Способ кодирования чисел

Способ кодирования чисел

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

GllИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

23l2l5

Союз Советских

Социалистическим

Республик

Зависимое от авт. свидетельства №

Кл. 42in, 14

Заявлено 14.!Х.1965 (№ 1027410/26-24) с присоединением заявки J¹

МПК G 061

УДК 681.142.083.73 (088.8) Приоритет

Опубликовано 15.Х1.1968. Бюллетень № 35

Дата опубликования описания 25.III.1969

Комитет по делам изобретений и открытиЯ при Совете Министров

СССР

Лвторы изобретения

И Я кушскии, Д.-И, Г. Юдицкий и И. >.

Заявитель

СПОСОБ КОДИРОВАНИЯ 1ИСЕЛ ционных систем счисления указанный путь работы с комплексными числами является единственно Возмохкным.

Однако система счисления в остаточных классах открывает прпнцпгшально новый путь, позволяющий эффективно строить машинную арифметику в комплексной области. Рассмотрим целые комплексные числа а+ bi (а и Ь— целые вещественные числа) .

10 Норма комплексного числа a+ bi, вещественное целое число р =a - + b-

Как известно, норма произведения двух комплексных чисел равна пропзведеншо пх норм, а частное от деления двух комплексных чисел а+bi и c+di определяется по формуле: а bi ac+ bd bc — ad

+ i. с+ di с2 d cî d

Ьс — ad r (mocl с - +сй), ro а + bi делится па с + di с остатком, и

rc — r d r с —, rd

+ i= a+3

30 с +. Ф c + dÐ

Известны способы кодирования чисел, основанные на сопоставлении числу группы наименьших полохкительных вычетов по системе взаимно простых основангпй.

Предлагаемый способ отличается от известных тем, что выбирают систему комплексных модулей р» + ig», TBKHX HTO p. -+ ct

О (к (и, где п — количество модулей являлись бы взаимно простыми числами, определяют наименьшие комплексные вычеты кодируемого числа и выбирают при помощи дешифратора для кахкдого вычета одно из чисел ряда

О, 1, 2... ро +q +1.

Это позволяет увеличить производительность цифровых вычислительных машин при работе с комплексными числами.

Решение многих задач электротехники, аэро- и гидродинамики и т. д. принципиально связано с методами теории функций комплексного переменного.

В настоящее время на цифровых вычислительных машинах, основанных на позиционных системах счисления, операции над комплексными числами выполняют 110 специальным подпрограммам. Это требует значительного количества элементарных операций. Например, чтобы умножить Ha комплексных числа, надо выполнить чегыре операции умно>кения и две операции сложения. Для позиЦелое комплексное чпс,.о а —, — bi делится на целое комплексное число с+ di, если ас+

+ Ьй 0(mod с - + сй) и bc — аа О (mod с- +

+ Р).

Если же пмеюг место сравнения:

ac+ bd r (mod с- + а - ) 231215 есть остаток от этого деления.

Отсюда: а + bi: а + рг (mod с + di j.

+ 2 где а =1,2 ... n.

Предмет изобретения

55 где рА + qB = F (pa+ q>) + f р — А=- а (p +q) +- .

Левина Корректор О. Б. Тюрина

Техред Л. Я.

Редактор Н. С. Коган

Заказ 241/21 Тираж 530 Подписное

ЦНИИПИ Комитета по делам изобретений и открытий при Совете Министров СССР

Москва, Центр, пр. Серова, д. 4

Сапунова, 2

Типография, пр.

Для сравнения комплексных чисел, определяемых указанным образом, применимы все теоремы, установленные для вещественных сравнений.

Таким же путем можно установить понятие полной системы вычетов, объединяя в один класс вычетов по данному модулю все числа, дающие один и тот же остаток при делении на данный модуль. Если r и r лежат в пределах (О, c> + савв), то а+ (1i являются наименьшим вычетом, а если в пределах то абсолютно наименьшим вычетом.

Введение понятия наименьшего вычета в комплексной области позволяет построить аналог системы остаточных классов в комплексной области. При этом выбирают комплексные числа р1 + iq>, p + 1Чв, Рв + i являющиеся основаниями системы, и тогда целое комплексное число А + iB может быть представлено совокупностью своих остатков (наименьших вычетов) по принятым основаниям:

А+Вi=- (а +iB„) (modр +iq ), Для данного представления целых комплексных чисел могут быть перенесены все результаты системы счисления остаточных классов для вещественной области (независимое выполнение операции сложения, вычитания, умножения по каждому из остатков, восстановление чисел по ортогональным базисам и т. д.) ..

Наименьший вычет а+ iP числа А + В по основанию p+iq осуществляется по формулам: а=А — pF+q6

Р = — ра — qF, Соответственно f u q (ра+ д .

Этой системе остаточных классов в комплексной области может быть поставлена в однозначное соответствие система остаточных классов в вещественной области, а именно— основаниям p1 + iqi ... р„+ щ„соответствуют основания р + q ...p„+ q„, а остат20

40 кам а„+ ф, по основаниям р, + iq, соответствует по одному из чисел О, 1, 2... р + q — 1.

Это однозначное соответствие гемеоморфно, т. е. операциям над комплексными остатками соответствуют операции над их вещественными отображениями.

Возможность построения такого отображения основана на применении известной теоремы Гаусса:

По заданному комплексному модулю p +

+ ц„для которого р, и q,— взаимно простые числа, каждое целое комплексное число сравнимо с одним и только с одним вычетом из ряда 0,1,2... р, + q — 1.

Переход от наименьших комплексных вычетов, осуществляемый выборкой при помощи дешифраторов, представляет собой табличную опер ацию.

Таким образом, выполнение операций в комплексной области может осуществляться в системе остаточных классов над вещественными целыми числами, в соответствии с правилами выполнения операций в системе остаточных классов. Это приводит к возможности построения арифметического устройства, эффективно выполняющего операции над комплексными числами, фактически оперируя над их вещественными отображениями.

Так, умножение двух комплексных чисел осуществляют выборкой из таблицы, построенной для их вещественных отображений (требуемые четыре умножения и два сложения заменяют одной выборкой из таблицы). Переход от вещественных отображений к искомым комплексным числам совершается только на конечном этапе выдачи из ЭВМ окончательного результата, Способ кодирования чисел, основанный на сопоставлении числу группы наименьших положительных вычетов по системе взаимно простых оснований, отличаюи1ийся тем, что, с целью увеличения производительности цифровых вычислительных машин при работе с комплексными числами, выбирают систему комплексных модулей р, + ц„таких, что р +

+ q для О (к (n, где n — количество модулей являлось бы взаимно простыми целыми числами, определяют наименьшие комплексные вычеты кодируемого числа и выбирают при помощи дешифратора для каждого вычета одно из п1сел psrpa О, 1, 2... о +