^t (склеивать) и S^t (не склеивать), t=1,2,3. Из (2) получают линейное решающее правило классификации элементов {X_i}: (W^t, X_i)<0, если X_i принадлежит M^t; (4) (W^t, X_i)0, если X_i принадлежит S^t, i=1,2,...,I, где (W^t, X_i)=W^t₁ (D_bq+D_ab) +W^t₂ (q=1)+W^t₃ (qK_b-K_ab).

Задача определения W^t в (4) является известной математической задачей "обучения распознаванию образов с учителем в статистической постановке" [8]. Оптимальную в смысле минимизации числа неправильно склеенных фасетов матрицу W получают в результате решения системы линейных неравенств (4) одним из известных методов, например методом линейного дискриминантного анализа [9].

В обучающей выборке границ {X_i} в принципе могут участвовать не только все пары соседних исходных первичных фасетов, но и пары вторичных фасетов, получающихся после нескольких итераций их объединения. Общее число элементов I в {X_i} при этом может оказаться недопустимо большим (>10⁶) для практически реализуемых вычислительных методов решения (4). Кроме того, виду вариабельности формы для каждого типа объектов клетки фактически может оказаться необходимым найти несколько вариантов параметров W^t границы. Это соответствует дополнительному увеличению размерности (4). Включать все возможные границы фасетов в (4), однако, нет необходимости, поскольку большинство границ фасетов сходны между собой с точки зрения критерия (2). Поэтому целесообразно применять какую-либо процедуру отбора обучающих границ, в частности включать в обучающую выборку {X_i} только границы, неправильно отсегментированные алгоритмом с априори заданными значениями параметров W. Далее процесс обучения параметров W повторяют итерационно, используя для отбора обучающих границ результаты сегментации с помощью алгоритма со значениями параметров W, полученными на предыдущей итерации.

4. Результаты экспериментальной проверки способа настройки параметров Анализ результатов проведенных экспериментов показал, что значения параметров алгоритма распознавания W₁-W₃, то есть параметров, соответствующих модели клетки (1)-(3), остаются весьма устойчивыми для изображений клеток различных типов в условиях различных окрасок. Если клетки препарата прокрасились примерно одинаково, как правило, достаточно 3-10 обучающих кадров для диалогового подбора параметров Z₁, Z₂, после чего на последующих кадрах система работает в режиме, близком к автоматическому (роль оператора сводится в оценке качества распознавания клеток). В случае значительной неравномерности прокраски препарата необходима периодическая корректировка параметров Z₁, Z₂.

Литература 1. Linder J. Considelations in automated cytology//Compendium on tre Computerized Cytology and Histology Laboratory. Tutorials of Cytology.-Chicago.- 1994. - P. 25.

2. Serra J. Examples of structuring functions and their uses //Image Analysis and Mathematical Morphology.-Vl. 2/ed. by. Serra S.-New York:Springer Verlag.-1988.-P. 71 -99.

3. Cohen L.D., Cohen I. Finite-Element Methods for Active Contour Models and Balloons for 2-D and 3-D Images //IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell.- 1993.-Vol. 15.-N 11.- P. 1131 - 1147.

4. Способ распознавания и измерения диагностических характеристик цитологических объектов: Заявка 29.07.93 N 93-039067/14 (038576) (прототип способа распознавания).

5. VL. S. Medovy, A.V. Ivanov, I.А. Ivanova, Vit.S.Medovy, N.V.Verdenskaya. Active contour model in cytological image recognition. IS & T/SPIE Proc. Vol. 2421, SanJoce, USA, February 1995.

6. Pong T. C., Shapiro L.G., Watson L.T., Haralick R.M. Experiments in segmentation using а facet model region gromer //Comput. Vision Graphics Image Process.-Vol. 25/-N1.-1984.-P. 1 - 23.

7. Nasr H. N., Sadjadi F.A. Bazakos M.E., Amehdi H.Knowledge and model based adaptive signal processor. Патент США 5,018,215, 21.05.91, МКИ G 06 K 9/62, НКИ 382/15 (прототип способа настройки параметров).

8. Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов. Статистические проблемы обучения.-Москва: Наука.-1974.

9. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. М.: Финансы и Статистика. -1989.-607 с.

Формула изобретения

1. Способ сегментации и распознавания клеток на увеличенных изображениях поля зрения микроскопа, состоящий в том, что оцифрованное изображение разбивают на первичные связные фрагменты (фасеты), однородные по оптической плотности, и итерационно объединяют их в односвязные области по критериям, заданным моделью характеристик границ цитологических объектов, отличающийся тем, что два соседних фасета А и В, имеющие площади S_а и S_b, общую границу длиной L_ab со средней оптической плотностью D_ab и средней кривизной К_ab, где оставшиеся части границ указанных фасетов имеют характеристики L_a, D_a, К_a и L_b, D_b, К_b соответственно, объединяют при выполнении условия q = L_ab/ L_b>(W₂+W₃К_b+W₁D₂)/(W₂+W₃К_ab+W₁D_ab), Z₁<D_{, Dab, Db< Z2, Z3< Sа, Sb< Z4, где W1, W2, W3, Z1 - Z4 - параметры модели границ цитологических объектов, а именно W1 - коэффициент при средней оптической плотности в выражении энергии контура через длину контура, среднюю оптическую плотность контура и среднюю кривизну контура; W2 - свободный член в выражении энергии контура через длину контура, среднюю оптическую плотность контура и среднюю кривизну контура; W3 - коэффициент при средней кривизне контура в выражении энергии контура через длину контура, среднюю оптическую плотность контура и среднюю кривизну контура; Z1 - нижняя граница значений оптической плотности фасетов цитологических объектов; Z2 - верхняя граница значений оптической плотности фасетов цитологических объектов; Z3 - нижняя граница значений площади фасетов цитологических объектов; Z4 - верхняя граница значений площади фасетов цитологических объектов.}

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что перед выполнением сегментации и распознавания клеток на цитологических изображениях препаратов заданного класса осуществляют настройку параметров W₁, W₂, W₃, Z₁ - Z₄ на препараты заданного типа с использованием обучающих кадров, для чего с помощью диалоговых средств формируют выборку обучающих кадров цитологических препаратов, в которых экспертом задаются "истинные" границы цитологических объектов (клеток и внутриклеточных компонент), разбивают обучающие кадры на первичные связные фасеты, однородные по оптической плотности, для каждой пары соседних фасетов с помощью обучающих границ определяют, подлежат фасеты каждого из заданных Т типов цитологических объектов объединению (в случае нахождения внутри границы объекта) или нет (в случае нахождения по разные стороны обучающей границы), что дает обучающую выборку {X_i}, i =1, ..., I границ между парами фасетов 2Т классов, формируют линейное решающее правило классификации элементов {X_i}: (W^t, X₁) < 0, если Х_i подлежит объединению; (W^t, X₁) 0, если X_i не подлежит объединению, i =1,2, ..., I, где (W^t, X₁) = W^t₁(D_bq+D_ab)+ W^t₂(q-1)+ W^t₃(qK_b-K_ab), и оптимальную в смысле минимизации числа неправильно объединяемых фасетов матрицу W =(W^t) получают в результате решения указанной системы линейных неравенств одним из известных методов, например методом линейного дискриминантного анализа.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2