Способ гирокомпасирования с применением гироскопического датчика угловой скорости при неточной выставке гироскопа на объекте

Способ гирокомпасирования с применением гироскопического датчика угловой скорости при неточной выставке гироскопа на объекте

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к области точного приборостроения, преимущественно гироскопического, и может быть использовано при создании гирокомпасов аналитического типа.

Известны способы определения истинного курса с помощью гироскопического датчика угловой скорости (см., например, книгу Б.И.Назарова и Г.А.Хлебникова "Гиростабилизаторы ракет" М., 1975, стр.193-196 и патент RU 2176708, кл. G 01 C 21/12 от 10 декабря 2001 г.), согласно которым курсовое направление измерительной оси гироскопа на неподвижном основании определяют аналитически. В книге Б.И.Назарова и Г.А.Хлебникова "Гиростабилизаторы ракет" гирокомпасирование выполняется в условиях горизонтального основания с использованием одного канала гироскопа. В патенте RU 2176708 гирокомпасирование возможно проводить в условиях наклонного основания, но при этом используются два канала гироскопа.

Использование одного канала имеет положительное качество, связанное с тем, что при горизонтальном основании не требуется информация о коэффициенте крутизны гироскопа по напряжению, в результате чего исключается существенная ошибка гирокомпасирования, связанная с ошибкой определения этого коэффициента.

За прототип взят способ определения истинного курса с помощью гироскопического датчика угловой скорости при использовании одного канала (см. патент RU 2098766 С1, кл. G 01 C 21/14 от 10 декабря 1997 г.).

В этом способе определения истинного курса с помощью гироскопического датчика угловой скорости предварительно выставляют измерительные оси гироскопа в горизонт и привязывают их к продольной оси объекта, применяют гироскоп в режиме обратной связи по току датчика момента, определяют сигналы с эталонного сопротивления датчика угловой скорости на угле измеряемого курса и положениях, полученных в результате азимутального поворота гироскопа на 90 градусов и 180 градусов, проводят фазировку системы измерения напряжения с эталонного сопротивления обратной связи с направлением поворота корпуса гироскопа, а при гирокомпасировании поворачивают гироскоп в азимуте относительно искомого курсового направления против часовой стрелки на 360 градусов, при этом измеряют углы поворота корпуса гироскопа и соответствующие этим углам напряжения с эталонного сопротивления, затем определяют значения напряжений с эталонного сопротивления в равноотстоящих по углу друг от друга положениях, угловое расстояние между которыми выбирают таким, чтобы для него угол 90 градусов являлся кратным, и определяют значение истинного курса оси гироскопа по следующей формуле:

где

ψ_i=2π-[arctg((U_j-U_(j+0,5N))(2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0,5N))^-1)-(j-1)2πN^-1],

если

U_j-U_(j+0,5N)>0, 2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0.25N)>0,

ψ_i=π-[arctg((U_j-U_(j+0,5N))(2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0.5N))^-1)-(j-1)2πN^-1],

если

U_j-U_(j+0.5N)>0, 2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0,25N)<0,

ψ_i=π-[arctg((U_j-U_(j+0,5N))(2U_(j+0.25N)-U_j-U_(j+0,5N))^-1)-(j-1)2πN^-1],

если

U_j-U_(j+0,5N)<0, 2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0,25N)<0,

ψ_i=-[arctg((U_j-U_(j+0,5N))(2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0,5N))^-1)-(j-1)2πN^-1],

если

U_j-U_(j+0.5N)<0, 2U_(j+0,25N)-U_j-U_(j+0,25N)>0,

i - текущий индекс, характеризующий азимутальное положение гироскопа,

N=2πΔϕ^-1 - число угловых разбиений на промежутке [0,2π],

Δϕ - угол между равноотстоящими азимутальными положениями,

N+1 - число измерений на угловом промежутке [0,2π], включая измерения на границах,

U_j=U_i при j≤(N+1),

U_j=U_(i-N) при j>(N+1),

U_i - значение напряжения с эталонного сопротивления датчика угловой скорости в i азимутальном положении.

В известном способе имеются недостатки, снижающие точность гирокомпасирования и связанные с тем, что неточная угловая выставка гироскопа на объекте и наклоны объекта вызывают существенные погрешности гирокомпасирования.

При гирокомпасировании с применением гироскопического датчика угловой скорости определяется азимутальная ориентация одной из его измерительных осей. Практически согласование осей, связанных с гироскопом X_г1У_г1Z_г1, и осей, связанных с объектом или корпусом прибора X_пУ_пZ_п, выполняется с угловыми погрешностями μ_г1, α_г1, β_г1, как показано на фиг.4.

На фиг.1 зависимостями 1, 2, 3 показаны расчетные погрешности гирокомпасирования на нулевом курсовом угле при горизонтальном основании с применением известного способа при наличии соответственно угловых невыстовок μ_г1, α_г1, β_г1. При расчетах использовались типичные параметры дрейфа гироскопов типа динамически настраиваемых гироскопов. Величина азимутальной невыставки гироскопа μ_г1 обуславливает погрешность гирокомпасирования, величина которой равна этой погрешности невыставки. Наклон гироскопа на углы α_г1 или β_г1 также обуславливает погрешности гирокомпасирования, вызванные появлением на измерительной оси гироскопа вредной проекции вертикальной составляющей угловой скорости Земли и дрейфа, не компенсируемого в известном способе, например дрейфа от разбаланса вдоль оси собственного вращения.

Наклон самого объекта по тангажу υ и крену γ также обуславливает погрешности гирокомпасирования по своей физической природе, аналогичные погрешностям от угловых невыставок α_ri и β_ri гироскопа в корпусе прибора.

При значительных углах наклона объекта гирокомпасирование с применением известного способа не представляется возможным вследствие возникновения больших погрешностей гирокомпасирования.

Техническим результатом, который может быть получен при осуществлении настоящего изобретения, является повышение точности гирокомпасирования с применением гироскопического датчика угловой скорости.

Технический результат достигается тем, что в известном способе определения истинного курса с помощью гироскопического датчика угловой скорости, включающем предварительную установку гироскопа в исходное положение, при котором измерительная ось У_г1 первого канала гироскопа совпадает с погрешностью установки с продольной осью объекта Х_с, измерительная ось X_г1 второго канала гироскопа совпадает с погрешностью установки с направленной к правому борту объекта осью Z_c, а ось собственного вращения гироскопа Z_г1 направлена с погрешностью установки по оси объекта У_с, находящейся в плоскости его симметрии, работу гироскопа в режиме обратной связи по току датчика момента, фазировку сигнала с эталонного сопротивления с направлением поворота корпуса гироскопа вокруг оси собственного вращения, определение коэффициентов модели дрейфа гироскопа, а при гирокомпасировании определение углов наклона объекта по тангажу и крену, угла широты местоположения объекта, поворот корпуса гироскопа вокруг оси собственного вращения относительно исходного положения против часовой стрелки с измерением углов поворота корпуса гироскопа и напряжений с эталонного сопротивления первого канала в равноотстоящих по углу друг от друга положениях, угловое расстояние между которыми выбирают таким, чтобы для него угол радиан являлся кратным, дополнительно при гирокомпасировании в первом исходном положении определяют углы наклона плоскости измерительных осей гироскопа относительно плоскости объекта, связанной с его продольной осью Х_с и осью Z_c, направленной к правому борту, потом снимают показания с первого канала гироскопа на заданных углах поворота корпуса гироскопа вокруг оси собственного вращения и возвращают гироскоп в исходное положение, после чего разворачивают корпус гироскопа вокруг продольной оси объекта на угол, равный π радиан, во второе положение и снимают показания с первого канала гироскопа на заданных углах поворота гироскопа вокруг оси собственного вращения, а затем находят угол истинного курса объекта по следующей формуле:

К=0,5(K₁+К₂), при К<2π,

К=0,5(K₁+К₂)-2π при К≥2π, (2)

где

K₁, К₂ - значения курсовых углов, осредненных по углу поворота гироскопа вокруг оси собственного вращения соответственно до и после разворота корпуса гироскопа вокруг продольной оси объекта,

i, j, n - текущие индексы, характеризующие положения гироскопа при его поворотах вокруг оси собственного вращения,

N=2πδ^-1 - число измерений на интервале [0,2π) радиан,

δ=δ_i+1-δ_i - угол между i и i+1 положениями гироскопа,

j=i+0,5N при i≤0,5N,

j=i-0,5N при i>0,5N,

n=i+0,25N при i≤0,75N,

n=i-0,75N при i>0,75N,

к_1i=2π-arctg(a_1ib^-1 _1i), если a_1i>0, b_1i>0;

к_1i=π-arctg(а_1ib^-1 _1i), если а_1i>0, b_1i<0;

к_1i=π-arctg(a_1ib^-1 _1i), если a_1i<0, b_1i<0;

к_1i=-arctg(a_1ib^-1 _1i), если a_1i<0, b_1i>0, K_1i>μ;

к_1i=2π-arctg(a_1ib^-1 _1i), если а_1i<0, b_1i>0, K_1i≤μ;

к_2i=2π-arctg(a_2ib^-1 _2i), если а_2i>0, b_2i>0;

к_2i=π-arctg(a_2ib^-1 _2i), если a_2i>0, b_2i<0;

к_2i=π-arctg(a_2ib^-1 _2i), если а_2i<0, b_2i<0;

к_2i=-arctg(a_2ib^-1 _2i), если a_2i<0, b_2i>0; K_2i>μ;

к_2i=2π-arctg(a_2ib^-1 _2i), если а_2i<0, b_2i>0; K_2i≤μ;

μ - максимально возможная величина азимутальной невыставки гироскопа,

a_1i=[(U_11i+U_11j-2U_11n)K_н11(e₂₁cosδ_i-e₁₁sinδ_i)-(U_11i-U_11j)K_н11(e₂₁sinδ_i+е₁₁cosδ_i)-Δω^г1 _д1i·(e₂₁cosδ_i-e₁₁sinδ_i)-Δω^г1 _д2i(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδ_i)-2 Ωsinϕ(e₁₃e₂₁-е₁₁е₂₃)]·[2 Ωcosϕ(е₁₂е₂₁-e₁₁e₂₂)]^-1;

b_1i=[(U_11i-U_11j)K_н11(e₂₂sinδ_i+e₁₂cosδ_i)-(U_11i+U_11j-2U_11n)K_н11(e₂₂cosδ_i-е₁₂sinδ_i)+Δω^г1 _д2i·(e₂₂sinδ_i+e₁₂cosδ_i)+Δω^г1 _д1i(e₂₂cosδ_i-e₁₂sinδ_i)-2 Ωsinϕ(e₁₂e₂₃-е₁₃е₂₂)]·[2 Ωcosϕ(е₁₂е₂₁-e₁₁e₂₂)]^-1;

a_2i=[(U_21i+U_21j-2U_21n)K_н11(l₂₁cosδ_i-l₁₁sinδ_i)-(U_21i-U_21j)K_н11(l₂₁sinδ_i+l₁₁cosδ_i)-Δω^г1 _д3i·(l₂₁cosδ_i-l₁₁sinδ_i)-Δω^г1 _д4i(l₂₁sinδi+l₁₁cosδ_i)-2 Ωsinϕ(l₁₃l₂₁-l₁₁l₂₃)]·[2 Ωcosϕ(l₁₂l₂₁-l₁₁l₂₂)]^-1;

b_2i=[(U_21i-U_21j)K_н11(l₂₂sinδ_i+l₁₂cosδ_i)-(U_21i+U_21j-2U_21n)K_н11(l₂₂cosδ_I-l₁₂sinδ_i)+Δω^г1 _д4i·(l₂₂sinδ_i+l₁₂cosδ_i)+Δω^г1 _д3i(l₂₂cosδ_i-l₁₂sinδ_i)-2 Ωsinϕ(l₁₂l₂₃-l₁₃l₂₂)]·[2 Ωcosϕ(l₁₂l₂₁-l₁₁l₂₂)]^-1;

Δω^г1 _д1i, Δω^г1 _д3i - модель разности двойного дрейфа в n положении и суммы дрейфов в i и j положениях соответственно до и после разворота гироскопа вокруг продольной оси объекта;

Δω^г1 _д2i, Δω^г1 _д4i - модель разности дрейфа в i и j положениях гироскопа соответственно до и после разворота гироскопа вокруг продольной оси объекта;

Δω^г1 _д1i=2[(ω^1у _1у1g(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδ_i)-ω^1у _1x1g(c₂₂cosδ_i-c₁₂sinδ_i)+ω^1у _1y1z1·g²((c² ₁₂-c² ₂₂)cos2δ_i+2c₁₂c₂₂sin2δ_i)-ω^1у _1у1у1g²(с₁₂cosδ_i+c₂₂sinδ_i)c₃₂-ω^1у _1z1z1g²(с₁₂cosδ_i+c₂₂sinδ_i)c₃₂+ω^1у _1x1y1g²(c₂₂cosδ_i-c₁₂sinδ_i)c₃₂+2 Ω^IY _1x1z1g²(0,5(c² ₁₂-С² ₂₂)sin2δ_i-c₁₂c₂₂cos2δ_i)];

Δω^г1 _д2i=2[(ω^1у _1у1g(c₁₂sinδ_i+c₂₂cosδ_i)-ω^1у _1x1g(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδ_i)-ω^1у _1y1у1·g²((c₁₂sinδ_i-c₂₂cosδ_i)c₃₂-ω^1у _1z1z1g²(с₁₂sinδ_i+c₂₂cosδ_i)c₃₂+ω^1у _1x1у1g²(с₁₂cosδ_i+c₂₂sinδ_i)c₃₂];

Δω^г1 _д3i=2[(ω^1у _1у2g(m₁₂cosδ_i+m₂₂sinδ_i)-ω^1у _1x2g(m₂₂cosδ_i-m₁₂sinδ_i)+ω^1у _1y1z2·g²((m² ₁₂-m² ₂₂)cos2δ_i+2m₁₂m₂₂sin2δ_i)-ω^1у _1у1у2g²(m₁₂cosδ_i+m₂₂sinδ_i)-ω^1у _1z1z2g²(m₁₂cosδ_i+m₂₂sinδ_i)m₃₂+ω^1у _1x1y2g²(m₂₂cosδ_i-m₁₂sinδ_i)m₃₂+2ω^IY _1x1z2g²(0,5(m² ₁₂-m² ₂₂)sin2δ_i-m₁₂m₂₂cos2δ_i)];

Δω^г1 _д4i=2[(ω^1у _1у2g(m₁₂sinδ_i-m₂₂cosδ_i)-ω^1у _1x2g(m₂₂cosδ_i+m₂₂sinδ_i)-ω^1у _1y1у2·g²((m₁₂sinδ_i-m₂₂cosδ_i)m₃₂-ω^1у _1у1z2g²(m₁₂sinδ_i-m₂₂cosδ_i)m₃₂+ω^1у _1x1y2g²(m₁₂cosδ_i+m₂₂sinδ_i)m₃₂];

ω^1у _1у1, ω^1у _1у2 - коэффициенты модели дрейфа гироскопа от разбаланса вдоль оси собственного вращения соответственно до и после разворота гироскопа вокруг продольной оси объекта;

ω^1у _1x1, ω^1у _1х2 - коэффициенты модели дрейфа гироскопа от квадратурных моментов соответственно до и после разворота гироскопа вокруг продольной оси объекта;

ω^1у _1y1z1, ω^1у _1у1z2 - коэффициенты модели дрейфа гироскопа, пропорциональные ускорению во второй степени вдоль оси Y_г1,

ω^1у _1у1у1, ω^1у _1z1z1; ω^1у _1y1y2,ω^1у _1z1z2 - коэффициенты модели дрейфа гироскопа от неравно-жесткости подвеса соответственно до и после разворота гироскопа вокруг продольной оси объекта;

ω^1у _1x1у1, ω^1у _1х1у2 - коэффициенты модели дрейфа гироскопа от перекрестного влияния при действии ускорений вдоль осей X_г1 и Z_г1 гироскопа соответственно до и после его разворота вокруг продольной оси объекта;

ω^1у _1х1z1, ω^1у _1х1z2 - коэффициенты модели дрейфа гироскопа от перекрестного влияния при действии ускорений вдоль осей X_ri и Y_ri гироскопа соответственно до и после его разворота вокруг продольной оси объекта;

υ,γ - углы наклона объекта соответственно по тангажу и крену;

μ_г1, α_г1, β_г1 -углы невыставки гироскопа на объекте;

е₁₁=cosυsinβ_г1sinα_г1+cosγsinυsinβ_г1cosα_г1+sinγsinυcosβ_г1,

e₁₂=cosγcosβ_г1-sinγsinβ_г1cosα_г1,

e₁₃=sinυsinβ_г1sinα_г1-cosγcosυsinβ_г1cosα_г1-sinγcosυcosβ_г1,

е₂₁=cosυcosα_г1-cosγsinυsinα_г1,

е₂₂=sinγsinα_г1,

е₂₃=sinυcosα_г1+cosγcosυsinα_г1,

l₁₁=cosυsinβ_г1sinα_г1-cosγsinυsinβ_г1cosα_г1-sinγsinυcosβ_г1,

l₁₂=-cosγcosβ_г1+sinγsinβ_г1cosα_г1,

l₁₃=sinυsinβ_г1sinα_г1+cosγcosυsinβ_г1cosα_г1+sinγcosυcosβ_г1,

l₂₁=cosυcosα_г1+cosγsinυsinα_г1,

l₂₂=-sinγsinα_г1,

l₂₃=sinυcosα_г1-cosγcosυsinα_г1,

C₁₂=sinυsinβ_г1sinα_г1-cosγcosυsinβ_г1cosα_г1-sinγcosυcosβ_г1,

C₂₂=sinυcosα_г1+cosγcosυsinα_г1,

С₃₂=-sinυcosβ_г1sinα_г1+cosγcosυcosβ_г1cosα_г1-sinγcosυsinβ_г1,

m₁₂=sinυsinβ_г1sinα_г1+cosγcosυsinβ_г1cosα_г1+sinγcosυcosβ_г1,

m₂₂=sinυcosα_г1-cosγcosυsinα_г1,

m₃₂=-sinυcosβ_г1sinα_г1-cosγcosυcosβ_г1cosα_г1+sinγcosυsinβ_г1,

Ω - угловая скорость вращения Земли,

ϕ - широта местоположения объекта,

g - ускорение силы тяжести.

При анализе гирокомпасирования с применением предлагаемого способа используем следующие системы координат. Система координат Х_дУ_дZ_д является географической: ось Х_д направлена на север, ось У_д - вертикально вверх, ось Z_д - на восток. С объектом свяжем систему координат X_cY_cZ_c: начало этой системы помещено в центр масс объекта, оси Х_с и У_с расположены в вертикальной плоскости симметрии объекта, при этом ось Х_с направлена вдоль оси корпуса объекта, а ось У_с - по перпендикуляру к оси Х_с, лежащему в вертикальной плоскости симметрии объекта, ось Z_c - перпендикулярна плоскости симметрии объекта и образует правую систему координат. Систему координат X_пY_пZ_п, свяжем с корпусом прибора. Систему координат X_г1Y_г1Z_г1 свяжем с гироскопом: оси X_г1 и У_г1 находятся в измерительной плоскости гироскопа, при этом ось X_г1 направлена по измерительной оси второго канала, а ось У_г1 по измерительной оси первого канала гироскопа, ось Z_г1 направлена вдоль оси собственного вращения гироскопа. На фиг.2 показано взаимное расположение географической и связанных с объектом и корпусом прибора систем координат в первом исходном положении гироскопа. На фиг.3 показано взаимное расположение географической и связанных с объектом и корпусом прибора систем координат во втором исходном положении гироскопа. На фиг.4 показано взаимное расположение систем координат, связанных с корпусом прибора и гироскопом при неточной угловой выставке гироскопа.

Схема гирокомпасирования с применением гироскопического датчика угловой скорости представлена на фиг.5. Гироскоп работает в режиме обратной связи по токам датчиков момента. Первый канал гироскопа содержит датчик угла 1, измеряющий поворот корпуса гироскопа относительно измерительной оси У_г1, усилитель 2, эталонное сопротивление 3, датчик момента 4, создающий момент вокруг оси X_г1. Второй, не используемый при гирокомпасировании канал содержит датчик угла 5, измеряющий поворот корпуса гироскопа относительно измерительной оси X_г1, усилитель 6, эталонное сопротивление 7, датчик момента 8, создающий момент вокруг оси У_г1. Показания гироскопа в виде напряжения U₁₁, снимаемое с эталонного сопротивления по первому каналу, подается в вычислитель 11. В вычислитель также подается информация об углах наклона объекта по тангажу υ и крену γ, углах невыставки гироскопа относительно корпуса прибора α_г1, β_г1, широте местоположения объекта ϕ, значения угловой скорости вращения Земли и ускорения силы тяжести. Поворот гироскопа вокруг оси собственного вращения и измерение углов поворота осуществляется с помощью двигателя 10 и датчика угла 9. Гироскоп и устройства поворота гироскопа смонтированы в корпусе прибора.

Расположим гироскоп в первое исходное положение, как показано на фиг.2. В этом положении ось прибора Х_п совпадает с осью объекта Х_с, ось прибора У_п совпадает с осью объекта У_с, а ось прибора Z_п - с осью объекта Z_c. Пусть оси, связанные с объектом и прибором, наклонены на угол тангажа υ и угол крена γ. Положение осей координат, связанных с гироскопом и корпусом прибора, показано на фиг.4. Положим, что гироскоп неточно выставлен в корпусе прибора и имеет угловые ошибки невыставки μ_г1, α_г1, β_г1, как показано на фиг.4.

Пусть гироскоп обладает возможностью поворачиваться в диапазоне [0, 2π) радиан вокруг оси собственного вращения относительно корпуса прибора на углы δ_i против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Z_г1, где i - индекс, характеризующий положение гироскопа. Тогда показания гироскопа в i положении при условии малого угла невыставки μ_г1 можно представить в виде

U_11i=(-M_x1i+H₁ω^г1 _у1i)(H₁K_н11)^-1, (3)

где

ω^г1 _у1i - проекция абсолютной угловой скорости на измерительную ось У_г1 первого канала гироскопа в 1 положении на δ_i угле,

ω^г1 _у1i=cosψ Ωcosϕ(e₂₁cosδ_i-e₁₁sinδ_i)+sinψ Ωcosϕ(е₂₂созδ_i-e₁₂sinδ_i)+ Ωsinϕ(e₂₃cosδ_i-e₁₃sinδ_i),

e₁₁=cosυsinβ_г1sinα_г1+cosγsinυsinβ_г1cosα_г1+sinγsinυcosβ_г1;

e₁₂=cosγcosβ_г1-sinγsinβ_г1cosα_г1;

e₁₃=sinυsinβ_г1sinα_г1-cosγcosυsinβ_г1cosα_г1-sinγcosυcosβ_г1;

e₂₁=cosυcosα_г1-cosγsinυsinα_г1;

е₂₂=sinγsinα_г1;

е₂₃=sinυcosα_г1+cosγcosυsinα_г1;

M_x1i=M^1х _0i+M^1x _1уig_1уi+M^1x _1xig_1xi+М^1x _1zig_1zi+M^1x _1у1zig² _1уi+М^1x _1z1уig² _1zi+M^1x _1y1yig_1yig_1уi+M^1x _1z1zig_1zig_1уi+M^1x _1x1уig1xig_1zi+M^1x _1x1zig_1xig_1уi,

g_1xi, g_1уi, g_1zi - проекции ускорения силы тяжести g соответственно на оси X_г1, У_г1, Z_г1 гироскопа в положении i,

g_1xi=-g(C₁₂cosδ_i+C₂₂sinδ_i),

g_1уi=g(C₁₂sinδ_i-C₂₂cosδ_i),

g_1zi=-gC₃₂,

C₁₂=sinυsinβ_г1sinα_г1-cosγcosυsinβ_г1cosα_г1-sinγcosυcosβ_г1;

C₂₂=sinυcosα_г1+cosγcosυsinα_г1;

С₃₂=-sinυcosβ_г1sinα_г1+cosγcosυcosβ_г1cosα_г1-sinγcosυsinβ_г1;

М^1х _0i - коэффициент модели вредного момента гироскопа, не зависящий от ускорения,

M^1x _1yi - коэффициент модели вредного момента от разбаланса вдоль оси собственного вращения,

M^1x _1xi - квадратурный коэффициент модели вредного момента,

M^1x _1zi - коэффициент модели вредного момента, пропорциональный ускорению вдоль оси собственного вращения,

M^1x _1y1zi - коэффициент модели вредного момента, пропорциональный второй степени ускорения вдоль оси У_г1,

M^1x _1z1yi - коэффициент модели вредного момента, пропорциональный второй степени ускорения вдоль оси Z_г1,

M^1x _1y1yi, M^1x _1z1zi - коэффициенты модели вредного момента от неравножесткости подвеса гироскопа,

M^1x _1x1yi - коэффициент модели вредного момента от перекрестного влияния при действии ускорений вдоль осей X_г1 и Z_г1,

M^1x _1x1zi - коэффициент модели вредного момента от перекрестного влияния при действии ускорений вдоль осей X_г1 и У_г1,

H₁ - кинетический момент гироскопа.

Практически при поворотах гироскопа на углы δ_i коэффициенты модели вредного момента мало отличаются друг от друга и этим отличием можно пренебречь. Положим, что при всех углах δ_i коэффициенты модели вредного момента сохраняют свои равные значения. Тогда, обозначив коэффициент индексом 1, выражение для модели вредного момента представим в виде

M_x1i=М^1х ₀₁+M^1x _1ylg_1yi+M^1x _1x1g_1xi+M^1x _1z1g_1zi+M^1x _1y1z1g² _1zi+M^1x _1y1y1g_1yig_1zi+M^1x _1z1z1g_1zig_1yi+M^1x _1x1y1g_1xig_1zi+M^1x _1x1z1g_1xig_1yi, (4)

Повернем гироскоп вокруг оси собственного вращения из положения i в положение n=i+0,25N, угол между которыми составляет π/2 радиан.

Показания гироскопа в n положении можно представить в виде U_11n=(-M_x1n+H₁ω^г1 _y1n)H₁K_н11)^-1, (5)

где

ω^г1 _yn - проекция абсолютной угловой скорости на измерительную ось У_г1 первого канала гироскопа в n положении,

ω^г1 _y1n=-cosψ Ωcosϕ(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδi)-sinψ Ωcosϕ(e₂₂sinδ_i+e₁₂cosδi)- Ωsinϕ(e₂₃sinδ_i+e₁₃cosδi),

g_1xn, g_1yn, g_1zn - проекции ускорения силы тяжести соответственно на оси Х_г1,У_г1, Z_г1 гироскопа в положении n.

g_1xn=-g(-C₁₂sinδ_i+C₂₂cosδ_i),

g_1yn=g(C₁₂cosδ_i+C₂₂sinδ_i),

g_1zn=-gC₃₂,

M_x1n=M^1x ₀₁+M^1x _1y1g_1yn+M^1x _1x1g_1xn+M^1x _1z1g_1zn+М^1x _1у1z1g² _1yn+M^1x _1z1y1g² _1zn+M^1x _1y1y1g_1yng_1zn+M^1x _1z1z1g_1zng_1yn+M^1x _1x1y1g_1xng_1zn+M^1x _1x1z1g_1xng_1yn.

Повернем гироскоп вокруг оси собственного вращения из положения i в положение j=i+0,5N. Угол между этими положениями составляет π радиан.

Показания гироскопа в j положении можно представить в виде

U_11j=(-M_x1j+H₁ω^г1 _y1j)H₁K_н11)^-1,

где

ω^г1 _y1j - проекция абсолютной угловой скорости на измерительную ось У_г1 первого канала гироскопа в j положении,

ω^г1 _у1j=-ω^г1 _y1i,

a_1xj=-a_1xi,

a_1yj=-a_1yi,

a_1zj=a_1zi,

M_x1j=M^1x ₀₁+M^1x _1y1g_1yj+M^1x _1x1g_1xj+M^1x _1z1g_1zj+М^1x _1у1z1g² _1уj+M^1x _1z1y1g² _1zj+M^1x _1y1y1g_1yjg_1zj+M^1x _1z1z1g_1zjg_1yj+M^1x _1x1y1g_1xjg_1zj+M^1x _1x1z1g_1xjg_1yj.

Вычтя из показаний гироскопа в i положении показания гироскопа в j положении, получим

U_11i-U_11j=[-(M_x1i-M_x1j)+H₁(ω^г1 _y1i-ω^г1 _у1j)(H₁K_н11)^-1, (7)

где

M_x1i-M_x1j=2[M^1x _1y1g(c₁₂sinδ_i-c₂₂cosδ_i)-M^1x _1x1g(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)-M^1x _1y1y1·g²(c₁₂c₃₂sinδi-c₂₂c₃₂cosδi)-M^1x _1z1z1g²(c₁₂c₃₂sinδ_i-c₂₂c₃₂cosδi)],

ω^г1 _у1i-ω^г1 _y1j=2cosψ Ωcosϕ(e₂₁cosδ_i-e₁₁sinδi)+2sinψ Ωcosϕ(e₂₂cosδ_i-e₁₂sinδi)+2 Ωsinϕ(e₂₃cosδ_i-e₁₃sinδi).

Уравнение (7) можно представить в следующем виде:

cosψ[2 Ωcosϕ(e21cosδi-e11sinδi)]+sinψ[2 Ωcosϕ(e22cosδi-e12sinδi)]=(U11i-U11j)Kн11+Δωг1д2i-2 Ωsinϕ(e23cosδi-e13sinδi),

(8)

где

Δω^г1 _д2i=(M_x1i-М_х1j)Н^-1 ₁=2[ω^1y _1y1g(c₁₂sinδ_i-c₂₂cosδi)-ω^1У _1x1g(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)-ω^1y _1y1y1·g²(c₁₂sinδ_i-c₂₂cosδi)c₃₂-ω^1y _1z1z1·g²(c₁₂sinδi-c₂₂cosδi)c₃₂+ω^1y _1x1y1g²(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)c₃₂],

где

ω^1y _1y1 - коэффициент модели дрейфа гироскопа от разбаланса вдоль оси собственного вращения в i положении,

ω^1y _1x1 - коэффициент модели дрейфа гироскопа от квадратурного момента,

ω^1y _1y1y1, ω^1y _1z1z1 - коэффициенты модели дрейфа от неравножесткости подвеса,

ω^1y _1x1y1 - коэффициент модели дрейфа гироскопа от перекрестного влияния при действии ускорений вдоль осей X_г1 и Z_г1.

Вычитая из двойного показания гироскопа в положении n сумму показаний гироскопа в положениях i и j, получим

2U_11n-(U_11i+U_11j)=[-(2M_x1n-M_x1i-M_x1j)+H₁(2ω^г1 _yn-ω^г1 _yi-ω^г1 _yj)(H₁К_н11)^-1; (9)

где

2M_x1n-M_x1i-M_x1j=2[M^1x _1y1g(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)-M^1x _1x1g(c₂₂cosδ_i-c₁₂sinδi)+M^1x _1y1z1·g²((c² ₁₂-c² ₂₂)cos2δi+2c₁₂c₂₂sin2δi)-M^1x _1y1y1g²(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)c₃₂-M^1x _1z1zg²(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)c₃₂+M^1x _1x1y1g²(c₂₂cosδ_i-c₁₂sinδi)c₃₂+2M^1x _1x1z1·g²(0,5(c² ₁₂-c² ₂₂)sin2δi-c₁₂c₂₂cos2δi)],

2ω^г1 _y1n-ω^г1 _y1j-ω^г1 _y1j=-2[cosψ Ωcosϕ(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδi)+sinψ Ωcosϕ(е₂₂sinδ_i+e₁₂cosδi)+ Ωsinϕ(e₂₃sinδ_i+e₁₃cosδi)].

Уравнение (8) также можно представить в виде

cosψ[2 Ωcosϕ(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδi)]+sinψ[2 Ωcosϕ(е₂₂sinδ_i+e₁₂cosδi)]=(U_11i+U_11j-2U_11n)K_н11-Δω^г1 _д1i-2 Ωsinϕ(e₂₃sinδ_i+e₁₃cosδi), (10)

где

Δω^г1 _д1i=(M_x1n-М_х1i-M_x1j)Н^-1 ₁=2[ω^1y _1y1g(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)-ω^1y _1x1g(c₂₂cosδ_i-c₁₂sinδi)+ω^1y _1y1y1g²((c² ₁₂-c² ₂₂)cos2δi+2c₁₂c₂₂sin2δi)-ω^1y _1y1y1g²(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)c₃₂-ω^1y _1z1z1g²·(c₁₂cosδ_i+c₂₂sinδi)c₃₂+ω^1y _1x1y1g²(c₂₂cosδ_i-c₁₂sinδ_i)c₃₂+2ω^1y _1x1z1g²(0,5(c² ₁₂-c² ₂₂)sin2δi-c₁₂c₂₂cos2δi)],

ω^1y _1z1z1 - коэффициент модели дрейфа гироскопа, пропорциональный ускорению во второй степени вдоль оси У_г1,

ω^1y _1x1z1 - коэффициент модели дрейфа гироскопа от перекрестного влияния при ускорений вдоль осей X_г1 и У_г1,

Представим уравнение (7) и (9) в следующем виде:

a_11icosψ+a₁₂sinψ=b_11i,

a_21icosψ+a_22isinψ=b_12i, (11)

где

a_11i=2 Ωcosϕ(e₂₁cosδ_i-e₁₁sinδi),

a_12i=2 Ωcosϕ(e₂₂cosδ_i-e₁₂sinδi),

a_21i=2 Ωcosϕ(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδi),

a_22i=2 Ωcosϕ(e₂₂sinδ_i+e₁₂cosδi);

b_11i=(U_11i-U_11j)К_н11+Δω^г1 _д2i-2 Ωsinϕ(e₂₃cosδ_i-e₁₃sinδi),

b_12i=(U_11i+U_11j-2U_11n)K_н11-Δω^г1 _д1i-2 Ωsinϕ(e₂₃sinδ_i+e₁₃cosδi).

Решая уравнение (11), можно определить выражения для sinψ и cosψ в следующем виде:

(sinψ)_i=a_1i,

(cosψ)_i=b_1i, (12)

где

a_1i=[(U_11i+U_11j-2U_11n)K_н11(e₂₁cosδ_i-e₁₁sinδi)-(U_11i-U_11j)K_н11(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδi)-Δω^г1 _д1i(_e21cosδ_i-e₁₁sinδi)-Δω^г1 _д2i(e₂₁sinδ_i+e₁₁cosδi)-2 Ωsinϕ(e₁₃e₂₁-e₁₁e₂₃)]·[2 Ωcosϕ(e₁₂e₂₁-е₁₁е₂₂)]^-1,

b_1i=[(U_11i-U_11j)K_н11(e₂₂sinδ_i+e₁₂cosδi)-(U_11i+U_11j-2U_11n)K_н11(e₂₂cosδ_i-e₁₂sinδi)+Δω^г1 _д2i(e₂₂sinδ_i+e₁₂cosδi)+Δω^г1 _д1i(e₂₂cosδ_i-e₁₂sinδi)-2 Ωsinϕ(e₁₂e₂₃-e₁₃e₂₂)]·[2 Ωcosϕ(e₁₂e₂₁-e₁₁e₂₂)]^-1.

Используя соотношение (12), искомый азимутальный угол ψ_i можно представить в следующем виде:

ψ_1i=arctg(a_1ib^-1 _1i) (13)

При использовании функции тангенса квадрант, в котором расположен азимутальный угол ψ_i, может быть вычислен по соотношению знаков для (sinψ)_i и (cosψ)_i в выражении (12).

Обозначив значение курса, определенное в первом положении при δ_i угле поворота корпуса гироскопа вокруг оси собственного вращения через К_1i и зная квадрант, формулу для вычисления угла истинного курса, можно представить в виде

к_1i=2π-arctg(a_1ib^-1 _1i), если a_1i>0, b_1i>0;

к_1i=π-arctg(a_1ib^-1 _1i), если а_1i>0, b_1i<0;

к_1i=π-arctg(а_1ib^-1 _1i), если a_1i<0, b_1i<0;

к_1i=-arctg(a_1ib^-1 _1i), если a_1i<0, b_1i>0. (14)

Тогда осредненное по углу поворота гироскопа вокруг оси собственного вращения значение истинного курса в первом положении K₁ получим в виде

Осреднение по углу поворота корпуса гироскопа вокруг оси собственного вращения гироскопа уменьшает погрешность гирокомпасирования от неучтенных факторов за счет того, что погрешность гирокомпасирования за оборот гироскопа меняет свой знак и ее среднее значение значительно меньше ее амплитудного значения.

Установим гироскоп во второе положение путем поворота его вместе с корпусом прибора вокруг продольной оси объекта на π радиан. Взаимное расположение географической и связанных с объектом, корпусом прибора систем координат во втором положении гироскопа показано на фиг.3. Исходная установка гироскопа во втором положении показана на фиг.4. При этой исходной установке оси гироскопа совпадают с осями корпуса прибора с точностью, обусловленной угловыми погрешностями установки μ_г1, α_г1, β_г1.

Так же, как и в первом положении, будем во втором положении гироскопа поворачивать его корпус в диапазоне [0, 2π) радиан вокруг оси собственного вращения относительно корпуса прибора на углы δ_i против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Z_г1.

Тогда показания гироскопа во втором положении при повороте на угол δ_i при условии малости углов невыставки μ_г1 можно представить в виде

U_21i=(-М_х2i+H₁ω^г1 _y2i)(H₁K_н11)^-1, (16)

где

ω^г1 _y2i - проекция абсолютной угловой скорости на измерительную ось У_г1 первого канала гироскопа во втором положении на угле δ_i.

ω^г1 _y2i=cosψ Ωcosϕ(l₂₁cosδ_i-l₁₁sinδi)+sinψ Ωcosϕ(l₂₂cosδ_i-l₁₂sinδi)+ Ωsinϕ(l₂₃cosδ_i-l₁₃sinδi),

l₁₁=cosυsinβ_г1sinα_г1-cosγsinυsinβ_г1cosα_г1-sin;