Способ шихаева обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе единого решателя

Способ шихаева обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе единого решателя

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к средствам для обучения математике, в частности решения алгебраических уравнений, включая квадратные, биквадратные, кубические, четвертой степени, в том числе рациональные, иррациональные и показательные, а также решения неопределенных уравнений, и к обучающим системам. Изобретение предназначено для использования в учебных заведениях и для самообразования.

Традиционная алгебра школьного курса для каждого показателя степени уравнения имеет свой метод, то есть свой решатель. Например, для квадратных уравнений это формула с дискриминантом, а для кубических уравнений это формула Кардано. Эти творения великих мыслителей 15-го века давно ждут новаций.

Известные ученые, начиная с XVI века и до нашего времени, пытаются разобраться в вопросах, возникающих к методам и способам решения алгебраических уравнений. Среди ученых, пытающихся разобраться в загадках алгебры, были великие математики Ж.Л.Лагранж (1736-1813), Н.Г.Абель (1802-1829), Э.Галуа (1811-1832). Исследования этих ученых заботят ученых-алгебраистов до нашего времени.

Так, например, Л.А.Калужнин и В.И.Сущанский в замечательной работе «Преобразования и перестановки» (М.: Наука, 1979) поднимают следующие вопросы, непосредственно касающиеся школьного и университетского курсов алгебры:

1) что делать, если дискриминант меньше нуля;

2) дает ли формула Кардано все решения кубического уравнения, а также многие другие.

Так, например, уравнение x³-19х+30=0 имеет решения: x₁=-5; x₂=2; x₃=3.

При этом его дискриминант меньше нуля. В этом случае квадратные корни в формуле Кардано теряют смысл, а три указанных решения этого уравнения получены, минуя формулу Кардано.

Такие вопросы к решателям XV века не единичны.

Например, уравнение так называемой «золотой пропорции» или «золотого сечения» x²-x-1=0, являющееся математической моделью многих предметов, процессов и явлений, к великому сожалению не изучается в школьном курсе алгебры.

Уравнение золотой пропорции и его выражение в числах Фибоначчи наделено удивительными свойствами. Оно является математической моделью живых форм материи. Золотое сечение можно встретить в расположении листьев на ветвях деревьев, в очертаниях человеческого тела и его генетических кодах, оно проявляется в мире движения планет, в архитектуре и музыке. Не проходит года, чтобы золотое сечение, то есть уравнение x²-x-1=0, не находило все нового и нового присутствия в самых различных отраслях знаний.

Традиционная алгебра не решает это уравнение, а его решение получено не алгебраическим методом.

Кроме этого основным способом, присущим для решения различных алгебраических уравнений, является достаточно трудоемкое для учащихся деление заданного уравнения на различные многочлены, с целью их приведения к квадратным или кубическим уравнениям, для которых в арсенале алгебры имеются соответствующие решатели. Что же касается неопределенных уравнений, то они пока не заняли подобающего места в школьных и университетских курсах.

Единый решатель Шихаева справляется с отмеченными сложностями традиционной алгебры.

В данном изобретении предлагается способ обучения решению алгебраических (квадратных, биквадратных, кубических и четвертой степени рациональных, иррациональных и показательных) уравнений, а также неопределенных уравнений путем их численного моделирования на основе единого решателя, построенного на основе двух оригинальных численных моделей - квадратур и кубатур, позволяющих ввести в процесс исследования (решения) алгебраических и неопределенных уравнений специальные числовые ряды (названные одноименно с численными моделями - числовыми рядами квадратур и кубатур). В изобретении предлагается также обучающая система для численного моделирования алгебраических и неопределенных уравнений.

Для работы с числовыми рядами и их числами L₂, L₃ и x₀, смысловое содержание которых будет раскрыто далее, в обучающей системе предусмотрен специализированный вычислитель, обеспечивающий помощь учащимся в работе с числовыми рядами, что при решении сложных уравнений позволяет экономить их время для выполнения более творческих операций.

Вопрос о том, как строить обучающую систему в настоящее время получает актуальное значение, поскольку этот предмет становится научно-практическим направлением.

Известна разработанная в МГУ им. М.В.Ломоносова обучающая система "Наставник" (см. Брусенцов Н.П., Маслов С.П., Рамиль Альварес X. Микрокомпьютерная система обучения «Наставник». М.: Наука, 1990, 224 с.), состоящая из аппаратуры и программного обеспечения. В состав аппаратуры входит центральный компьютер с подключенными к нему через блок контроллера минитерминалами. Минитерминал состоит из цифровой клавиатуры и двух- или восьмипозиционного индикатора, позволяющих осуществлять диалог обучаемого с системой в числовой форме.

Процесс обучения основан на использовании печатных дидактических материалов с контролем и управлением действиями обучаемого через минитерминалы. Используемые при этом упражнения могут иметь форму с множественным выбором ответа или с ответом в виде одного числа.

Обучающая система "Наставник" была создана для интенсификации и повышения эффективности образования.

Однако следует отметить, что это организационная обучающая система. Она не содержит решателей, что ограничивает возможности данной обучающей системы в учебном процессе.

Также известен Универсальный математический решатель (UMS) (см. Крупин А. Универсальный математический решатель // Компьютерра. Компьютерный еженедельник. Выпуск от 08.02.2007), предназначенный для решения заданий из ряда разделов алгебры и анализа, входящих в состав учебной программы средней школы и первых курсов ВУЗов.

Универсальный математический решатель (UMS) представляет собой компьютерную систему, снабженную функциональным программным обеспечением и включает в себя техническое средство хранения данных, техническое средство для отображения данных, техническое средство для обработки данных, выполненное с возможностью осуществления преобразований исходного уравнения для его решения, техническое средство для ввода данных в решатель и техническое средство для управления работой решателя.

Универсальный математический решатель (UMS) предназначен для решения заданий из учебной программы средней школы и первых курсов ВУЗов. При этом Универсальный математический решатель (UMS) позволяет получить объяснение решения задачи, в том числе в режиме «решение по шагам» или вывести сразу всю последовательность решения.

Однако Универсальный математический решатель (UMS) ограничен заданным набором известных правил для решения типовых уравнений. Не известно о реализации в нем функций для вычисления числовых рядов, что не позволяет признать его эффективным инструментом для развития математического мышления по авторской методике решения алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием.

Предлагаемый способ обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений путем их численного моделирования на основе единого решателя, включающего в себя вычислитель числовых рядов, основан на оригинальной авторской методике профессора К.Н.Шихаева, причем алгоритм и математические формулы решателя и входящего в его состав вычислителя числовых рядов ранее не известны. Также из уровня техники не известны обучающие системы, предназначенные для осуществления способа обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений путем их численного моделирования. Таким образом, не известны средства того же назначения, которые могли бы быть указаны в качестве аналогов способа обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе единого решателя и обучающей системы для численного моделирования алгебраических и неопределенных уравнений.

Задачей изобретения является достижение более полного раскрытия творческих способностей обучаемого человека, а следовательно, повышение качества обучения. Также задачей изобретения является создание такой обучающей системы, где новые методы решения различных уравнений, в том числе ранее не изучаемых в школьных и университетских курсах, дополняются программно-техническими средствами, в частности аппаратным вычислителем, специально предназначенным для оказания помощи учащимся при их работе с числовыми рядами, что избавляет их от достаточно объемных вычислительных операций.

Обеспечиваемый изобретением технический результат как в части способа обучения, так и обучающей системы, заключается в снижении вычислительной нагрузки на обучаемого, благодаря автоматизации обучающей системой операций вычисления числовых рядов, активно используемых в авторской методике решения алгебраических и неопределенных уравнений.

Обеспечиваемый изобретением технический результат в части способа обучения заключается также в увеличении степени взаимодействия обучаемого с обучающей системой и преподавателем, что объективно проявляется в усилении интерактивной обратной связи между обучаемым и средством обучения - обучающей системой, что ведет к развитию требуемых навыков обучаемого, усилению закрепления получаемых навыков, повышению мотивации обучаемого.

Технический результат в части обучающей системы заключается, кроме того, в расширении функциональных возможностей данной обучающей системы, что позволяет снизить трудоемкость отдельных операций при решении сложных алгебраических и неопределенных уравнений, ранее не решаемых без использования приближенных или оценочных вычислений, то есть способной применяться при обучении решению более сложных уравнений без увеличения вычислительной нагрузки на обучаемого.

Для достижения указанных технических результатов существенным является применение в учебном процессе обучающей системы, благодаря техническим средствам которой, а также математическому и алгоритмическому обеспечению, удается избавить учащихся от выполнения операций характеризующихся высокой вычислительной нагрузкой.

Введение в процесс обучения действий по выражению исходного уравнения адекватной ему численной моделью, позволяет вводить в состав исходного уравнения специальные числовые ряды, что в свою очередь обеспечивает элементарность получения его решений с использованием обучающей системы. Следует особо отметить, что при этом исходные уравнения не приводятся к более простым уравнениям пониженной степени.

При этом обучающая система помогает обучаемому выбрать вариант численной модели исходного уравнения и правила определения параметров - коэффициентов уравнений, образующих численные модели, то есть чисел из числовых рядов согласно установленным режимам работы вычислителя числовых рядов, что позволяет обучаемому оценивать целесообразность дальнейших действий и вносить в них корректировку для успешного завершения каждого из этапов моделирования, включая полное решение исходного уравнения. Так реализуется интерактивная обратная связь между обучаемым и обучающей системой в процессе моделирования исходного уравнения.

Указанные технические результаты достигаются благодаря тому, что в способе обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием обучение проводят с использованием обучающей системы с вычислителем числовых рядов, содержащим процессор с первым накапливающим сумматором и вторым накапливающим сумматором, связанными последовательно, причем процессор выполнен с возможностью формирования своего выходного кода из выходного кода первого накапливающего сумматора и/или выходного кода второго накапливающего сумматора. Обучение включает действия, характеризующиеся тем, при помощи обучающей системы обучаемому объясняют и/или контролируют и/или осуществляют вместо обучаемого одно или более действий обучаемого при решении исходного уравнения. Причем действия обучаемого включают в себя выбор численной модели для исходного уравнения, запись исходного уравнения в форме выбранной численной модели, подбор коэффициентов численной модели для исходного уравнения, записанного в форме выбранной численной модели, составление на основе ранее записанного исходного уравнения в форме выбранной численной модели и полученных коэффициентов данной численной модели нового численного уравнения, являющегося упрощенным для решения по сравнению с исходным уравнением. Новое численное уравнение характеризуется тем, что его решения также являются решениями исходного уравнения. При этом обучающая система выполнена с возможностью осуществления указанных действий.

Кроме того, указанные технические результаты достигаются благодаря тому, что обучающая система для численного моделирования алгебраических или неопределенных уравнений содержит техническое средство для управления работой обучающей системы, техническое средство для обработки данных, вычислитель числовых рядов, запоминающее устройство для хранения данных, техническое средство для отображения данных и техническое средство для ввода данных в обучающую систему. Причем техническое средство для обработки данных, вычислитель числовых рядов и запоминающее устройство для хранения данных связаны своими входами-выходами с соответствующими входами-выходами технического средства для управления работой обучающей системы, выход технического средства для ввода данных в обучающую систему связан с соответствующим входом технического средства для управления работой обучающей системы, вход технического средства для отображения данных связан с соответствующим выходом технического средства для управления работой обучающей системы. При этом техническое средство для обработки данных выполнено с возможностью выбора численной модели для исходного уравнения, записи исходного уравнения в форме выбранной численной модели, подбора коэффициентов численной модели для исходного уравнения, записанного в форме выбранной численной модели, составления на основе ранее записанного исходного уравнения в форме выбранной численной модели и полученных коэффициентов данной численной модели нового численного уравнения, являющегося упрощенным для решения по сравнению с исходным уравнением, и характеризующегося тем, что решения полученного нового уравнения также являются решениями исходного уравнения, и решения упрощенного уравнения. Техническое средство для управления работой обучающей системы выполнено с возможностью формирования заданий для технического средства обработки данных и вычислителя числовых рядов, контроля правильности действий обучаемого, и с возможностью сообщения обучаемому результата выполнения одного или более указанных ранее действий через техническое средство для отображения данных. При этом вычислитель числовых рядов обучающей системы содержит устройство для управления работой вычислителя, процессор, предназначенный для работы с числовыми рядами, запоминающее устройство для хранения числовых рядов, и устройство ввода-вывода данных, связанные своими входами-выходами с возможностью обмена данными. При этом процессор содержит первый накапливающий сумматор и второй накапливающий сумматор, связанные последовательно, причем данный процессор выполнен с возможностью формирования выходного кода процессора из выходного кода первого накапливающего сумматора и/или выходного кода второго накапливающего сумматора.

Изобретение поясняется следующими фигурами:

1) фиг.1 - структурная схема обучающей системы;

2) фиг.2 - структурная схема вычислителя числовых рядов;

3) фиг.3 - обобщенный алгоритм решения алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием на основе единого решателя.

Изобретение в части способа обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием представляет собой процесс осуществления действий в виде выдачи учебных заданий с контролем правильности ответов и/или этапов решения уравнения над материальным объектом - обучаемым человеком с помощью материальных средств, представляющих собой обучающую систему с вычислителем числовых рядов, и осуществляется следующим образом.

Предварительно подготавливают обучающую систему к работе, вводя в ее запоминающее устройство для хранения данных ряд уравнений, подлежащих решению. Перед началом первого занятия обучаемому объясняют порядок работы с обучающей системой и принципы ее функционирования. Подав управляющий сигнал, соответствующий команде начать работу, обучаемый переводит обучающую систему в рабочий режим и начинает выполнять заданные упражнения.

На техническом средстве для отображения данных, например - школьном компьютере, обучающая система выводит исходное уравнение в символьном виде, пригодном для восприятия обучаемым, то есть аналогичном тому, как уравнения представляют в обычных учебных пособиях.

Для решения исходного уравнения осуществляют с использованием обучающей системы:

1) выбор численной модели для исходного уравнения;

2) запись исходного уравнения в форме выбранной численной модели;

3) подбор коэффициентов численной модели для исходного уравнения, записанного в форме выбранной численной модели;

4) составление на основе ранее записанного исходного уравнения в форме выбранной численной модели и полученных коэффициентов данной численной модели нового численного уравнения, являющегося упрощенным для решения по сравнению с исходным уравнением, и характеризующегося тем, что решения полученного нового численного уравнения также являются решениями исходного уравнения;

5) элементарное решение нового уравнения.

Перечисленные действия соответствуют представленному на фиг.3 обобщенному алгоритму численного моделирования и решения алгебраических и неопределенных уравнений.

При этом возможны следующие режимы работы обучающей системы:

- режим объяснения действия или ряда действий обучаемого;

- режим контроля действия или ряда действий обучаемого;

- режим осуществления действия или ряда действий вместо обучаемого.

В режиме объяснения действия или ряда действий обучающая система позволяет продемонстрировать шаг за шагом обучаемому решение исходного уравнения, а в режиме контроля обучающая система позволяет проверить правильность действий обучаемого при решении исходного уравнения.

Обучаемый имеет возможность оценивать правильность своих действий при подборе параметров модели исходного уравнения и вносить в них необходимые поправки, возвращаясь на предыдущий этап решения. Таким образом реализуется интерактивная обратная связь между обучаемым и обучающей системой. Благодаря режиму осуществления действия или ряда действий вместо обучаемого, то есть режиму оказания помощи обучаемому, обучающая система позволяет снизить трудоемкость отдельных операций при решении сложных алгебраических и неопределенных уравнений.

Изобретение в части обучающей системы для моделирования алгебраических или неопределенных уравнений осуществляется следующим образом.

Обучающая система для моделирования алгебраических или неопределенных уравнений содержит техническое средство для управления работой системы, техническое средство для обработки данных, вычислитель числовых рядов, запоминающее устройство для хранения данных, техническое средство для отображения данных и техническое средство для ввода данных в систему. Частный случай выполнения обучающей системы показан на фиг.1. При этом техническое средство для управления работой системы показано как блок управления 1, техническое средство для обработки данных как блок обработки данных 2, запоминающее устройство для хранения данных как запоминающее устройство 3, техническое средство для ввода данных в обучающую систему как блок ввода данных 5, техническое средство для отображения данных как блок вывода данных 6. Представленная на фиг.1 обучающая система содержит вычислитель числовых рядов 4.

Блок управления 1, вычислитель числовых рядов 4, блок обработки данных 2 и запоминающее устройство 3 связаны своими входами-выходами для обмена управляющими и информационными сигналами. Вход блока управления 1 связан с выходом блока ввода данных 5, а выход связан с входом блока вывода данных 6 для передачи управляющих и информационных сигналов.

Обучающая система работает следующим образом.

Блок управления 1 обучающей системы записывает через блок 5 ввода данных исходное уравнение в запоминающее устройство 3 и передает данные, характеризующие исходное уравнение, в блок обработки данных 2. Одновременно с этим блок управления 1 отображает исходное уравнение на блоке вывода данных 6 для обучаемого в символьном виде и предлагает решить уравнение целиком или выполнить заданный этап процесса решения, формируя сообщение об этом на указанном блоке вывода данных. При этом блок управления 1 передает в вычислитель числовых рядов 4 задание на вычисление числового ряда, соответствующего выбранной модели исходного уравнения. Блок обработки данных 2 реализует алгоритм, представленный на фиг.3. При этом блок управления 1 записывает найденные коэффициенты численной модели в соответствующую область памяти запоминающего устройства 3. Обучаемый посредством блока ввода данных 5 вводит результаты решения уравнения или отдельного этапа/этапов процесса решения. Блок обработки данных 2 также выполнен с возможностью сравнения данных, полученных обучающей системой, с данными полученными обучаемым. Если данные введенные обучаемым признаны в блоке обработки данных 2 неудовлетворительными, то блок управления 1 формирует сообщение для обучаемого с предложением пройти предыдущий этап снова, о чем выводится сообщение на блок вывода данных 6. Аналогично реализуются режимы, когда обучаемому демонстрируется решение исходного уравнения в пошаговом режиме, или какое-либо действие осуществляется вместо обучаемого в целях облегчения рутинных вычислений.

Вычислитель 4 числовых рядов введен в состав обучающей системы из-за того, что основная нагрузка на учащихся при решении алгебраических уравнений повышенной сложности численным моделированием заключается в выборе (моделировании) коэффициентов уравнений, образующих модели исходного уравнения.

Согласно структурной схеме, представленной на фиг.2, вычислитель числовых рядов содержит устройство 7 для управления работой вычислителя, процессор 8, специально предназначенный для работы с числовыми рядами, запоминающее устройство 9 для хранения числовых рядов, устройство 10 для ввода-вывода данных, связанные своими входами-выходами через общую шину, выполненную с возможностью передачи, в частности, сигналов управления и данных. При этом процессор 8 содержит первый накапливающий сумматор 11 и второй накапливающий сумматор 12, связанные между собой последовательно. Причем процессор 8 выполнен с возможностью формирования своего выходного кода из выходного кода первого накапливающего сумматора 11 и/или выходного кода второго накапливающего сумматора 12.

Вычислитель 4 числовых рядов работает следующим образом.

Из обучающей системы, через блок 1 управления, или с устройства непосредственного ввода данных обучаемым, например клавиатуры, данные поступают в процессор 8 для работы с числовыми рядами через устройство ввода-вывода данных 10 и общую шину данных.

При этом на вход первого накапливающего сумматора 11 поступает входной код, соответствующий последовательности целых чисел 0, 1, 2, 3… При этом первый накапливающий сумматор 11 выполнен с возможностью формирования ряда чисел (первый числовой ряд), каждое из которых равно сумме предыдущего числа в данном ряду и числа, соответствующего порядковому номеру текущего входного кода. Выходной код первого накапливающего сумматора 11 поступает на общую шину данных и на вход второго накапливающего сумматора 12. Второй накапливающий сумматор 12 в свою очередь выполнен с возможностью формирования ряда чисел (второй числовой ряд), каждое из которых равно сумме предыдущего числа в данном ряду и числа, соответствующего текущему значению числа первого числового ряда. Выходной код второго накапливающего сумматора 12 поступает на общую шину данных.

Посредством устройства 7 для управления работой вычислителя 4 первый и второй числовые ряды могут быть записаны в запоминающем устройстве 9 и через устройство 10 ввода-вывода данных переданы в обучающую систему или на устройство отображения данных вычислителя числовых рядов, при его выполнении как персональное портативное устройство.

Относительно математического обеспечения единого решателя Шихаева следует привести следующие сведения.

Единый решатель построен на двух оригинальных тождествах, полученных профессором К.Н.Шихаевым и обоснованных необходимыми доказательствами:

Тождества

А: .

Б: ,

где х - любое целое число, a k - любое целое положительное число.

Единый решатель алгебраических и неопределенных уравнений включает в себя следующие математические формулы, модели и технические средства:

1. Модель квадратур

, или , где k - любое целое, положительное число.

При k=1 и k=2: (x^k)²=x^2k, а во всех остальных случаях: (x^k)³≠(x³)^k.

Числа L_2i есть члены числового ряда квадратур:

Числовой ряд квадратур получен на основе формулы перестановок при n=2.

Числовой ряд (3) и его предел x₀ справедливы при их делении на числа 10, 100, …

2. Модель кубатур

где k - любое целое положительное число.

Это обозначение более предпочтительно, при объяснении сути модели кубатур.

Следует отметить, что любой член числового ряда кубатур L_3i есть сумма членов числового ряда L_2i:

.

При k=1 и k=3: (x^k)³=x^k3, а во всех остальных случаях .

Это важное свойство дает возможность выражать числа L₃ через числа L₂ в процессе их моделирования.

Сокращенное обозначение численной модели кубатур (4) предложено выражать следующим образом:

Обозначение (7) принято вследствие того, что выражение (4) (при всей его ясности), является слишком громоздким, а выражение (7) является наиболее удобным для использования модели кубатур в преобразованиях уравнений.

3. Технические средства единого решателя включают Таблицу 1, которая содержит числовые ряды L₂ и L₃ в зависимости от предела их сумм x₀, а также дает возможность извлекать предел x₀ из любого числа, что позволяет отнести испытуемые числа к числовым рядам квадратур или кубатур. Это в свою очередь позволяет определять погрешность отклонения испытуемых чисел от чисел L₂ и L₃, на основе чего учащийся принимает решение об их пригодности или непригодности к сравнению с численными уравнениями квадратур или кубатур.

Таблица для работы с числовыми рядами является персональным средством учащихся. Она обеспечивает решение большинства обычных уравнений школьного курса.

Таблица 1
х0	L2	L3
0	0	0
1	1	1
2	3	4
3	6	10
4	10	20
5	15	35
6	21	56
7	28	84
8	36	120
9	45	165
10	55	220
11	66	286
12	78	364
13	91	455
14	105	560
15	120	680
16	136	816
17	153	969
18	171	1140
19	190	1330
20	210	1540
…	…	…
(x0)i	(L2)i-1+(x0)i	(L3)i-1+(L2)i

Числа L₂, L₃ и x₀ справедливы, как при целых значениях, так и при их делении на числа 10, 100, …

Для того чтобы получить число L₂=13,5 и число x₀=-1,6, необходимо поставить запятые в числах L₂=136 и x₀=16 и т.д.

Это правило аналогично и для числового ряда L₃.

В технические средства единого решателя также входит упомянутый ранее вычислитель числовых рядов, обеспечивающий работу учащихся с числовыми рядами.

Основная нагрузка на учащихся при решении алгебраических и неопределенных уравнений повышенной сложности численным моделированием, заключается в выборе (моделировании) чисел L₂ и L₃, которые удовлетворят численным уравнениям квадратур и кубатур. Для того чтобы снять с учащихся нагрузку по вычислительным операциям с числовыми рядами предусмотрен вычислитель, специализированный для работы с числовыми рядами, в том числе для вычисления чисел L₂, L₃ а также для извлечения предела сумм x₀ из чисел L₂ и L₃, а также из других чисел.

Выдаваемые вычислителем числовых рядов данные обеспечивают решение сложных алгебраических и неопределенных уравнений. Для обычных уравнений школьного курса, как правило, достаточно Таблицы 1, размерностью до x₀=50, которая выдается указанным вычислителем для каждого обучаемого.

Процессор 8 для работы с числовыми рядами включает в свой состав два сумматора (см. фиг.2): сумматор 11 чисел L₂, на вход которого устройство 7 управления задает число от нуля до x₀, где получаются числа L₂, соответствующие числу x₀, a его выход включен на вход второго сумматора 12, где получаются числа ряда L₃, как сумма чисел ряда L₂, заданные от нуля до x₀ согласно запросам поступающим с блока управления. Результаты выполнения запроса на получения чисел L₂, L₃, их рядов и различных комбинаций, получаемых по стандартным запросам с клавиатуры блока управления 7, передаются в запоминающее устройство 9.

На табло устройства отображения данных выводятся результаты выполнения стандартных операций, выполняемых по запросам обучаемых.

Запоминающее устройство вычислителя числовых рядов имеет объем, необходимый для выполнения стандартных операций с числовыми рядами и служебных программ.

Устройство сопряжения вычислителя числовых рядов с устройствами обучающей системы реализует обмен данными внутри обучающей системы и с компьютером класса.

Единый решатель алгебраических и неопределенных уравнений может использоваться в нескольких вариантах.

1) Как одно из устройств нашей системы обучения решению алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием.

"Наставник" или другой), принятой в данном учебном заведении.

3) Как автономное устройство, с выходом на школьный компьютер.

Вычислитель числовых рядов имеет фиксированные режимы работы.

1) Выдача таблицы числовых рядов квадратур и кубатур согласно запросу: «таблица до x₀».

2) Выдача «кадра» из нескольких строк таблицы числовых рядов согласно запросу: (x_0i÷x_0j(L₂)) или (x_0i÷x_0j(L₃)).

3) Получение членов числового ряда квадратур или числового ряда кубатур согласно запросу: «x₀-L₂» или «x₀-L₃».

4) Получение числа x₀ согласно запросу: (L₂-x₀) или (L₃-x₀).

5) Извлечение числа x₀ из заданного числа с целью определения степени его приближения к числу L₂ или к числу L₃ согласно запросу: (число а÷х₀(L₂)) или (число а÷х₀(L₃)), когда неизвестна принадлежность числа x₀ к ряду квадратур или ряду кубатур.

Таким образом, выдаваемые вычислителем числовых рядов данные обеспечивают решение сложных алгебраических и неопределенных уравнений.

На основе аппарата единого решателя (выражения (1)-(7), Таблица 1 и вычислитель числовых рядов) получают численные уравнения квадратур и кубатур, которые обеспечивают элементарное решение исходного уравнения.

Выражения (x^k)² и x^k; (x^k)³ и x^k, а также числа L₂, L₃ и x₀ единого решателя, обеспечивают преобразование исходного уравнения, записанного в виде модели квадратур или модели кубатур, в новое численное уравнение квадратур или численное уравнение кубатур.

Разнообразие выражений (x^k)²±x^k и (x^k)³-x^k с учетом того, что заданное алгебраическое уравнение всегда можно умножить на число x и ввести в него дополнительный член ±x, не нарушая его адекватности заданному уравнению, является достаточным, для того чтобы осуществить преобразование любого заданного уравнения к виду

или к виду

Выражения (8) и (9) раскрывают основную идею метода численного моделирования различных алгебраических и неопределенных уравнений. Запишем их более компактно:

Главными правилами решения алгебраических и неопределенных уравнений численным моделированием являются следующие положения.

Если в численном уравнении квадратур или кубатур (10) или (11) (решение которого значительно упрощено по сравнению с заданным) взять числа x_i=1, 2, 3, …, в результате которых численное уравнение примет числовые значения a, b, c, d, …, то те числа x_i, которые дадут те из чисел a, b, c, d, …, которые входят в числовые ряды квадратур L₂ или в числовые ряды кубатур L₃ являются решениями заданного уравнения. Это правило (12).

Правило (12) не распространяется на неопределенные уравнения, поскольку они имеют множество решений.

Основным правилом определения (моделирования) чисел L₂ и L₃ является раскрытие неопределенности, которая имеет место, вследствие зависимости чисел L₂ и L₃ от переменной x и наоборот. Это правило (13). Для раскрытия данной неопределенности имеется ряд рабочих правил, основные из которых следующие:

1) правила, следующие из смысла главного правила 12, когда числа L₂ и L₃, вытекают из численных уравнений квадратур или кубатур, при изменении переменной x;

2) рекомендуется принимать числа L₂ и L₃ равными свободному члену заданного уравнения, если его число входит в состав чисел рядов квадратур или кубатур;

3) приведение свободного члена численных уравнений квадратур и кубатур к числам из рядов квадратур и кубатур умножением его на любое рациональное число L₁.

Эти правила при некотором навыке учащихся элементарно справляются с решением уравнений, что показано в приводимых примерах.

На основе полученных значений чисел L₂ и L₃ (кроме ранее приведенных численных уравнений квадратур и кубатур (10) и (11)) получаем другие численные уравнения квадратур и кубатур:

,

,

На основании численных уравнений (14), (15) и (16) получаем уравнения пределов сумм этих уравнений, приводящие к элементарным решениям заданного уравнения, или являющиеся его решениями.

Для того чтобы обосновать справедливость всех формул и правил, приведенных в выражениях (1)-(16) необходимо доказать справедливость только двух тождеств, на основе которых получены все остальные формулы, выражения и правила:

1. Условное тождество квадратур

, .

Тождества (А) получены следующим образом:

Из классики теории конечных разностей известно, что первая разность есть сумма вторых разностей, взятых при определенных шагах разности h.

Используя вышеприведенное пол