Способ и система для радиолокационного измерения скоростей и координат объектов (варианты)

Способ и система для радиолокационного измерения скоростей и координат объектов (варианты)

Реферат

 

Изобретение относится к области радиоэлектроники, в частности ближней радиолокации, и может быть использовано в системах предотвращения столкновений транспортных средств и контроля движения. Технический результат заключается в обеспечении при минимальной стоимости достаточной для целей безопасности дорожного движения предельной дальности, разрешающей способности и точности измерений и координат объектов. Способ осуществляют путем излучения непрерывного частотно-модулированного зондирующего сигнала, приема отраженного сигнала в одной или нескольких пространственных позициях, перемножения принятого и излучаемого сигналов и вычисления функций корреляции полученного гомодинного сигнала и опорных сигналов, сформированных их гармоник модулирующего сигнала. Скорости объектов вычисляют по доплеровским частотам и фазам периодических составляющих функций корреляции и вторичных, вычисленных из них функций, дальность - либо по характеристике гомодинного сигнала, либо по номеру опорного сигнала во временном множестве, а угловые координаты - по разности фаз отраженных и принятых в разных позициях сигналов. Система содержит антенно-фидерное устройство, гомодинное приемопередающее устройство, коррелометр, формирующий опорные сигналы и вычисляющий функции корреляции и вторичные функции, и процессор, формирующий модулирующий сигнал и вычисляющий скорости и координаты объектов. 6 с. и 15 з.п. ф-лы, 10 ил.

Предлагаемая система относится к области радиоэлектроники, в частности ближней радиолокации, и может быть использована в системах предотвращения столкновений транспортных средств и контроля дорожного движения.

В последнее десятилетие наблюдается бурное развитие радиолокационных средств определения обстановки на автомобильных транспортных магистралях, основным достоинством которых является возможность предоставления водителям транспортных средств и сотрудникам органов, контролирующих дорожное движение, объективных данных о скоростях и координатах объектов на магистралях в любое время суток и в любых погодных условиях. В настоящее время в развитых странах подобными системами, работающими в миллиметровом диапазоне длин волн, оснащаются автобусы и грузовой транспорт, ожидается, что к 2005 году более 1 млн. систем будут установлены на легковые автомобили. Сдерживающим фактором широкого применения автомобильных радиолокаторов (радаров) является их относительно высокая стоимость (см. журнал “Microwave Journal”, 2001, vol. 44, #5, р.271).

Анализ патентной и научно-технической информации позволяет сделать вывод, что основной причиной высокой стоимости систем этого класса является сложность аналогового приемопередатчика радиолокатора, содержащего, как правило, большое количество дорогостоящих микроволновых узлов.

В большинстве известных технических решений для зондирования используют сигнал с линейной частотной модуляцией (или сочетание его с непрерывным немодулированным сигналом), а информацию о скорости и дальности объектов получают измерением мгновенной разности частот излучаемого и принятого сигнала.

Примером такого решения является радиолокатор и реализуемый им способ измерения параметров объектов, в котором относительно высокие технические параметры обеспечиваются применением сложной схемы формирования зондирующего сигнала в передатчике и двойного преобразования частоты в приемнике (см. Millimeter-Wave Radar Sensor for Automotive Intelligent Cruise Control (ICC), IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 45, No 12, December 1997).

Другим примером является способ определения дальности в доплеровских измерителях вектора скорости для летательных аппаратов (см. патент РФ №2018864 от 10.07.92), в котором используется частотная модуляция зондирующего сигнала по ступенчато-пилообразному закону с заданной величиной скачка частоты на ступеньку и длительностью ступеньки с возможностью измерения фазы в ней. Дальность определяют по разности фаз частотно-модулированного излучаемого и отраженного сигнала на частоте модуляции. Недостатком известного способа измерения является низкая чувствительность, обусловленная тем фактом, что преобразованный принятый сигнал (сигнал промежуточных частот) лежит в области низких частот, где имеет место большой уровень фликкер-шума.

Общим недостатком метода радиолокации с линейно-частотной модуляцией (метода ЛЧМ) является, как известно, ограничение разрешающей способности и точности измерения дальности длительностью периода частотной модуляции, что обусловлено тем, что принятый сигнал анализируется во временной области.

Предпосылки к альтернативному способу радиолокации, использующему обработку сигнала в частотной области (спектральный подход), отражены в монографии (см. Мухаммед Абд Аль-Вахиб Исмаил. Радиолокационный высотомер с двойной частотной модуляцией. Изд. Иностранной литературы, М., 1957, (пер. с англ.) или Mohamed Abd-El Wahab Ismael, A Study of the Double Modulated F.M. Radar, Verlag Leeman, Zurich, 1955). Некоторые результаты, изложенные в разделе 2 первой главы монографии, в частности, полученное автором выражение (29) для спектра выходного сигнала смесителя, перемножающего излучаемый и принятый частотно-модулированные по гармоническому закону сигналы, являются отдаленным аналогом предлагаемого способа радиолокации. Автором монографии, однако, при выводе формулы (29) сделаны упрощения, скрывшие некоторые особенности спектра, в частности зависимость фаз гармоник модулирующего сигнала от расстояния до отражающего объекта.

Близким к изобретению является способ измерения параметров объектов, реализуемый гомодинным радиолокатором непрерывного излучения с частотной модуляцией, в котором модулируемый по частоте генератор СВЧ-колебаний служит одновременно генератором передатчика и гетеродином приемника, с последующей обработкой сигнала смесителя.

Способом-прототипом предлагаемого изобретения является способ радиолокационного измерения скорости и координат объектов, включающий излучение периодически модулированного по частоте зондирующего сигнала, прием отраженных от объектов сигналов, перемножение излучаемого и принятых сигналов, усиление в заданной полосе частот полученного в результате перемножения гомодинного сигнала и анализ полученного сигнала промежуточных частот. Расстояние до объекта вычисляют по измеренной амплитуде гармоники спектра выходного (гомодинного) сигнала смесителя, а скорость - по доплеровской частоте изменения этой амплитуды (см. “Справочник по радиолокации”, в четырех томах под редакцией М. Сколника (далее “Справочник”), том 3, М.: Советское радио, 1976-1979 (пер. с английского “RADAR HANDBOOK”, Editor-In-Chief M.I.Skolnik, McGRAU-HILL BOOK COMPANY, 1970)”, том 3, 1979, стр. 258-262). Недостатками известного способа является низкая предельная дальность, обусловленная неоптимальностью приема отраженных сигналов, большая погрешность измерения дальности объектов, обусловленная сильной зависимостью амплитуды гармоник от дестабилизирующих факторов, а также отсутствие возможности определения знака радиальной скорости.

По наибольшему количеству существенных признаков системой-прототипом предлагаемого изобретения является автомобильная радарная система (см. патент США №5325097 от 28 июня 1994, “Multimode Radar for Road Vehicle Blind-zone Target Discrimination”). Известная система для радиолокационного измерения скоростей и координат объектов содержит соединенные микроволновыми входами и выходами антенно-фидерное устройство, обеспечивающее излучение зондирующего и прием отраженных от измеряемых объектов сигналов, и приемопередающее устройство, обеспечивающее формирование зондирующего сигнала, перемножение с ним принятых сигналов и усиление промежуточных частот полученного гомодинного сигнала, а также аналого-цифровой преобразователь и процессор, вход управления частотой зондирующего сигнала и выходы промежуточной частоты приемопередающего устройства соединены соответственно с аналоговым выходом процессора и входами аналого-цифрового преобразователя, а процессор наделен программами управления частотой приемопередающего устройства и вычисления скоростей и координат объектов. Приемопередающее устройство включает генератор зондирующего сигнала, вход управления частотой которого соединен через модулятор с цифровым процессором, смеситель, первый вход которого соединен с выходом генератора зондирующего сигнала, второй вход подключен к входу приемопередающего устройства, а выход через полосовой усилитель соединен с выходом приемопередающего устройства. Антенно-фидерное устройство выполнено в виде передающей и приемной антенн.

Способ, реализуемый системой-прототипом определения параметров транспортного средства, использует линейно-частотно-модулированный сигнал с линейно растущей и линейно уменьшающейся частотой, а также режим с постоянной частотой излучаемого сигнала. Излучаемый и принятый сигналы перемножают, выделяют сигнал промежуточных частот, который преобразуют в цифровую форму и анализируют во временной области с помощью цифрового процессора с учетом собственной скорости транспортного средства.

Недостатком системы-прототипа является недостаточная предельная дальность и точность измерений, обусловленная описанными выше особенностями метода ЛЧМ, а также сильным влиянием фликкер-шума.

Для устранения вышеуказанных недостатков была поставлена задача создания способа и системы для радиолокационного измерения скорости и координат объектов, обеспечивающих при минимальной стоимости достаточную для целей безопасности дорожного движения предельную дальность, разрешающую способность и точность измерения скоростей и координат объектов.

Указанный технический результат достигается тем, что в способе радиолокационного измерения скоростей и координат объектов, включающем излучение периодически модулированного по частоте зондирующего сигнала, прием отраженных от объектов сигналов, перемножение излучаемого и принятых сигналов, усиление в заданной полосе частот полученного в результате перемножения гомодинного сигнала и анализ полученного сигнала промежуточных частот, согласно изобретению формируют основное и квадратурное частотные множества опорных сигналов, каждый из которых содержит одну из гармоник модулирующего сигнала, вычисляют основное и квадратурное частотные множества функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, из которых вычисляют множество функций амплитуд гармоник сигнала промежуточных частот, из полученных функций амплитуд, по крайней мере, двух - четной и нечетной - гармоник выделяют доплеровские сигналы обнаруженных объектов, вычисляют основные и квадратурные множества коэффициентов корреляции одного из выделенных доплеровских сигналов и функций корреляции и определяют модули радиальной скорости объектов по частоте выделенных доплеровских сигналов, знаки радиальной скорости - по знаку разности фаз доплеровских сигналов, выделенных из четной и нечетной гармоник, а по отношениям постоянных составляющих квадратурных и основных функций корреляции для неподвижных объектов или по отношениям квадратурных и основных коэффициентов корреляции для движущихся объектов определяют фазочастотную характеристику сигнала промежуточных частот и вычисляют дальность до основного объекта по крутизне линейной составляющей, а разности дальностей основного и других отражающих объектов - по периодам периодических составляющих фазочастотной характеристики.

Во втором варианте способа радиолокационного измерения скоростей и координат объектов согласно изобретению формируют нечетное и четное временные множества опорных сигналов, соответствующие множеству средних значений измеряемых дальностей, каждый из которых содержит соответственно только нечетные или только четные гармоники модулирующего сигнала, вычисляют множества нечетных и четных функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, выделяют из функций корреляции нечетные и четные постоянные составляющие и доплеровские сигналы, по которым вычисляют первый и второй полные доплеровские сигналы обнаруженных объектов путем суммирования и вычитания нечетного и четного выделенных доплеровских сигналов, причем фазу одного из них предварительно изменяют на /2, и определяют модули радиальной скорости объектов по частотам полных доплеровских сигналов, знаки радиальной скорости - по величине отношений уровней первого и второго полных доплеровских сигналов, а по уровням нечетной или четной постоянных составляющих функций корреляции для неподвижных объектов или по амплитуде полных доплеровских сигналов для движущихся объектов определяют номер опорного сигнала в множествах и соответственно дальность до неподвижных или движущихся объектов.

В третьем варианте способа радиолокационного измерения скоростей и координат объектов согласно изобретению формируют нечетное и четное временные множества опорных сигналов, соответствующих множеству значений измеряемых дальностей, каждый из которых содержит соответственно только нечетные или только четные гармоники модулирующего сигнала, а также основное и квадратурное частотные множества опорных сигналов, каждый из которых содержит одну из гармоник модулирующего сигнала, вычисляют временные нечетное и четное множества функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, а также основное и квадратурное частотные множества функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, выделяют из функций корреляции временных множеств нечетные и четные доплеровские сигналы, по которым вычисляют первый и второй полные доплеровские сигналы обнаруженных объектов путем суммирования и вычитания нечетного и четного выделенных доплеровских сигналов, причем фазу одного из них предварительно изменяют на /2, после чего вычисляют основное и квадратурное частотные множества коэффициентов корреляции полных доплеровских сигналов и функций корреляции основного и квадратурного частотных множеств и определяют модули радиальной скорости обнаруженных объектов по частотам полных доплеровских сигналов, знаки радиальной скорости - по величине отношения уровней первого и второго полных доплеровских сигналов, а по отношениям квадратурных и основных коэффициентов корреляции определяют фазочастотную характеристику сигнала промежуточных частот и вычисляют дальность до основного объекта по крутизне линейной составляющей, а разности дальностей основного и других отражающих объектов - по периодам периодических составляющих фазочастотной характеристики.

В четвертом варианте способа радиолокационного измерения скоростей и координат объектов согласно изобретению прием отраженного сигнала, его перемножение с излучаемым сигналом и усиление в заданной полосе частот осуществляют, по крайней мере, еще в одной позиции, пространственно разнесенной от первой, при этом формируют нечетное и четное временные множества опорных сигналов, соответствующие множеству значений измеряемых дальностей, каждый из которых содержит соответственно только нечетные или только четные гармоники модулирующего сигнала, вычисляют для каждой позиции временные множества нечетных и четных функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, выделяют из функций корреляции нечетные и четные постоянные составляющие и доплеровские сигналы, по которым вычисляют в каждой позиции первый и второй полные доплеровские сигналы путем суммирования и вычитания нечетного и четного выделенных доплеровских сигналов, причем фазу одного из них предварительно изменяют на /2, после чего вычисляют суммарные по всем позициям полные доплеровские сигналы для каждого обнаруженного объекта, при этом ступенчато изменяют фазу полных доплеровских сигналов обнаруженных объектов на заданную для каждой позиции величину фазовой коррекции до достижения максимальных амплитуд суммарных полных доплеровских сигналов обнаруженных объектов, по частотам суммарных полных доплеровских сигналов определяют модули радиальной скорости объектов, по отношениям амплитуд первого и второго суммарных полных доплеровских сигналов определяют знаки радиальной скорости, а по уровням нечетной или четной постоянных составляющих функций корреляции для каждого неподвижного объекта или по амплитуде полных доплеровских сигналов для каждого движущегося объекта определяют номер опорного сигнала в множествах и соответственно дальность до неподвижных или движущихся объектов. Дополнительно по величинам фазовой коррекции, соответствующим максимумам амплитуды суммарных полных доплеровских сигналов обнаруженных объектов, и известному расстоянию между позициями определяют угловые координаты каждого обнаруженного объекта. Кроме того, дополнительно в каждой позиции вычисляют отношения амплитуд нечетных и четных выделенных доплеровских сигналов обнаруженных объектов, по которым определяют разности фаз принятых в разных позициях отраженных сигналов, и по полученным значениям и известным расстояниям между позициями определяют угловые координаты каждого объекта.

В пятом варианте способа радиолокационного измерения скоростей и координат объектов согласно изобретению прием отраженного сигнала, его перемножение с излучаемым сигналом и усиление в заданной полосе частот осуществляют, по крайней мере, еще в одной позиции, пространственно разнесенной от первой, при этом формируют нечетное и четное временные множества опорных сигналов, соответствующих множеству значений измеряемых дальностей, каждый из которых содержит соответственно только нечетные или только четные гармоники модулирующего сигнала, а также основное и квадратурное частотные множества опорных сигналов, каждый из которых содержит одну из гармоник модулирующего сигнала, вычисляют для каждой позиции временные множества нечетных и четных функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, а также основное и квадратурное частотные множества функций корреляции опорных сигналов и сигнала промежуточных частот, выделяют из функций корреляции временных множеств нечетные и четные доплеровские сигналы, по которым вычисляют первый и второй полные доплеровские сигналы путем суммирования и вычитания нечетного и четного выделенных доплеровских сигналов, причем фазу одного из них предварительно изменяют на /2, после чего вычисляют суммарные по всем позициям полные доплеровские сигналы для каждого обнаруженного объекта, при этом ступенчато изменяют фазу полных доплеровских сигналов обнаруженных объектов на заданную для каждой позиции величину фазовой коррекции до достижения максимальных амплитуд суммарных полных доплеровских сигналов обнаруженных объектов, вычисляют суммарные по позициям функции корреляции основного и квадратурного частотных множеств, при этом задерживают функции корреляции на время, определяемое величиной фазовой коррекции, соответствующей максимуму амплитуды суммарного полного доплеровского сигнала обнаруженного объекта, после чего в каждой позиции вычисляют основное и квадратурное частотные множества коэффициентов корреляции каждого из суммарных полных доплеровских сигналов и суммарных функций корреляции основного и квадратурного частотных множеств, и определяют модули радиальной скорости объектов по частотам суммарных полных доплеровских сигналов, знаки радиальной скорости - по величине отношения амплитуд первого и второго суммарных полных доплеровских сигналов, а по отношениям квадратурных и основных коэффициентов корреляции для каждой гармоники частоты модуляции определяют фазочастотную характеристику сигнала промежуточных частот и вычисляют дальность до основного объекта по крутизне линейной составляющей, а разности дальностей основного и других отражающих объектов - по периодам периодических составляющих фазочастотной характеристики. Дополнительно по величинам фазовой коррекции, соответствующим максимумам амплитуды суммарных полных доплеровских сигналов обнаруженных объектов, и известному расстоянию между позициями определяют угловые координаты каждого обнаруженного объекта. Кроме того, дополнительно в каждой позиции вычисляют отношения амплитуд нечетных и четных выделенных доплеровских сигналов обнаруженных объектов, по которым определяют разности фаз принятых в разных позициях отраженных сигналов, и по полученным значениям и известным расстояниям между позициями определяют угловые координаты каждого объекта.

Указанный технический результат достигается также тем, что в систему для радиолокационного измерения скоростей и координат объектов, содержащую соединенные микроволновыми входами и выходами антенно-фидерное устройство, обеспечивающее излучение зондирующего и прием отраженных от измеряемых объектов сигналов, и приемопередающее устройство, обеспечивающее формирование зондирующего сигнала, перемножение с ним принятых сигналов и усиление промежуточных частот полученного гомодинного сигнала, а также аналого-цифровой преобразователь и процессор, вход управления частотой зондирующего сигнала и выходы промежуточной частоты приемопередающего устройства соединены соответственно с аналоговым выходом процессора и входами аналого-цифрового преобразователя, а процессор наделен программами управления частотой приемопередающего устройства и вычисления скоростей и координат объектов, согласно изобретению введен коррелометр, соединенный шиной данных с аналого-цифровым преобразователем и процессором, причем коррелометр наделен программами формирования опорных сигналов, состоящих из гармоник модулирующего сигнала, вычисления функций корреляции сигнала промежуточных частот и опорных сигналов, а также вычисления из них вторичных функций, по параметрам которых определяются скорости и координаты отражающих объектов.

В первом варианте системы согласно изобретению приемопередающее устройство содержит генератор зондирующего сигнала, выход которого подключен к микроволновому выходу приемопередающего устройства, а вход управления частотой является входом управления частотой приемопередающего устройства, смеситель, первый вход которого соединен с микроволновым входом приемопередающего устройства, второй вход соединен с выходом генератора зондирующего сигнала, а выход гомодинного сигнала подключен через полосовой усилитель к выходу промежуточных частот приемопередающего устройства. Антенно-фидерное устройство может либо содержать циркулятор, первое и второе плечи которого являются входом и выходом антенно-фидерного устройства, а третье плечо подключено к приемопередающей антенне, либо выполняться в виде приемной и передающей антенн, подключенных соответственно к его выходу и входу устройства. Смеситель приемопередающего устройства этого варианта может быть выполнен по диодной балансной схеме и иметь выходы сигналов суммы и разности напряжений на диодах, при этом выход сигнала разности является выходом гомодинного сигнала, а приемопередающее устройство может дополнительно содержать управляемые фазовращатель и аттенюатор, включенные последовательно между микроволновыми выходом и входом устройства, а также схему управления компенсацией помехи, выходы которой подключены к входам управления фазовращателя и аттенюатора, а входы соединены с выходами сигналов разности и суммы балансного смесителя.

Во втором варианте системы согласно изобретению приемопередающее устройство выполнено в виде автодинного узла, выход-вход и вход управления частотой которого являются соответственно микроволновым выходом-входом и входом управления частотой приемопередающего устройства, выход гомодинного сигнала автодинного узла через полосовой усилитель подключен к выходу промежуточных частот приемопередающего устройства, а антенно-фидерное устройство выполнено в виде приемопередающей антенны.

В третьем варианте системы согласно изобретению приемопередающее устройство содержит генератор зондирующего сигнала, вход управления частотой которого является входом управления частотой приемопередающего устройства, проходной смеситель, первый вход которого подключен к выходу генератора, а выход-вход соединен с микроволновым выходом-входом приемопередающего устройства, выход гомодинного сигнала проходного смесителя подключен через полосовой усилитель к выходу промежуточных частот приемопередающего устройства, а антенно-фидерное устройство выполнено в виде приемопередающей антенны.

В любом их первых трех вариантов системы согласно изобретению коррелометр может иметь аналоговый выход, соединенный через дополнительный вход приемопередающего устройства с входом полосового усилителя, причем коррелометр дополнительно наделен программами измерения фазочастотной характеристики полосового усилителя и коррекции фаз гармоник в опорных сигналах.

В четвертом варианте системы согласно изобретению приемопередающее устройство содержит генератор зондирующего сигнала, выход которого подключен к микроволновому выходу приемопередающего устройства, а вход управления частотой является соответственно входом управления частотой приемопередающего устройства, по крайней мере два смесителя, первые входы которых соединены с микроволновыми входами приемопередающего устройства, вторые входы соединены с выходом генератора зондирующего сигнала, а выходы подключены через полосовые усилители к выходам промежуточных частот приемопередающего устройства. Антенно-фидерное устройство может либо содержать циркулятор, первое и второе плечи которого являются входом и первым выходом антенно-фидерного устройства, а третье плечо подключено к приемопередающей антенне, и, по крайней мере, еще одну приемную антенну, выходы приемных антенн подключены соответственно к другим выходам антенно-фидерного устройства, либо может быть выполнено в виде передающей антенны, подключенной к микроволновому входу антенно-фидерного устройства, и нескольких приемных антенн, выходы которых подключены соответственно к микроволновым выходам антенно-фидерного устройства.

В пятом варианте системы согласно изобретению приемопередающее устройство содержит генератор зондирующего сигнала, вход управления частотой которого является входом управления частотой приемопередающего устройства, проходной смеситель, первый вход которого подключен к выходу генератора, а вход-выход соединен с микроволновым входом-выходом приемопередающего устройства, по крайней мере еще один смеситель, первые входы смесителей соединены с микроволновыми входами приемопередающего устройства, а вторые входы соединены с выходом генератора зондирующего сигнала, выходы гомодинного сигнала каждого из смесителей подключены через полосовые усилители к выходам промежуточных частот приемопередающего устройства, а антенно-фидерное устройство содержит приемопередающую антенну, подключенную к его выходу-входу, и, по крайней мере, еще одну приемную антенну, подключенную к его выходу.

Сущность предложенного изобретения заключается в том, что для обработки гомодинного сигнала, полученного перемножением непрерывного частотно-модулированного зондирующего излучаемого сигнала с принятыми сигналами, отраженными от измеряемых объектов, используются корреляционные методы.

Передающей антенной в сторону измеряемого объекта или объектов излучается формируемый генератором зондирующий сигнал (далее - излучаемый сигнал), который в общем случае имеет вид:

Принятый отраженный от объекта сигнал на выходе приемной антенны имеет вид:

где Е₀ - ЭДС зондирующего сигнала на клеммах передающей антенны, =2 f - частота излучаемого сигнала, ₀=2 f₀=2 c/ ₀ - круговая частота центрального колебания излучаемого сигнала, ₀ - его длина волны, _M(t) - составляющая фазы излучаемого сигнала, обусловленная частотной модуляцией генератора, =2L/с - время задержки принятого отраженного сигнала относительно излучаемого, - коэффициент ослабления сигнала на трассе "передающая антенна - объект - приемная антенна", L - дальность (расстояние между объектом и радиолокатором), с - скорость распространения электромагнитного сигнала в среде.

Излучаемый и принятый отраженный сигналы поступают на входы смесителя, выполняющего их перемножение. Если поступающая на смеситель мощность излучаемого сигнала много больше мощности принятого отраженного сигнала, то амплитуда низкочастотной (разностной) составляющей выходного сигнала смесителя пропорциональна амплитуде принятого отраженного сигнала, а фаза равна разности фаз излучаемого и принятого отраженного сигналов:

где _см - коэффициент передачи смесителя, _M(t, ) - составляющая разности фаз, обусловленная соответственно модуляцией частоты излучаемого сигнала.

В тригонометрической форме действительная часть выражения (3) - низкочастотная составляющая результата перемножения принятого и излучаемого сигналов, далее - гомодинный сигнал, приобретает вид:

где U^(гом)₀= Е₀ - амплитуда напряжения гомодинного сигнала на выходе смесителя.

Первое слагаемое в квадратных скобках - произведение постоянной величины (центральной частоты излучаемого сигнала) на постоянное или медленно меняющееся (по сравнению с сигналом модуляции) время задержки принятого сигнала говорит о наличии в гомодинном сигнале постоянной составляющей, зависящей от времени задержки ( ) или сигнала доплеровской частоты. Второе слагаемое ответственно за появление в гомодинном сигнале периодической составляющей, являющейся следствием частотной модуляции. Нижеследующий анализ проведен для случая, когда модулирующий сигнал есть гармоническая функция времени, хотя возможно применение для этой цели иных периодических функций. Если зависимость частоты генератора от напряжения управления линейна, то мгновенное значение частоты излучаемого сигнала определяется выражением f=f ₀+ f_M=f₀+ f₀sin t. При этом второе слагаемое выражения (4) определится, как

где =2 ₀sinФ, ₀= f₀/F - индекс частотной модуляции зондирующего сигнала, Ф= /2, f₀ - девиация частоты, =2 F - круговая частота модуляции.

Обозначив разность фаз центральных спектральных составляющих излучаемого и принятого сигналов как = ₀ =2 ₀L c, получим:

или:

Согласно теории функций Бесселя (см. А.А. Харкевич. Спектры и анализ. М.: ГИФМЛ, 1962, стр. 39) справедливо:

С учетом этих соотношений и обозначения Ф_(N) - фаза гармоники кратности N (при одном отражающем объекте Ф _(N)=NФ) получаем выражение для спектра гомодинного сигнала:

Здесь J_(N)(J_(2n-1), J_(2n) ) - функции Бесселя первого рода порядка N ((N=2n-1) или (N=2n)) аргумента , Ф= 2=2 FLc=2 L - разность фаз модулирующего сигнала и сигнала первой гармоники в гомодинном сигнале смесителя (в сигнале ПЧ), =cF - длина волны модулирующего сигнала, n - целое положительное число, определяющее номер гармоники N модулирующего сигнала. Если k-тый объект движется, например, с постоянной радиальной скоростью V_k, тогда время задержки отраженного сигнала _k изменяется во времени:

а разность фаз излучаемого и принятого сигналов этого объекта _k определится как:

Здесь k - номер обнаруженного объекта, L^(н) _k - дальность k-того объекта в начальный момент времени - соответствующая начальная разность фаз, (-1)^mV _k - радиальная скорость объекта, которая может быть положительной величиной (объект удаляется, m=0) или отрицательной (объект приближается, m=1), a 2V_{k 0}=F^(д)_k - доплеровский сдвиг частоты принятого сигнала.

После усиления заданных спектральных составляющих гомодинного сигнала и подстановки (9) в (7) получаем выражение спектра сигнала промежуточных частот (ПЧ) с ограниченным числом гармоник для случая одиночного объекта:

Здесь K( ) - частотная характеристика коэффициента усиления, причем К(0)=0, n_min и n_max - числа, определяющие номера низшей (N_min) и высшей (N_max) заданных гармоник в полосе усиления, то есть в спектре сигнала ПЧ. При наличии сигнала от одного отражающего объекта зависимость фазы гармоники от частоты, то есть фазочастотная характеристика сигнала ПЧ линейна: (Ф_N=NФ). Для общего случая, когда имеют место сигналы от нескольких (k_max) движущихся и неподвижных объектов, получаем из (10):