Способ и система для мониторинга заполненных жидкостью областей в среде на основе граничных волн, распространяющихся по их поверхностям

Способ и система для мониторинга заполненных жидкостью областей в среде на основе граничных волн, распространяющихся по их поверхностям

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Область техники, к которой относится изобретение

Настоящее изобретение в общем относится к мониторингу заполненных жидкостью областей в среде и, в частности, - к обнаружению, отслеживанию развития и определению характерных размеров и свойств заполненных жидкостью областей в среде на основе граничных волн, распространяющихся по их поверхностям.

Предшествующий уровень техники

Используемый в описании термин "заполненная жидкостью область" является обобщенным понятием для любой заполненной жидкостью несплошности в сплошной среде. В частности, заполненными жидкостью областями могут быть трещины, слои, разломы, сдвиги. Используемый в описании термин "мониторинг" является обобщенным понятием для действий по обнаружению, наблюдению, прогнозированию, анализу или определению основных характеристик.

Настоящее изобретение применимо к широкому разнообразию сред (в частности, подземным формациям, элементам конструкций, костям) и жидкостей (в частности, воде, нефти).

Мониторинг заполненных жидкостью трещин имеет исключительное значение во многих областях человеческой деятельности, например в добывающей промышленности, медицине, строительстве. При этом заполненные жидкостью трещины в среде могут быть как желательными, так и нежелательными. К желательным трещинам относятся трещины, созданные искусственным путем, например трещины гидроразрыва, предназначенные для повышения эффективности нефтедобычи или предварительной обработки руды при добыче. К нежелательным заполненным жидкостью трещинам относятся, в частности, крупномасштабные естественные подземные трещины в окрестности городов и промышленных объектов, трещины в строительных конструкциях и костях.

В нефтяной промышленности формирование трещин гидроразрыва широко используется для интенсификации добычи нефти за счет формирования или расширения каналов от скважины к резервуару. Трещины гидроразрыва формируют посредством нагнетания жидкости (называемой также жидкостью разрыва) в скважину под давлением. В результате этого в подземной формации формируется и заполняется жидкостью одна или более трещин нормального отрыва, что обычно приводит к повышению интенсивности нефтедобычи.

Жидкость разрыва содержит расклинивающий наполнитель, проппант, малоразмерные частицы которого добавляют в жидкость для поддержания трещины открытой после того, как нагнетание жидкости прекращают и давление сбрасывают, для создания в формации дренирующего слоя с высокой пропускной способностью. Такими частицами являются частицы песка или керамического материала. Для эффективности использования трещина должна распространяться внутри продуктивного пласта и не выходить в прилегающие слои, а также иметь достаточные размеры. Таким образом, определение характерных размеров заполненной жидкостью трещины является важным этапом обеспечения оптимизации процесса добычи.

Иногда проппант образует непроницаемую структуру вблизи вершины трещины, в результате чего трещина прекращает расти. Обнаружение момента, когда трещина перестает расти, является важным для оператора, которому требуется определить момент остановки закачивания проппанта.

Мониторинг заполненных жидкостью областей также имеет большое значение в контексте обнаружения, отслеживания и определения характерных размеров масштабных природных трещин в подземных формациях, которые могут стать причиной эрозии земной поверхности, трещин в различных элементах строительных конструкций, таких как плиты, фундаменты зданий, различные виды опор, которые могут привести к разрушению элементов конструкций, а также разведки подземных слоев, заполненных жидкостью, и определения их характеристик.

В настоящее время характерные размеры заполненных жидкостью трещин определяют, применяя различные технологии и методики. Наиболее широко используется методика косвенного определения, основанная на анализе характеристик изменения давления в ходе разработки и добычи, которая описана, например, в публикации Reservoir Stimulation, Third Edition, M.J.Economides and K.G.Nolte (Ed.), Chichester, UK, Wiley, 2000. Более надежной методикой является методика акустического исследования трещин, применяемая в полевых условиях и основанная на локации событий с использованием пассивного акустического излучения. Такая технология описана, например, в публикации D.Barree, М.К.Fisher, R.A.Woodroof, "A practical guide to hydraulic fracture diagnostic technologies", материал SPE 77442, представленный на Ежегодной технической конференции и выставке в Сан-Антонио, штат Техас, США, 28.09.2002-02.10.2002.

Еще одной технологией оценки размеров заполненной жидкостью трещины является построение карты наклона свободной поверхности, раскрытое в публикации D.Barree, M.K.Fisher, R.A.Woodroof, "A practical guide to hydraulic fracture diagnostic technologies", упомянутой выше. Эта технология включает в себя отслеживание поля деформации породы, окружающей трещину, с использованием датчиков наклона.

Все из перечисленных технологий и методик подразумевают сложную предварительную обработку собранных данных, которая требуется для последующего определения геометрических характеристик трещины на основе моделей. В результате сложность обработки данных, характерная для упомянутых технологий и методик, не позволяет быстро интерпретировать данные измерений и сильно ограничивает возможности определения геометрических характеристик трещин в реальном масштабе времени.

Из US 5206836 известен способ определения характерных размеров подземной трещины, пересекающей имеющуюся скважину, на основе возбуждения колебаний в заполняющей трещину жидкости с резонансной частотой и определения размеров трещины на основе этой резонансной частоты, причем параметры, используемые в расчетах, зависят от динамических характеристик жидкости и подземной формации, а также от геометрических характеристик. Геометрические характеристики заполненной жидкостью подземной трещины определяют посредством обращения физических свойств трещины, полученных в результате моделирования с использованием данных наблюдений давления жидкости в скважине.

Результат, обеспечиваемый данным способом, достигается посредством интерпретации регистрируемых колебаний давления жидкости в скважине на основе волн, распространяющихся в жидкости внутри трещины. Более детальное описание преимуществ способа, соответствующего настоящему изобретению, по сравнению со способом по US 5206836 изложено ниже после подробного раскрытия способа, соответствующего настоящему изобретению.

Таким образом, в настоящее время в рассматриваемой области техники имеется потребность в быстрых надежных способах мониторинга заполненных жидкостью областей, обеспечивающих возможность выполнять мониторинг в реальном времени.

Сущность изобретения

Задачей настоящего изобретения является создание эффективного способа определения характерных размеров заполненных жидкостью трещин в среде и системы для его реализации.

Для решения этой задачи в соответствии с изобретением предложен способ определения характерных размеров, по меньшей мере, одной заполненной жидкостью трещины в среде, содержащий этапы, на которых регистрируют колебания, по меньшей мере, одной заполненной жидкостью трещины, определяют волновые характеристики стоячих граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей, по меньшей мере, одной заполненной жидкостью трещины, на основе зарегистрированных колебаний с учетом свойств среды и жидкости и вычисляют характерные размеры, по меньшей мере, одной заполненной жидкостью трещины на основе определенных таким образом волновых характеристик стоячих граничных волн.

В предпочтительном варианте средой является подземная формация, устье трещины примыкает к нагнетательной скважине, и ширину w трещины определяют отдельно от других ее характерных размеров. На этапе регистрации колебаний регистрируют колебания давления жидкости в нагнетательной скважине и выделяют самые низкие резонансные частоты, которые соответствуют колебаниям по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины. На этапе определения волновых характеристик определяют частоты ν⁽ⁿ⁾ стоячих граничных волн (n - целое), распространяющихся вдоль поверхностей по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины, как соответствующие выделенным резонансным частотам колебаний по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины и вычисляют групповую скорость V(ν⁽ⁿ⁾, w) граничной волны, которая зависит от свойств формации и жидкости. На этапе вычисления характерных размеров по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины вычисляют характерный размер L вдоль распространения стоячей граничной волны по формуле .

В другом предпочтительном варианте средой является погруженная в жидкость часть элемента конструкции, а по меньшей мере одна заполненная жидкостью трещина пересекает поверхность погруженной в жидкость части элемента конструкции, причем ширину w трещины измеряют непосредственно. На этапе регистрации колебаний закрепляют датчик на пересечении по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины с поверхностью погруженной в жидкость части элемента конструкции, регистрируют колебания посредством этого датчика и выделяют самые низкие резонансные частоты, которые соответствуют колебаниям по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины. На этапе определения волновых характеристик определяют частоты ν⁽ⁿ⁾ стоячих граничных волн (n - целое), распространяющихся вдоль поверхностей по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины, как соответствующие выделенным резонансным частотам колебаний по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины, и вычисляют групповую скорость V(ν⁽ⁿ⁾, w) граничной волны, которая зависит от свойств элемента конструкции и жидкости. На этапе вычисления характерных размеров по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины вычисляют характерный размер L вдоль распространения стоячей граничной волны по формуле .

Система, предназначенная для определения характерных размеров по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины в подземной формации в соответствии с вышеупомянутым предпочтительным вариантом способа, соответствующего настоящему изобретению, содержит средство регистрации для регистрации колебаний давления жидкости в нагнетательной скважине, средство обработки данных для определения частот стоячих граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины, вычисления групповой скорости граничной волны и вычисления характерного размера по меньшей мере одной заполненной жидкостью трещины вдоль распространения стоячей граничной волны и средство формирования сигнала для формирования сигнала, содержащего результаты вычислений.

Одним из основных отличительных признаков заявляемых способов является то, что интерпретацию регистрируемых колебаний выполняют на основе граничных волн, распространяющихся по поверхностям заполненных жидкостью областей, что, в частности, позволяет эффективно и надежно вычислять характерные размеры и свойства заполненных жидкостью областей в реальном времени.

Краткое описание чертежей

Вышеуказанные и иные признаки и преимущества настоящего изобретения раскрыты в нижеследующем описании предпочтительных вариантов его осуществления, приводимых со ссылками на чертежи, на которых

Фиг.1 - блок-схема этапов способа определения характерных размеров заполненной жидкостью трещины согласно изобретению.

Фиг.2 - схематическое изображение системы для практической реализации предпочтительного варианта способа по фиг.1.

Фиг.3 - дисперсионные кривые для волн, распространяющихся вдоль трещины.

Фиг.4 - зависимость давления жидкости, регистрируемого в иллюстративном предпочтительном варианте способа по фиг.1, от времени.

Фиг.5 - Фурье-образ зависимости по фиг.3.

Фиг.6 - схематическое изображение средства обработки данных из состава системы по фиг.2.

Описание предпочтительных вариантов осуществления изобретения

В соответствии с вышесказанным определение характерных размеров заполненных жидкостью трещин имеет большое значение в различных областях человеческой деятельности. Далее со ссылкой на фиг.1 излагается соответствующий настоящему изобретению способ, позволяющий эффективно определять характерные размеры заполненной жидкостью трещины.

На этапе 110 по фиг.1 регистрируют колебания заполненной жидкостью трещины. В частности, эти колебания могут быть возбуждены заранее с целью их последующей регистрации. Регистрацию и возбуждение колебаний трещины можно выполнить любым подходящим средством, известным из уровня техники. Ряд способов и средств возбуждения и регистрации колебаний заполненной жидкостью трещины излагается более подробно ниже. Следует отметить, что колебания трещины можно регистрировать не только непосредственным образом, но и путем регистрации колебаний или иных явлений, индуцированных колебаниями трещины.

На этапе 120 по фиг.1 зарегистрированные колебания интерпретируют на основе стоячих граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей заполненной жидкостью трещины. В данном описании под термином "стоячая граничная волна" понимается приближенное решение уравнений упругой среды, содержащей заполненную жидкостью трещину конечной длины L, описывающее смещение частиц в окрестности трещины как

где ω - частота, κ - параметр затухания, n - целое число, при этом ось х направлена вдоль трещины в направлении распространения волны, ось z направлена вдоль трещины перпендикулярно распространению волны, а ось y направлена поперек трещины. Это решение обращается в 0 на концах трещины и гармонически меняется вдоль нее. Вследствие присутствия экспоненциального затухания поперек трещины соответствующие решения оказываются локализованными в окрестности границы раздела "жидкость-среда". Такие решения и называются стоячими граничными волнами.

На этапе 120 интерпретация включает в себя определение волновых характеристик стоячих граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей трещины, на основе колебаний заполненной жидкостью трещины, зарегистрированных на этапе 110. К волновым характеристикам стоячих граничных волн относятся, например, частоты, скорости, спектральная плотность и т.п. При этом определяемые волновые характеристики могут зависеть от свойств среды и жидкости (например, от их плотностей, вязкости жидкости, проницаемости среды). Свойства среды и жидкости, от которых зависят волновые характеристики стоячих граничных волн, должны быть либо известны заранее, либо определены любым известным способом независимо от этапов описываемого способа. Примеры зависимостей волновых характеристик стоячих граничных волн от свойств среды и жидкости приведены ниже при описании предпочтительных вариантов осуществления данного способа.

На этапе 130 по фиг.1 вычисляют характерные размеры заполненной жидкостью трещины на основе волновых характеристик стоячих граничных волн, определенных на этапе 120. В основе вычислений лежит соответствие между длинами стоячих граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей заполненной жидкостью трещины, и ее характерными размерами. Примеры выражения этого соответствия в формульном виде приведены ниже при описании предпочтительных вариантов осуществления настоящего изобретения.

Описанный способ в силу простоты соответствующей ему обработки данных, в частности вычислений, можно реализовать в реальном времени. Также с его помощью возможно определение характерных размеров более чем одной заполненной жидкостью трещины, что будет подробно изложено ниже при описании предпочтительных вариантов осуществления данного способа.

Одним из наиболее предпочтительных вариантов осуществления вышеописанного способа является определение характерных размеров заполненной жидкостью трещины в подземной формации, в которой обеспечена нагнетательная скважина. Устье трещины примыкает к нагнетательной скважине. Такая система, проиллюстрированная на фиг.2, характерна для трещин гидроразрыва, описанных выше.

При регистрации колебаний заполненной жидкостью трещины регистрируют колебания давления жидкости в нагнетательной скважине, индуцированные колебаниями трещины. Предпочтительно, перед регистрацией трещину возбуждают посредством скачкообразного изменения давления жидкости в нагнетательной скважине. Наиболее очевидным способом обеспечения скачкообразного изменения давления жидкости является остановка нагнетания жидкости на несколько секунд. Для регистрации колебаний давления жидкости в нагнетательной скважине можно использовать любую известную подходящую высокоскоростную систему сбора данных, например, позволяющую выполнять одну запись за 5 мс. В частности, регистрацию колебаний давления жидкости можно осуществить с помощью одного или нескольких датчиков, установленных вблизи заполненной жидкостью трещины, например в нагнетательной скважине.

Помимо регистрации колебаний заполненной жидкостью трещины посредством регистрации колебаний давления жидкости в нагнетательной скважине известно множество способов регистрации колебаний трещины. В частности, колебания заполненной жидкостью трещины можно регистрировать посредством регистрации любых колебаний, индуцированных колебаниями трещины. Также регистрация колебаний трещины выполняется путем наблюдения за любыми естественными явлениями, индуцированными колебаниями трещины, включая

а) гравитационные явления, приводящие к изменению ускорения свободного падения в окрестности формации за счет крупномасштабного смещения пластов (здесь имеются в виду приложения к мониторингу гигантских трещин сейсмического масштаба);

б) электромагнитные явления, приводящие к возбуждению электромагнитного поля в окрестности трещины как за счет движения существующих свободных зарядов в среде, так и за счет разделения связанных зарядов;

в) оптические явления, например генерация света в оптических волноводах, расположенных вблизи трещины и чувствительных к механическим напряжениям среды;

г) сейсмоэлектрические явления, представляющие собой генерацию электромагнитного поля в среде вследствие изменения напряженного состояния среды;

д) электрокинетические явления, представляющие собой генерацию электромагнитного поля за счет фильтрации жидкости в трещине и в порах среды;

е) термодинамические явления, такие как, например, фазовые переходы "жидкость-газ", индуцированные колебаниями давления в окрестности трещины.

Кроме того, регистрацию колебаний трещины можно осуществить путем наблюдения за любыми данными, получаемыми в процессе измерений в трещине, таких как данные о проницаемости формации, ее электрической проводимости и т.п.

Согласно одному из предположений, лежащих в основе заявляемого способа и подтверждаемого экспериментально, характерный размер L трещины делится нацело на длины λ⁽ⁿ⁾ стоячих граничных волн, распространяющихся в направлении этого характерного размера. В соответствии с вышесказанным упомянутый характерный размер L можно определить по следующему уравнению:

где n - целое, ν⁽ⁿ⁾ - частота n-ой стоячей граничной волны, V(ν⁽ⁿ⁾, w) - групповая скорость граничной волны, w - ширина заполненной жидкостью трещины. При этом уравнение (1) позволяет, определить более одного характерного размера заполненной жидкостью трещины, поскольку каждое измерение трещины (исключая ширину) характеризуется собственным набором стоячих граничных волн с соответствующими частотами ν⁽ⁿ⁾.

Входящие в уравнение (1) частоты ν⁽ⁿ⁾ выделяют на основе зарегистрированных колебаний давления жидкости в нагнетательной скважине, индуцированных колебаниями заполненной жидкостью трещины. Эти частоты соответствуют самым низким резонансным частотам зарегистрированных колебаний. Упоминаемый в описании термин "самые низкие резонансные частоты" соответствует наличию (например, на спектрограмме) резонансных частот, значительно меньших ожидаемых в отсутствие заполненных жидкостью трещин. При этом, как показывает моделирование, самые низкие резонансные моды колебаний трещины формируются именно стоящими граничными волнами, распространяющимися вдоль поверхностей трещины. Пример выделения самых низких резонансных частот приведен ниже.

Основной подлежащей определению волновой характеристикой стоячих граничных волн, распространяющихся по поверхностям заполненной жидкостью трещины, является групповая скорость V(ν⁽ⁿ⁾, w) граничной волны, которая, помимо ширины w рассматриваемой трещины, зависит также от свойств подземной формации и жидкости.

Групповую скорость V(ν⁽ⁿ⁾, w) можно получить либо в приближении невязкой жидкости, либо в приближении вязкой ньютоновской жидкости. Используемые в описании термины "невязкая жидкость" и "вязкая ньютоновская жидкость" известны из уровня техники и подробно изложены в кн.: Теоретическая физика. Т.6: Гидродинамика, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 4-е изд., "Физматлит", 1988 г., ISBN: 5-9221-0121-8, глава I, стр.13-70 для невязкой жидкости, глава II, стр.71-136 для вязкой ньютоновской жидкости.

Ниже приводится вывод соотношений для V(ν⁽ⁿ⁾, w) в каждом из приближений.

Вывод соотношения для групповой скорости в приближении невязкой жидкости

Смещения частиц, соответствующие граничной волне, образуют эллиптические траектории с амплитудами, гармонически изменяющимися в продольном направлении трещины и экспоненциально затухающими в ее поперечном направлении. Скорость этой волны меньше наименьшей из скорости упругой волны в жидкости и скорости поперечной упругой волны в формации. Скорость граничной волны зависит от частоты и является очень малой при низких частотах.

Фазовую скорость с_phase граничной волны, распространяющейся вдоль поверхностей трещины, для бесконечной заполненной невязкой жидкостью трещины постоянной ширины можно определить из нижеследующего дисперсионного соотношения, выведенного в работе "Slow waves trapped in a fluid-filled infinie crack: implications for volcanic tremor", V.Ferrazini и К.Aki, J. Geophys. Res., 1992, No B9, стр.9215-9223, 1987

где ω - круговая частота, w - ширина трещины, ρ и ρ_f - плотности формации и жидкости, соответственно, а

где α_f - скорость упругой волны в жидкости, α - скорость продольной упругой волны в формации, β - скорость поперечной упругой волны в формации.

Здесь c_phase - скорость распространения волны вдоль трещины. Сама по себе волна, распространяющаяся вдоль поверхностей трещины, представляет собой эллипсоидальное движение частиц с амплитудой, экспоненциально затухающей поперек трещины при ограничении, что перемещения частиц являются симметричными по отношению к оси трещины.

Типичные дисперсионные кривые для волн, распространяющихся вдоль трещины, представлены на фиг.3.

На этих фигурах представлены решения уравнения (2) для различных значений w (w=0,5...5 мм) и различных частот ν=ω/2π. Высокочастотная асимптота для всех кривых (скорость Шолте) близка к скорости упругой волны в жидкости. При нулевой частоте скорость равна нулю, что является главным объяснением всех основных рассматриваемых явлений.

В уравнении (2) можно использовать аппроксимацию cot(x)≈1/x, верную в случае малых х. Замена cot(х) на 1/х не вносит существенных изменений в скорость: для реальных ширин трещин (0,5-50 мм) ошибка в скорости составляет доли мм/с.

В пределе c_phase<<α_f, что в действительности имеет место для низких частот, можно показать, что хорошей аппроксимацией решения уравнения (2) является

Соответствующие точным решениям кривые по фиг.3 на самом деле близки к зависимости с_phase˜ν^1/3.

В контексте настоящего изобретения требуется вычислить групповую скорость V граничной волны

но для граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей трещины, есть хорошая аппроксимация, следующая из уравнений (3) и (4), а именно

В случае прямоугольных трещин конечной длины численное моделирование показывает, что соответствующие самым низким частотам резонансные моды соответствуют граничным волнам, распространяющимся по поверхностям трещины, с дисперсионным соотношением, являющимся измененной формой уравнения (2). При этом отмечено, что упомянутое изменение становится пренебрежимо малым в пределе большого форматного отношения "длина/ширина", что всегда выполняется для трещин.

Вывод соотношения для групповой скорости в приближении вязкой ньютоновской жидкости

В этом подразделе приведено оригинальное изложение теории граничных волн, распространяющихся вдоль поверхностей трещины, в случае вязкой ньютоновской жидкости.

Для трещины, заполненной вязкой жидкостью, дисперсионное соотношение определяется следующим образом.

Вначале формулируются уравнения движения, при этом в приводимых ниже уравнениях подразумевается суммирование по повторяющимся индексам

I. Уравнения движения формации сформулированы в терминах смещений uⁱ (i=1, 2, 3) следующим образом:

где τ^ij и е^ij - тензоры напряжений и деформаций, соответственно, λ и μ - коэффициенты Ляме, ∂ⁱ - частная производная по x_i, δ_ij - символ Кронекера.

II. Уравнениями движения жидкости являются линеаризованные уравнения Навье-Стокса, сформулированные в терминах скорости νⁱ жидкости следующим образом:

где ρ'(х) - флуктуация плотности, ρ_f - постоянная плотность жидкости, - возведенная в квадрат скорость звука, η - вязкость жидкости и dev(g^ij)=g^ij-δ^ijg^kk/3. Точка над символом означает производную соответствующей переменной по времени. Обе вышеприведенных системы приводят к уравнениям второго порядка. Например, в случае жидкости (дифференцируя уравнение по времени и используя остальные уравнения) можно получить

III. Граничные условия

На границе раздела "упругая среда - вязкая жидкость" должны удовлетворяться следующие граничные условия:

непрерывность скорости:

непрерывность нормальной составляющей усилия:

где n_k - компонента вектора нормали к границе раздела "упругая среда - вязкая жидкость".

Далее приводится вывод дисперсионного соотношения. После того, как сформулированы основные уравнения, вводится представление полей векторов смещения и скорости через продольный и поперечный потенциалы следующим образом:

где ε^ijk - полностью антисимметричный тензор. Далее осуществляется переход к частотной области посредством преобразования Фурье по отношению к времени. Вследствие уравнений движения потенциалы удовлетворяют следующим уравнениям:

где Δ≡∂ⁱ∂ⁱ, что подразумевает, что плоские волны имеют следующую форму:

Следует отметить, что волновые векторы kⁱ, lⁱ, rⁱ, sⁱ являются комплексными.

В рассматриваемой ситуации решения для формации и среды строятся в качестве рядов по плоским волнам (8)-(11), при этом волновые числа kⁱ, lⁱ, rⁱ, sⁱ выбираются так, чтобы были удовлетворены граничные условия (6), (7).

Предполагая, что трещина распространяется только в плоскости х-y, любое решение представляет собой комбинацию плоских волн в этой плоскости; вследствие осевой симметрии в х-y достаточно изучать плоские волны при условии, что y-компонента волнового вектора обращается в нуль. Таким образом, мы ограничиваемся случаем

k^y=l^y=r^y=s^y=0; u^y=ν^y=0; Ψ^x=Ψ^z=0,

что приводит к следующему представлению введенных выше потенциалов

где k∈C - произвольное комплексное число (волновое число в направлении х), в то время как Ф и Ψ - комплексные константы; "±" соответствуют областям формации над трещиной (z≥w) и под трещиной (z≤w).

Мы рассматриваем случай, когда и имеют ненулевые мнимые части (что для действительных ω и k будет означать которые без ограничения общности можно считать положительными. В таком случае следует положить

чтобы избежать решения, стремящегося к бесконечности, при бесконечном z. Граничные условия (6), (7) должны выполняться на двух плоскостях z=±w/2. В результате имеются восемь комплексных констант и восемь независимых граничных условий - по четыре на каждой плоскости (два для непрерывности скорости частицы и два для непрерывности нормальной составляющей усилия). Линейная система уравнений выглядит следующим образом:

где матрица L линейной этой системы имеет следующий вид:

где

Первая и вторая строки L соответствуют непрерывности смещений по х и z на z=w/2, третья и четвертая строки соответствуют непрерывности нормальной составляющей усилия на z=w/2. Строки с пятой по восьмую представляют аналогичные уравнения на z=-w/2.

Для существования ненулевого решения определитель соответствующей линейной системы должен обращаться в нуль

что и дает дисперсионное соотношение.

В случае нулевой вязкости необходимо удалить первую и пятую строки, а также пятый и шестой столбцы матрицы L и положить η=0 в оставшейся ее части. В результате вышеприведенное уравнение для матрицы L обеспечивает два дисперсионных уравнения: одно для антисимметричной моды (когда давление жидкости антисимметрично по отношению к z) и для симметричной моды (когда давление жидкости симметрично по отношению к z). Антисимметричная мода существенно быстрее. Ее дисперсионная кривая начинается над скоростью упругой волны в жидкости при низких частотах и затем плавно спадает до скорости Шолте по мере роста частоты. Дисперсионное соотношение для симметричной моды совпадает с уравнением (2).

В случае ненулевой вязкости также существуют антисимметричная и симметричная моды. Они характеризуются требованиями в отношении того, что z-компонента смещения либо антисимметрична по отношению к оси трещины (симметричный случай), либо симметрична по отношению к оси трещины (антисимметричный случай). Эти определения согласуются с основными уравнениями в том смысле, что они извлекают независимые системы из этих уравнений. В этих подсистемах нормировочные константы потенциалов ограничены следующим образом:

где верхний и нижний знаки относятся к симметричной и антисимметричной модам, соответственно. Эти ограничения приводят к двум следующим уравнениям:

где

q_±=q±1/q, b_±=b±1/b.

Эти уравнения могут быть решены численно. Полезно использовать следующую параметризацию решения:

ω=2πν+iθ/ν, k=2πν/c-iσc/ν,

где ν - частота; с - фазовая скорость; θ - интенсивность затухания во времени, измеряемая в единицах частоты; σ - интенсивность ослабления в пространстве, измеряемая в единицах обратной длины волны, при этом все параметры действительные. На параметры θ и σ налагается ограничение, состоящее в том, что они должны быть отрицательными. Если они оказываются положительными, то соответствующие решения должны быть отброшены, так как в противном случае это приведет к экспоненциальному возрастанию либо во времени, либо в направлении распространения. Также можно рассматривать только θ и σ, которые меньше единицы или сравнимы с единицей, поскольку в противном случае затухание во времени или ослабление делает волну пренебрежимо малой для времени одного колебания. В таком случае решение уравнения (12) в случае '+' представляет собой двумерное пространство в четырехмерном пространстве (ν, с, θ, σ), которое может рассматриваться как двумерное расширение кривой c(ν) нулевой вязкости, лежащей в плоскости (ν, с, 0, 0).

Согласно вышесказанному для реальных заполненных жидкостью трещин, ширина которых много меньше 1 см, и низких (в упомянутом выше значении) частот колебаний хорошей аппроксимацией точных соотношений для групповой скорости V является следующее уравнение, получаемое объединением уравнений (3) и (5):

Входящие в это уравнение свойства жидкости и формации предполагаются известными.

Как следует из у