Способ полного сложения - вычитания чисел, кодируемых сигналами, и устройство для его осуществления

Способ полного сложения - вычитания чисел, кодируемых сигналами, и устройство для его осуществления

Реферат

 

Способ сложения-вычитания чисел основан на формировании двух трехуровневых сигналов cop_q(2k_x/q), sip_q(2k_y/q), cop_q(2k_y/q), sip_q(2k_y/q), по волновым функциям Попова - pop_q(). Эти функции представляют двумя ортогональными составляющими: pop_q() = cop_q()+isip_q(). Каждое число K_х и K_y от K_x,y = 0 до K_х,у = g -1, в системах счисления с основанием g = 4 и g =8, представляют фазами _x,y = 2k_x,y/q. Каждую фазу _x,y кодируют значениями уровней сигналов cop_q(2k_x,y/q) и sip_q(2k_x,y/q). Значения ортогональных составляющих функций Попова cop_q() и sip_q() определяют путем сравнения с порогами соответствующих тригонометрических функций cos и sin при значении аргумента = 2k/q. Техническим результатом изобретения является расширение функциональных возможностей, предусматривающих кодирование чисел трехуровневыми сигналами, их сложение и вычитание в системах счисления с основаниями g= 4 и g=8. Для сложения фаз формируют сигналы cор_g (s) и sip _g (s), а для вычитания - cор_g (-s), sip_g (-s), которые представляют коды суммы и разности чисел слагаемых K_х и K_y. Сложение и вычитание фаз производят в соответствии с известными формулами сложения и вычитания фаз синусоидальных волн. 3 с.п. ф-лы, 12 ил., 41 табл.

Изобретение относится к области автоматики и вычислительной техники и может быть использовано в дискретных автоматах для сложения-вычитания чисел, кодируемых трехуровневыми сигналами по ортогональным составляющим функций Попова.

Известен способ кодирования трехзначных чисел троичных систем счисления (С. 0. Мкртчян, Проектирование логических устройств ЭВМ на нейронных элементах, М. , "Энергия", с. 81-83). При таком способе кодирования трехуровневый биполярный сигнал представляется отрицательной полярностью сигнала число "0", нулевым уровнем - число "1", сигналом положительной полярности - число "2".

Такой способ кодирования обеспечивает представление троичных чисел и не обеспечивает кодирование q-ричных чисел, при q больше трех.

Известно устройство сложения-вычитания неизбыточного и избыточного аргументов в двоичной системе счисления (СССР, авт. св. N 407308, G 06 F 7/50, Бюл. N 46, 1973 г.), которое содержит блоки формирования суммы и переноса, выполненные на логических элементах. Каждый из блоков формирования суммы и переноса содержит две схемы формирования соответственно логического дополнения и действительного значения суммы и переноса, состоящей из трех элементов "И", и подключенных к их выходам элементов "ИЛИ", связанных выходом с усилителем-инвертором. Первые два входа первых элементов "И" каждой схемы формирования соединены с шинами логического дополнения положительного и отрицательного значений избыточного аргумента. Третьи входы первых элементов "И" схем формирования дополнения суммы и переноса блоков формирования суммы и переноса соединены с шиной действительного значения неизбыточного аргумента. Третьи входы элементов "И" схем формирования действительного значения суммы и переноса - с шиной логического дополнения неизбыточного аргумента. Первые входы вторых и третьих элементов "И" соединены с шинами действительных положительного и отрицательного значений избыточного аргумента соответственно. Другие входы второго и третьего элементов "И" схемы формирования дополнения суммы соединены с шинами логического дополнения неизбыточного аргумента. Другие входы второго и третьего элементов "И" схемы формирования действительного значения суммы - с шинами действительного значения неизбыточного аргумента. Другие входы второго и третьего элементов "И" схемы формирования дополнения переноса соединены с шиной действительного значения (при сложении) и шиной логического дополнения (при вычитании) управляющего сигнала соответственно. Другие входы второго и третьего элементов "И" схемы формирования действительного значения переноса соединены с шиной логического дополнения и шиной действительного значения управляющего сигнала соответственно. Выход инвертора схемы формирования дополнения суммы данного разряда и выход инвертора схемы формирования действительного значения переноса блока формирования переноса предшествующего разряда соединены с выходными шинами положительного значения суммы. Выход инвертора схемы формирования действительного значения суммы данного разряда и выход инвертора схемы формирования дополнения переноса предшествующего разряда соединены с выходными шинами отрицательного значения суммы.

Избыточное кодирование осуществляется введением в каждый разряд отрицательной единицы, т.е. один из аргументов кодируется в двоичной системе с цифрами -1, 0, 1: сумма в каждом разряде принимает значение, равное 0 или -1, а перенос - 0, при этом окончательная сумма в i-ом разряде, получаемая в двоичной системе с цифрами -1, 0, 1, имеет либо положительное, либо отрицательное значение и является простым объединением истинного значения суммы в i-м разряде и логического дополнения переноса из i-го разряда для отрицательного значения окончательной суммы и простым объединением дополнения суммы в i-ом разряде с истинным значением переноса из (i - 1)-го разряда для положительного значения окончательной суммы (под простым объединением понимается то, что каждое значение окончательной суммы в i-ом разряде выдается двумя шинами: соответствующими шинами суммы из i-го разряда и переноса из (i - 1)-го разряда).

Устройство сложения-вычитания неизбыточного и избыточного аргументов работает только в двоичной системе счисления.

Известен троичный комбинационный сумматор и способ его работы, принятый за прототип изобретения (СССР, авт.св. N 416691, G 06 F 7/50, Бюл. N 7, 1974 г. ). Сумматор содержит три пороговых элемента, пять входных и четыре выходные шины. Первый пороговый элемент имеет порог +3 и пять входов с весами +2, +1, +1, +2, +1. Второй пороговый элемент имеет порог +5 и шесть входов с весами +2, +1, +1, +2, +1, +3. Третий пороговый элемент имеет порог +6 и семь входов с весами +2, +1, +1, +2, +1, +3, +2. Первые и вторые входы всех пороговых элементов подключены к шине старшего члена разряда первого слагаемого, вторые входы всех пороговых элементов подключены к шине младшего члена разряда первого слагаемого. Третьи входы всех пороговых элементов подключены к шине младшего члена разряда второго слагаемого. Четвертые входы всех пороговых элементов подключены к шине старшего члена разряда второго слагаемого. Пятые входы пороговых элементов подключены к шине переноса из предыдущего разряда сумматора. Шестые входы второго и третьего пороговых элементов подключены к инверсному выходу первого порогового элемента. Седьмой вход третьего порогового элемента подключен к инверсному входу второго порогового элемента.

Цифры троичной системы закодированы согласно таблице 1а.

Работа троичного сумматора описывается таблицей 2a (таблицы 1а и 2а см. в конце описания) С прямого выхода порогового элемента ПЭ1 снимается перенос C₁ в следующий разряд сумматора, с прямого выхода порогового элемента ПЭ2 снимается старший член разряда троичной суммы S²₁, a с прямого выхода порогового элемента ПЭ3 снимается младший член разряда троичной суммы S¹₁. Первые входы всех пороговых элементов соединены вместе и подключены к шине x²₁, вторые входы всех пороговых элементов подключены к шине x¹₁, третьи входы всех пороговых элементов подключены к шине y¹₁, четвертые входы всех пороговых элементов подключены к шине y²₁, пятые входы всех пороговых элементов подключены к шине C_1-1, кроме того шестые входы второго и третьего элементов подключены к инверсному выходу порогового элемента ПЭ1, а седьмой вход порогового элемента ПЭ3 подключен к инверсному выходу порогового элемента ПЭ2.

Троичный сумматор работает только в трехзначной - троичной системе счисления.

Техническим результатом изобретения является расширение функциональных возможностей способа сложения-вычитания. Расширение функциональных возможностей предусматривает кодирование чисел трехуровневыми сигналами, их сложение и вычитание в системах счисления с основаниями q = 4 и q = 8.

Трехуровневые волновые функция Попова Для кодирования чисел трехуровневыми сигналами, вводятся трехуровневые волновые функции Попова.

1. Дискретные волновые функции.

Для кодирования чисел автор изобретения ввел дискретные волновые трехуровневые, биполярные функции pop_q(2 k/q), различные для разных оснований q систем счисления и назвал их своим именем - функции Попова. Эти функции представляют парой ортогональных составляющих: pop_q(2k/q) = cop_q(2k/q)+isip_q(2k/q), (1) где q - основание системы счисления, которое может принимать значения от q = 3 до q = 8; k - число-цифра, которая для одного разряда может принимать значения, равные 0, 1, ..., (q-1).

При этом каждую цифру k представляют фазой волновой функции Попова _kq= 2k/q, a каждую фазу _kq кодируют сочетанием значений ортогональных составляющих cop(_kq) и sip_q(_kq). Значения ортогональных составляющих cop_q(2k/q) и sip_q(2k/q) определяют через значения соответствующих им тригонометрических функций косинус и синус: cos(2k/q) и sin(2k/q). Для этого период 2 делят на q равных частей и назначают одинаковые по абсолютному значению положительный и отрицательный пороги . Пример такого квантования по фазе для q = 7 приведен на фиг. 1. Значения тригонометрических функций в точках аргумента _kq= 2k/q сравнивают с порогами. Если значение тригонометрической функции превышает положительное пороговое значение +, то соответствующей ей трехуровневой ортогональной составляющей приписывают значение +1, если значение тригонометрической функции меньше отрицательного порогового значения -, то соответствующей функции cop_kq или sip_kp приписывают значение -1, если значение тригонометрической функции находится между пороговыми значениями + и -, то соответствующей трехуровневой ортогональной составляющей приписывают значение 0. Таким образом, значения ортогональных составляющих трехуровневых волновых функций можно определить, как: Значения порогов определяют из условия однозначного кодирования всех q фаз сочетаниями значений функций cop_q(_kq) и sip_q(_kq), для всех оснований q от q = 3 до q = 8. При этом наихудшим случаем кодирования, с точки зрения допустимого уровня порога, является случай квантования периода для q = 7. Для этого случая (фиг. 1) в точках _2,7= 4/7 и _5,7= 10/7 значение а в точках _3,7= 6/7 и _4,7= 8/7 значение и для однозначного кодирования семи фаз уровнями ортогональных составляющих абсолютное значение порогов должно быть больше sin/14 и в то же время меньше sin/7, то есть для однозначного кодирования q фаз для всех q от q = 3 до q =8 значение модуля порога при определении значений дискретных функций cop_q(2k/q) и sip_q(2k/q) можно выбирать любым в пределах: sin/7 > > sin/14. (4) При таком определении дискретных волновых функций, используя сочетания значений ортогональных составляющих cop_q(2k/q) и sip_q(2k/q), обеспечивается однозначное кодирование q фаз функций pop_q(2k/q) и, следовательно, q цифр k = 0, 1, ..., (q-1).

Для кодирования чисел в системах счисления, с основаниями q = 4 и q = 8 ограничение на выбор значения порога (4) менее жестко, а именно: Функции pop_q(2k/q), примененные для представления чисел в системе счисления с основанием q, могут быть использованы и для представления чисел в системе счисления с основанием (q + 1). При этом для кодирования (q + 1) цифр множество значений волновых функций дополняют сочетаниями значений ортогональных составляющих "0,0", когда обе ортогональные составляющие принимают нулевое значение. Например, для кодирования чисел в девятеричной системе счисления (q = 9) сочетания значений ортогональных составляющих волновых функций для q = 8 дополняют сочетанием "0,0", соответствующим цифре k = 0, а способ кодирования остальных цифр аналогичен описанному выше с той разницей, что при таком способе кодируют цифры k₁ = k + 1.

В таблицах 1 - 7 (см. в конце описания) представлены значения фаз _kq= 2k/q и соответствующие им фазо-волновые коды цифр для разных q от q = 3 до q = 8, а в таблице 7 представлены фазо-волновые коды цифр девятеричной системы счисления.

2. Непрерывные трехуровневые биполярные функции Попова Трехуровневые биполярные функции непрерывного аргумента VVVV, который изменяется в пределах 0 < 2, представленные ортогональными составляющими: pop_q() = cop_q()+isip_q(), (5) определяют через дискретные трехуровневые функции pop_q(2k/q), принимая k = [q/2], где k[] - означает целую часть аргумента q/2. То есть ортогональные составляющие непрерывных функций cop_q() и sip_q() сохраняют значения соответствующих им дискретных функций, которые они имели в точках _kp= 2k/q, в секторе аргумента : 2k/q < 2(k+1)/q (6) Правила сложения-вычитания чисел по модулям q = 4 и q = 8, представленных фазо-волновыми кодами pop_q() Правила сложения чисел по модулю q = 4 определяются таблицей 8, а правила вычитания чисел по модулю q = 4 - таблицей 9. Правила сложения чисел по модулю q = 8 определяются таблицей 10, а правила вычитания чисел по модулю q = 8 определяются - таблицей 11.

В тех случаях, когда сумма равна или больше основания системы счисления q по модулю, формируют число "1" - переноса в старший разряд. При вычитании число переноса "-1" формируют, когда разность меньше нуля. В таблицах 8-11 эти значения сумм и разностей подчеркнуты.

Заменяя в таблицах 8 - 11 (см. в конце описания) цифры их фазо-волновыми кодами получаем таблицы истинности для операций сложения - вычитания чисел, представленных фазо-волновыми кодами таблиц 12-15 (см. в конце описания).

При наличии единицы переноса из младшего разряда осуществляют сдвиг фаз результатов сложения по модулю на /2 при сложении или на -/2 при вычитании для четверичной системы сложения и на /4 при сложении или на -/4 при вычитании для восьмеричной системы счисления. Этому случаю соответствуют таблицы истинности 16 - 19.

Поскольку коды чисел k_x и k_y (слагаемых или уменьшаемого и вычитаемого) представляют фазы _x= 2k_x/q и _y= 2k_y/q волновых функций Попова, способ сложения или вычитания сводится к сложению или вычитанию фаз волновых функций слагаемых. Волновые функции Попова обладают свойствами, аналогичными свойствам синусоидальных волн. В частности, для них справедливо правило сложения фаз: и правило вычитания фаз: где _s= _{x y}, при этом 0 _s< 2. Описанный способ сложения - вычитания представляет принцип действия "полусумматора-вычитателя". Полный сумматор-вычитатель предполагает сложение-вычитание результатов сложения-вычитания по модулю с единицей переноса из предыдущего разряда, если таковая имеет место, а также формирование единицы переноса в следующий по старшинству разряд.

Для сложения-вычитания с единицей переноса используют формулы сложения трех фаз, аналогичные тригонометрическим соотношениям: и формулы вычитания: где _c/- фаза кода единицы переноса C = 1, _c1= _{x y c}. При этом 0 _c1< 2. Для четверичной системы счисления _c= /2. Этой фазе соответствует код: cop_4c= 0, а sip_4c= 1 - при сложении и sip_4-c= -1 - при вычитании.

Для восьмеричной системы счисления _c= /4 и код переноса cop_8c= 1, а sip_8c= 1 - при сложении и sip_8-c= -1 - при вычитании.

С учетом значений кодов единицы переноса формулы полного сложения (11) и (12) для четверичной системы счисления принимают вид: а формулы полного вычитания (13) и (14): Для восьмеричной системы счисления формулы полного сложения: а формулы вычитания: Из анализа соотношений (15) - (22) можно сделать следующий вывод - для реализации операций сложения и вычитания по модулю, а также для полного сложения и полного вычитания как в четверичной, так и в восьмеричной системах счисления достаточно получить четыре произведения фазо-волновых кодов и путем комбинирования сумм - разностей этих произведений реализовать любую из операций по формулам (15) - (20). Это означает, что можно построить универсальное устройство для реализации операций сложения-вычитания, сдвига, сравнения в четверичной и восьмеричной системах счисления.

Правила формирования кода единицы переноса Независимо от системы счисления код единицы переноса при сложении должен формироваться, если фаза кода суммы больше или равна 2 и код переноса "-1" - при вычитании, если фаза кода разности меньше -2. Однако такое определение правила неоднозначно в силу периодичности фазо-волновых функций.

Из таблиц истинности 12, 14, 16 и 18 операций сложения видно, что независимо от значения кода переноса из предшествующего разряда, код единицы переноса формируется всегда, когда фазы кодов обоих слагаемых _x или _y больше или равны ,а также когда фаза кода суммы _s и _s+1 лежит в пределах от 0 до , и при этом фаза кодов хотя бы одного из слагаемых не меньше . Таким образом, можно сформулировать следующее правило формирования единицы переноса C = 1 при сложении: C = 1, если _x и _y , а также При этом формируют код единицы переноса при сложении: sip_q(_c+1) = 1 (24) Из таблиц истинности операций вычитания (таблицы 13, 15, 17 и 19) следует, что код единицы переноса, C = -1 формируется, если фаза _x кода уменьшаемого меньше и фаза _y кода вычитаемого не меньше , а также когда фаза _-s или _-s-1 кода лежит в пределах от до 2, и при этом либо фаза _x кода уменьшаемое меньше , либо фаза _y кода вычитаемого не меньше , то есть: C = -1, если _x< и _y, а также При этом формируют код единицы переноса при вычитании: sip_q(_-c-1) = -1 (26) Сигнал кода переноса cop₈(_c=1) = 1 в восьмеричной системе счисления формировать не обязательно, так как эта составляющая кода не изменяется при появлении единицы переноса. Аналогично в четверичной системе счисления сигнал кода переноса cop₄(_c1) не формируют, т.к. заведомо известно, что при наличии сигнала кода переноса sip₄(_c1) всегда сигнал cop₄(_c1) = 0, и этот факт можно учесть при сложении-вычитании с единицей переноса в следующий разряд.

Способ полного сложения-вычитания чисел в четверичной и восьмеричной системах счисления Способ полного сложения-вычитания чисел основан на кодировании чисел-цифр k_x и k_y фазами _x= 2k_x/q и _y= 2k_y/q сигналов cop_q(_x,y) и sip_q(_x,y) по волновым функциям Попова, а также на сложении-вычитании фаз сигналов в соответствии с формулами (15) - (22) и формировании сигналов переноса по правилам (23) - (26).

Способ состоит в том, что формируют две пары трехуровневых сигналов: по волновым функциям Попова которые представляют двумя ортогональными составляющими: pop_q() = cop_q()+isip_q(), (5) каждое число-цифру k_x и k_y от k_x'y = 0 до k_x'y = q -1, в системах счисления с основаниями q= 4 и q=8, представляют фазами _x,y= 2k_x,y/q, каждую фазу _x,y кодируют значениями cop_q(2k_x,y/q) и sip_q(2k_x,y/q). Значения ортогональных составляющих функций Попова cop_q() и sip_q() определяют путем сравнения с порогами соответствующих тригонометрических функций cos() и sin() при значениях аргумента = 2k/q, как При этом значения модуля можно выбрать любым в пределах (4а).

Для сложения-вычитания фаз предварительно формируют сигналы четырех произведений сигналов: - сигналы первого произведения - cop_q(_x)cop_q(_y); - сигналы второго произведения - sip_q(_x)sip_q(_y); - сигналы третьего произведения - sip_q(_x)cop_q(_y); - сигналы четвертого произведения - cop_q(_x)sip_q(_y), а также используют сигнал sip_q(_c) единицы переноса C = 1 при сложении и сигнал -sip_q(_-c) единицы переноса C = -1 при вычитании.

Затем для сложения чисел формируют два сигнала cop_q(_s) и sip_q(_s), которые представляют коды суммы чисел слагаемых k_x и k_y', если единица переноса из предыдущего разряда равна нулю (C = 0). При этом сигнал cop_q(_s) формируют путем вычитания из сигналов первого произведения сигналов второго произведения, а сигнал sip_q(_s) путем сложения сигналов третьего и четвертого произведений, в соответствии с формулами (15а), (16а), (19а) и (20а). При наличии единицы переноса из предыдущего разряда (C = 1) при сложении чисел формируют два сигнала cop_q(_s+1) и sip_q(_s+1). При этом в четверичной системе счисления сигнал cop₄(_s+1) формируют путем замены сигнала cop₄(_s) инвертированным по полярности сигналом sip₄(_s), a в восьмеричной системе счисления сигнал cop₈(_s+1) - путем вычитания из сигналов cop₈(_s) сигналов sip₈(_s), в соответствии с формулами (15б) и (19б). Сигнал sip₄(_s+1) в четверичной системе счисления формируют путем замены сигналов sip₄(_s) сигналами cop₄(_s), а сигнал sip₈(_s+1) в восьмеричной системе счисления - путем суммирования сигналов cop₈(_s) и sip₈(_s), в соответствии с формулами (16б) и (20 б).

Для вычитания чисел формируют два сигнала cop_q(_-s) и sip_q(_-s), которые представляют коды разности чисел k_x и k_y, если единица переноса из предыдущего разряда равна нулю (C = 0). При этом сигнал формируют путем сложения сигналов первого и второго произведений, а сигнал sip_q(_-s) - путем вычитания из сигналов третьего произведения сигналов четвертого произведения в соответствии с формулами (17а), (18а), (21а) и (22а).

При наличии единицы переноса из предыдущего разряда (C = -1) формируют два сигнала cop_q(_-s-1) и sip_q(_-s-1). При этом в четверичной системе счисления сигнал cop₄(_-s-1) формируют путем замены сигналов cop₄(_-s) сигналами sip₄(_-s), a в восьмеричной системе счисления сигнал cop₈(_-s-1) формируют путем сложения сигналов cop₈(_-s) и sip₈(_-s), в соответствии с формулами (17б) и (21б).

Сигнал sip₄(_-s-1) в четверичной системе счисления формируют путем замены сигналов sip₄(_-s) инвертированными по полярности сигналами cop₄(_-s), а сигнал sip₈(_-s-1) в восьмеричной системе счисления формируют путем вычитания из сигналов sip₈(_-s) сигналов cop₈(_-s), в соответствии с формулами (18б) и (22б).

Вместе с формированием сигналов кодов суммы-разности чисел формируют сигналы кодов единицы переноса в следующий разряд. При этом в четверичной системе счисления формируют сигналы кодов единицы переноса при сложении: sip_q(_c+1) = 1, если _x и _y , а также если 0 (_s; _s+1) < и (_x или _y ). При вычитании формируют сигналы кода переноса: sip_q(_-c-1) = -1, если _x< и _y , а также если 2 > (_-s; _-s-1) и (_x< или _y ). В остальных случаях при сложении и при вычитании формируют коды переноса: sip_q(_c1) = 0. Отличительными признаками изобретения-способа полного сложения-вычитания чисел являются: - кодирование чисел фазами трехуровневых фазо-волновых функций; - кодирование фаз уровнями ортогональных составляющих фазо-волновых функций; - сложение-вычитание фаз по аналогичным правилам сложения-вычитания фаз синусоидальных волн.

Устройство сложения-вычитания чисел по модулям 4 и 8 содержит: пять входных (первую, вторую, третью, четвертую и пятую) и две (первую и вторую) выходных шины, два (первый и второй) инвертора полярности, два (первый и второй) повторителя, два (первый и второй) дифференциальных усилителя-ограничителя, переключатель полярности сигналов, четыре (первый, второй, третий и четвертый) амплитудных детектора и восемь (первый, второй и т.д.) управляемых ключей.

Первая входная шина соединена через первый ключ с неинвертирующим входом первого дифференциального усилителя-ограничителя, а через второй ключ - с инвертирующим входом этого же усилителя, первая входная шина через седьмой ключ также подключена к инвертирующему входу второго дифференциального усилителя-ограничителя, а через восьмой ключ - к неинвертирующему входу этого же усилителя.

В