Способ прогнозирования изменения свойств призабойной зоны пласта под воздействием бурового раствора

Способ прогнозирования изменения свойств призабойной зоны пласта под воздействием бурового раствора

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к способам прогнозирования изменения характеристик призабойной зоны нефте/газосодержащего пласта под воздействием проникающего бурового раствора (или промывочных жидкостей) в ходе бурения, заканчивания и очистки скважин.

Буровые растворы представляют собой сложные смеси глины, твердых частиц (размером от менее одного микрона до нескольких миллиметров) и органических добавок (полимеров, крахмала, ПАВ и т.п.), содержащихся в "несущей" жидкости - "основе" бурового раствора, в качестве которой может выступать вода, нефть, дизель или какая-либо синтетическая жидкость.

При бурении и заканчивании скважин на репрессии компоненты бурового раствора проникают в пласт и вызывают изменение его фильтрационно-емкостных свойств, формируется сложная структура призабойной зоны пласта. Обычно выделяется внешняя фильтрационная корка (образующаяся на стенке скважины и состоящая из отфильтрованных твердых частиц и глины бурового раствора), внутренняя фильтрационная корка (формируемая частицами бурового раствора, проникающими в пластовые породы) и зона проникновения фильтрата бурового раствора.

В ходе технологической процедуры очистки скважины (путем постепенного ее вывода на добычу) компоненты бурового раствора частично вымываются из околоскважинной зоны. Тем не менее часть компонентов остается удержанной в поровом пространстве породы коллектора, что вызывает ухудшения характеристик призабойной зоны, прежде всего, снижение проницаемости. Как результат, снижается продуктивность скважины. Для характеризации этого явления обычно используется термин "повреждение призабойной зоны пласта" или кратко "повреждение пласта".

В большей части математических моделей, используемых для описания процесса проникновения бурового раствора, учитывается только образование/удаление внешней фильтрационной корки и проникновение фильтрата бурового раствора (вода/нефть/дизель) в пластовые породы - считается, что частицы бурового раствора в пластовые породы не проникают.

Исторически численное моделирование динамики проникновения фильтрата бурового раствора впервые стало использоваться в методиках оценки свойств пласта путем сравнения рассчитанного и реального радиального распределения электросопротивления по данным многозондового индукционного каротажа, а позднее - по результатам одновременной инверсии такого каротажа в сочетании с динамикой давления, зарегистрированной в ходе отбора глубинных проб из скважины. Возможное изменение проницаемости и иных свойств призабойной зоны пласта под воздействием проникших компонент бурового раствора в таких методиках учитывается лишь как дополнительное гидравлическое сопротивление (связанное с образованием внутренней и остатками внешней фильтрационной корки).

Более детальный учет механизмов изменения свойств призабойной зоны пласта под воздействием проникших компонент бурового раствора содержится, например, в патенте US 7099811. Описанный в данном патенте способ базируется на лабораторных фильтрационных экспериментах с длинными образцами керна (40 см), включающих закачку бурового раствора в керн и последующую закачку пластовой жидкости с противоположного конца керна с целью моделирования процесса очистки. Профили поврежденной и восстановленной проницаемости вдоль образца керна, полученные в ходе лабораторных фильтрационных экспериментов, используются в качестве входных параметров для гидродинамического симулятора, который учитывает распределение проницаемости в призабойной зоне, используя цилиндрическую сетку с очень мелкими ячейками (порядка нескольких миллиметров) вокруг скважины. Динамика изменения проницаемости моделируется как функция суммарного расхода жидкостей через образец керна. Недостатком данного подхода является необходимость проведения отдельного, достаточно длительного, лабораторного эксперимента для анализа даже относительно небольшой вариации концентрации компонент бурового раствора, фильтрационных свойств образца или перепада давления при бурении/очистки скважины. Тем самым для выбора оптимального состава бурового раствора, а также выбора и прогноза режима бурения/очистки скважины требуется выполнить большое число лабораторных экспериментов, особенно если речь идет о бурении скважины в сложном многопластовом месторождении.

Предлагаемый способ обеспечивает возможность прогнозирования изменения свойств призабойной зоны пласта, таких как проницаемость и насыщенность, в ходе бурения/очистки скважины, возникающего из-за проникновения/удаления компонент бурового раствора. Указанный технический результат обеспечивается за счет комбинирования математического моделирования и лабораторных фильтрационных экспериментов и использования рентгеновской компьютерной микротомографии для получения кривых концентрации проникших твердых частиц бурового раствора, что накладывает дополнительное ограничение при решении обратной задачи определения параметров модели.

Предлагаемый способ осуществляется следующим образом.

Определяют реологические свойства бурового раствора, фильтрата бурового раствора и пластового флюида. Измеряют свойства внешней фильтрационной корки, а также пористость и проницаемость образца керна. Создают математическую модель внешней фильтрационной корки для описания роста внешней фильтрационной корки и просачивания через нее фильтрата бурового раствора.

Прокачивают буровой раствор через образец керна и регистрируют динамику перепада давления на образце и расхода истекающей из образца жидкости. Дополнительно может быть зарегистрирована динамика профиля насыщенности фильтрата бурового раствора посредством, например, измерений электросопротивления по длине образца в процессе прокачки бурового раствора.

Осуществляют рентгеновскую компьютерную микротомографию образца керна и на основе анализа полученных данных микротомографии определяют профиль концентрации проникших в образец твердых частиц бурового раствора. Создают математическую модель внутренней фильтрационной корки для описания динамики изменения концентрации частиц бурового раствора в поровом пространстве образца керна и сопутствующего изменения проницаемости образца керна.

Создают сцепленную математическую модель внешней и внутренней фильтрационных корок, включающую модель внешней фильтрационной корки и модель внутренней фильтрационной корки. Используя созданную сцепленную математическую модель внешней и внутренней фильтрационных корок, а также измеренные ранее свойства внешней фильтрационной корки, определяют параметры математической модели внутренней фильтрационной корки для описания динамики изменения концентрации частиц бурового раствора в поровом пространстве образца керна, при которых одновременно воспроизводятся данные эксперимента по прокачке бурового раствора через образец керна (динамика перепада давления на образце, расход истекающей из образца жидкости и, дополнительно, профиль насыщенности фильтрата бурового раствора) и профиль концентрации проникших частиц бурового раствора. Используют полученные параметры математической модели внешней фильтрационной корки и математической модели внутренней фильтрационной корки для прогнозирования изменения свойств призабойной зоны пласта под воздействием проникших компонент бурового раствора.

Определяемыми параметрами математической модели внутренней фильтрационной корки для описания динамики изменения концентрации частиц бурового раствора в поровом пространстве образца керна являются показатель, определяющий интенсивность снижения проницаемости породы с ростом доли удержанных в поровом пространстве частиц бурового раствора, коэффициент захвата частиц i-го типа, коэффициент мобилизации частиц i-го типа, критическая скорость мобилизации частиц i-го типа, эмпирический коэффициент, зависящий от структуры порового пространства и механизма захвата частиц в порах.

Прокачка бурового раствора через образец керна может осуществляться с циркуляцией раствора по касательной к входному торцу образца керна.

Дополнительно для моделирования процесса удаления ("отмыва") компонент бурового раствора через образец керна может быть осуществлена прокачка пластовой жидкости, при этом закачка пластовой жидкости осуществляется с торца, противоположного торцу, с которого осуществлялась закачка бурового раствора ("обратная закачка").

Предпочтительно, перед прокачкой бурового раствора через образец керна осуществляют предварительную рентгеновскою компьютерную микротомографию этого образца.

Если компоненты бурового раствора, влияющие на фильтрационные свойства керна, имеют слабый рентгеновский контраст (например, глина), в раствор добавляют контрастный агент.

Если размеры образца керна не позволяют провести рентгеновскую компьютерную микротомографию с требуемым разрешением, из образца высверливают образец малого размера, например цилиндр, и осуществляют микротомографию этого малого образца.

Используя описанную выше последовательность действий, могут быть получены параметры математических моделей внешней и внутренней фильтрационных корок для различных типов буровых растворов и образцов кернов различных литотипов, что позволяет построить зависимости параметров моделей от свойств образцов кернов и буровых растворов. Полученные зависимости используют для моделирования динамики проникновения или удаления компонентов различных буровых растворов в призабойной зоне и прогнозирования сопутствующего изменения свойств призабойной зоны в предполагаемых условиях бурения/очистки. Свойствами кернов являются проницаемость, характерный размер пор, смачиваемость.

Изобретение поясняется чертежами, где на фиг.1 показаны внешняя и внутренняя фильтрационные корки, на фиг.2 показана качественная схема типичного эксперимента по исследованию свойств внешней фильтрационной корки путем продавливания бурового раствора через фильтровальную бумагу или керамический диск, на фиг.3 приведен пример изменения проницаемости в ходе лабораторного фильтрационного эксперимента с глинистым буровым раствором и образцом керна, на графике обозначены типичные стадии процесса, на фиг.4 показаны примеры высверленного мини-цилиндра малого размера для проведения рентгеновской компьютерной микротомографии, на фиг.5 изображен поперечный разрез керна на рентгеновской микрокомпьютерной томографии, содержащий глинистые частицы бурового раствора, модифицированные добавлением специального контрастного элемента, на фиг.6 показан пример реконструированного профиля концентрации проникших частиц бурового раствора вдоль образца керна, на фиг.7 показаны регионы пространственной сетки в околоскважинной зоне пласта для моделирования проникновения в пласт компонентов бурового раствора, на фиг.8 показана рассчитанная динамика потерь бурового раствора в ходе бурения, а также рассчитанные профили распределения фильтрата бурового раствора и поврежденной проницаемости (в данном случае проведена нормировка на начальную проницамость) в призабойной зоне пласта после 4-х часов бурения.

Изобретение осуществляется следующим образом. В соответствии с заданной рецептурой подготавливают буровой раствор и берут образец керна. Рецептура любого бурового раствора включает в себя концентрацию и тип твердой фазы (глина, частицы), используемой для изготовления бурового раствора. Как показано на фиг.1, компоненты бурового раствора проникают в направлении от контакта со скважиной 3 в пласт 4 и вызывают изменение его фильтрационно-емкостных свойств, формируется сложная структура призабойной зоны пласта. Обычно выделяется внешняя фильтрационная корка 1 (образующаяся на стенке скважины 3 и состоящая из отфильтрованных твердых частиц и глины бурового раствора), внутренняя фильтрационная корка 2 (формируемая частицами бурового раствора, проникающими в пластовые породы) и зона проникновения фильтрата бурового раствора.

Определяют реологические свойства бурового раствора, фильтрата бурового раствора и пластового флюида согласно, например, РД 39-2-645-81 "Методика контроля параметров буровых растворов" и ГОСТ 33-2000 "Нефтепродукты. Прозрачные и непрозрачные жидкости. Определение кинематической вязкости и расчет динамической вязкости".

Проводят эксперимент по определению показателя фильтрации бурового раствора согласно РД 39-2-645-81 "Методика контроля параметров буровых растворов" или с помощью иных методик с фильтр-прессом по продавливанию бурового раствора через фильтровальную бумагу или керамический диск (см., например, Dewan J.T., Chenevert М.Е. A model for filtration of Water-base Mud During Drilling: Determination of Mudcake Parameters, Petrophysics, 2001, V. 42, №3, pp.237-250). В ходе данного эксперимента твердая фаза бурого раствора отфильтровывается на поверхности фильтровальной бумаги (или керамического диска в зависимости от типа эксперимента), образуя малопроницаемую фильтрационную корку - аналог внешней фильтрационной корки, формирующейся на стенке скважины в ходе бурения.

На фиг.2 приведена качественная схема типичного эксперимента по исследованию свойств внешней фильтрационной корки путем продавливания бурового раствора 5 с помощью пресса 6 через фильтровальную бумагу (или керамический диск) 7, в ходе чего формируется слой отфильтровавшейся твердой фазы (внешняя фильтрационная корка) 8 толщины h_mc, а фильтрат бурового раствора 9 собирается в специальном мерном стакане.

Создают математическую модель внешней фильтрационной корки для описания роста внешней фильтрационной корки и просачивания через нее фильтрата бурового раствора. Для математического моделирования используется система уравнений, основанных на балансе массы частиц и фильтрата:

d h m c d t = − C Σ u m f ( 1 − C Σ ) [ 1 − ϕ m c ( Δ p m c ) ] − f e ,     (1)

d i v   u m f = 0,     (2)

а также законе Дарси для скорости фильтрации через фильтрационную корку:

u m f = − k m c ( Δ p m c ) μ m f Δ p m c h m c ,     (3)

здесь фильтрат бурового раствора предполагается несжимаемым; t - время; параметры с нижним индексом 'mc' соответствуют внешней фильтрационной корке; h_mc - толщина внешней фильтрационной корки; f_e - скорость эрозии ("смыва") внешней фильтрационной корки из-за циркуляции бурового раствора в затрубном пространстве; u_mf - скорость фильтрации фильтрата бурового раствора через фильтрационную корку; µ_mf - вязкость фильтрата бурового раствора; Δp_mc - перепад давления на внешней фильтрационной корке; k_mc и φ_mc - проницаемость и пористость внешней фильтрационной корки соответсвенно; C_Σ - объемная концентрация твердой фазы в буровом растворе (твердая фаза в общем случае может состоять из нескольких различных компонент).

Уравнение динамики роста внешней фильтрационной корки (1) включает член, описывающий ее эрозию ("смыв") под воздействием циркуляции бурового раствора в затрубном пространстве.

Система уравнений (1) - (3) включает два замыкающих соотношения k_mc(Δp_mc) и φ_mc(Δp_mc), описывающие изменение проницаемости и пористости внешней фильтрационной корки при изменении перепада давления на ней (т.е. сжимаемость внешней фильтрационной корки). Следующая степенная зависимость подтверждена экспериментально (см., например, Dewan J.T., Chenevert М.Е. A model for filtration of Water-base Mud During Drilling: Determination of Mudcake Parameters, Petrophysics, 2001, V.42, №3, pp.237-250):

k m c = k m c 0 ( Δ p m c ) ν ,    ϕ mc = ϕ m c 0 ( Δ p m c ) δ ,     (4)

где k_mc0, φ_mc0 - опорные значения проницаемости и пористости, определяемые экспериментально при Δp_mc=1 psi; ν, δ - показатели сжимаемости, также получаемые экспериментальным путем.

Следующие свойства внешней фильтрационной корки неизвестны: проницаемость k_mc0, пористость φ_mc0, показатели сжимаемости ν и δ.

Эти свойства определяют (см., например, Dewan J.T., Chenevert М.Е. А model for filtration of Water-base Mud During Drilling: Determination of Mudcake Parameters, Petrophysics, 2001, V. 42, №3, pp.237-250) исходя из данных проведенного ранее эксперимента по продавливанию бурового раствора через фильтровальную бумагу или керамический диск.

Далее измеряют открытую пористость и абсолютную проницаемость исходного образца керна, например, согласно ГОСТ 26450.1-85 и ГОСТ 26450.2-85.

Проводят лабораторный фильтрационный эксперимент по прокачиванию бурового раствора через образец керна. В состав лабораторного оборудования для фильтрационных экспериментов с прокачиванием бурового раствора входит ячейка фильтрации (кернодержатель), а также может входить блок измерения электросопротивления в различных частях образца керна вдоль оси фильтрации. Закачка бурового раствора в образец керна может быть реализована в двух режимах: с циркуляцией раствора по касательной к входному торцу образца керна и без таковой. В целях воспроизведения динамического процесса проникновения бурового раствора проводят лабораторные эксперименты в репрезентативных скважинных условиях (температура, репрессия на пласт и скорость сдвига применительно к буровому раствору). После прокачивания бурового раствора может быть осуществлена прокачка пластовой жидкости с противоположного конца керна ("обратная закачка") с целью моделирования процесса удаления ("отмыва") компонент бурового раствора.

В зависимости от конкретной конструкции кернодержателя, в нем могут быть исследованы образцы керна диаметром от 0.8 до 5 см и длиной до 30-40 см. Например, стандартный кернодержатель предназначен для исследования образцов керна диаметром 3 см и длиной 3-6 см, однако существуют также различные модификации более длинного кернодержателя с несколькими портами (обычно, 4-5) для измерения перепада давления в различных частях керна в ходе фильтрационного эксперимента (см. например, Longeron D., Alfenore J., Salehi N., Saintpére S., 2000, Experimental approach to characterize drilling mud invasion, formation damage and cleanup efficiency in horizontal wells with openhole completions. SPE 58737).

В ходе фильтрационного эксперимента с буровым раствором регистрируют динамику перепада давления Δp(t) на образце керна и объемного расхода истекающей из керна жидкости q(t). Могут быть произведены измерения электросопротивления по длине образца, что позволяет зарегистрировать динамику профиля насыщенности фильтрата бурового раствора. На практике, как правило, используется динамика снижения / восстановления проницаемости образца керна в зависимости от объема закачанной жидкости, которая рассчитывается исходя из зарегистрированной динамики перепада давления и расхода на основе закона Дарси:

q ( t ) = − k c o r e ( t ) μ * A Δ p ( t ) L    (5)

где t - время; k_core(t) - проницаемость керна; Δp(t) - перепад давления на образце керна; q(t) - объемный расход истекающей из керна жидкости; L - длина керна; А - площадь поперечного сечения керна; µ_* - вязкость истекающай из керна жидкости (на практике при прокачивании бурового раствора эта величина предполагается равной вязкости фильтрата бурового раствора, а при обратной прокачке - вязкости закачиваемой пластовой жидкости).

Пример изменения проницаемости в ходе лабораторного фильтрационного эксперимента по прокачиванию глинистого бурового раствора через образец керна и последующей обратной прокачке пластовой жидкости с противоположного конца керна приведен на фиг.3. Буровой раствор прокачивали при фиксированном перепаде давления на режиме циркуляции раствора по касательной к входному торцу образца керна.

В ходе прокачивания бурового раствора (см. фиг.3) выделяются три стадии изменения проницаемости: быстрое падение на начальном этапе 10, обусловленное формированием внутренней фильтрационной корки, последующее более плавное снижение проницаемости 11, связанное с ростом внешней фильтрационной корки, и конечная стадия 12, когда проницаемость керна остается практически постоянной в силу стабилизации толщины внешней фильтрационной корки из-за ее эрозии под воздействием циркулирующего бурового раствора и слабого изменения параметров внутренней фильтрационной корки. В процессе обратной прокачки происходит полный или частичный срыв внешней фильтрационной корки (при превышении перепадом давления некоторой пороговой величины) и последующий отмыв части внутренней фильтрационной корки 13, благодаря чему проницаемость керна частично восстанавливается.

После лабораторного эксперимента с буровым раствором осуществляют рентгеновскую компьютерную микротомографию образца керна. Может быть проведена предварительная рентгеновская компьютерная микротомография исходного образца керна, до воздействия на него бурового раствора - это позволяет улучшить процедуру анализа данных рентгеновской микрокомпьютерной томографии. Если компоненты бурового раствора, влияющие на фильтрационные свойства керна, имеют слабый рентгеновский контраст (например, глина), в раствор добавляют контрастный агент (например, согласно методике, описанной в патенте РФ №2467316).

Если размеры образца керна не позволяют провести рентгеновскую компьютерную микротомографию с требуемым разрешением, из образца высверливают образец малого размера, например цилиндр, и осуществляют микротомографию этого малого образца (см. фиг.4).

Пример поперечного разреза образца керна на рентгеновской микрокомпьютерной томографии, содержащего глинистые частицы бурового раствора, модифицированные добавлением специального контрастного элемента, показан на фиг.5.

Специальный анализ данных рентгеновской микрокомпьютерной томографии (см. например, US №20130010919) позволяет получить профиль концентрации проникших в образец твердых частиц бурового раствора, пример которого приведен на фиг.6.

Создают математическую модель внутренней фильтрационной корки для описания динамики изменения концентрации частиц бурового раствора в поровом пространстве образца керна (иными словами, модель внутренней фильтрационной корки) и сопутствующего изменения проницаемости образца керна.

Математическая модель переноса и изменения концентрации (накопления/отмыва) твердых частиц бурового раствора в пористой среде, в отличие от традиционной модели (см. например Herzig J.P., Leclerc D.M., Le Goff P., 1970, Flow of Suspensions through Porous Media - Application to Deep Filtration, Industrial and Engineering Chemistry. Vol.62. № 5), предполагающей частицы одинаковыми и описывающей процесс их захвата/мобилизации в пористой среде с помощью единственного кинетического уравнения, обобщается для описания переноса двух разных видов твердых частиц. Различие физических свойств твердых частиц (например, размера) отражено путем введения двух кинетических уравнений с существенно разными коэффициентами захвата (и мобилизации). При необходимости, добавляется третий и последующие типы частиц.

Если проницаемость пласта на границе со скважиной снижается ниже определенной критической величины, считается, что все частицы, содержащиеся в буровом растворе, осаждаются (отфильтровываются) на стенке скважины и формируют растущую со временем внешнюю фильтрационную корку.

В настоящем изобретении мы рассматриваем проблему проникновения бурового раствора при следующих допущениях: два флюида (фильтрат бурового раствора и пластовый флюид (нефть, газ или вода)); линейный закон Дарси; буровой раствор включает два типа несжимаемых частиц; скорости частиц совпадают со скоростью несущей жидкости (отсутствие проскальзывания); диффузией частиц пренебрегается; частицы могут быть либо мобильными, либо захваченными поровыми ловушками.

Прежде чем сформулировать систему уравнений, введем основные определения.

Рассмотрим некоторый представительный объем V_bulk пористой среды (образец породы).

Начальный поровый объем (до проникновения компонент бурового раствора) V p o r e 0 :

V p o r e 0 = V b u l k − V m a t r i x    (6)

где V_bulk - общий объем образца породы; V_matrix - объем твердой матрицы ("скелета") в образце породы.

Начальная пористость образца породы φ₀:

ϕ 0 = V p o r e 0 V b u l k     (7)

В ходе фильтрации бурового раствора происходит захват частиц поровыми ловушками, что приводит к снижению порового объема V p o r e r e d ( t ) :

V p o r e r e d ( t ) = V b u l k − V m a t r i x − ∑ i = 1 2 V p i t    (8)

здесь V p i t - суммарный объем захваченных частиц i-го типа (i=1, 2) в образце породы.

Отметим, что поровый объем становится зависящим от времени согласно динамике захвата частиц.

Уменьшенная ("поврежденная") пористость φ(t):

ϕ ( t ) = V p o r e r e d V t o t a l    (9)

Насыщенность S_Λ порового пространства фазой Λ

s Λ = V Λ V p o r e    (10)

где V_Λ - объем фазы Λ в образце породы.

Объемная концентрация мобильных частиц i-го типа в буровом растворе C_i:

C i = V p i m ∑ i V p i m + V m f ≡ V p i m V m u d = s p i s m u d    (11)

где V m u d = ∑ i V p i m + V m f - общий объем бурового раствора в образце породы; V_mf - объем фильтрата бурового раствора в образце породы; V p i m - суммарный объем мобильных частиц i-го типа в образце породы; s_pi - насыщенность порового пространства мобильными частицами i-го типа; S_mud - насыщенность порового пространства буровым раствором.

Объемная фракция захваченных частиц i-го типа в образце σ_i

σ i = V p i t V b u l k    (12)

где V p i t суммарный объем захваченных частиц i-го типа в объеме V_bulk.

В соответствии с определениями начальной и уменьшенной пористости (7), (9) и объемной фракцией захваченных частиц (12) получаем следующее соотношение для уменьшенной ("поврежденной") пористости:

ϕ ( σ Σ ) = ϕ 0 − σ Σ    (13)

где σ_Σ=σ₁+σ₂ - суммарная фракция захваченных частиц 1-го и 2-го типа.

Система уравнений, описывающих проникновение компонент бурового раствора в пласт, содержит уравнения массового баланса для пластовой жидкости, фильтрата бурового раствора и частиц двух типов:

∂ ∂ t [ ϕ ( σ Σ ) ρ r f s r f ] + d i ν [ ρ r f u r f ] = 0    (14)

∂ ∂ t [ ϕ ( σ Σ ) ρ m f s m f ] + d i ν [ ρ m f u m f ] = 0,    (15)

∂ ∂ t [ ϕ ( σ Σ ) s p i ] + d i ν [ C i u m u d ] = − q p t r a p p i n g i + q p m o b i l i z a t i   o n i ,   i = 1 ,2   (16)

∂ ∂ t σ i = q p t r a p p i n g i − q p m o b i l i z a t i o n i ,    i = 1 ,2   (17)

где t - время; ρ_rf - плотность пластовой жидкости; ρ_mf - плотность фильтрата бурового раствора; s_rf - насыщенность порового пространства пластовой жидкостью; s_mf - насыщенность порового пространства фильтратом бурового раствора; s_pi - насыщенность порового пространства частицами i-го типа; i - тип частицы; u_rf - скорость фильтрации пластовой жидкости; u_mf - скорость фильтрации фильтрата бурового раствора; u_mud - скорость фильтрации бурового раствора; q p t r a p p i n g i - интенсивность захвата частиц i-го типа в породе пласта; q p m o b i l i z a t i o n i - интенсивность мобилизации ("отмыва") частиц i-го типа.

Скорости фильтрации бурового раствора и пластовой жидкости определяются согласно обобщенному закону Дарси

u m u d = − k ( σ Σ ) k r , m u d ( s m u d , σ Σ ) μ m u d ∇ p m u d ;    u rf = − k ( σ Σ ) k r , r f ( s r f , σ Σ ) μ r f ∇ p r f ,   (18)

где k - проницаемость пласта; k_r,mud - относительная фазовая проницаемость бурового раствора; k_r,rf - относительная фазовая проницаемость пластовой жидкости; µ_mud - вязкость бурового раствора; µ_rf - вязкость пластовой жидкости; p_mud - давление бурового раствора; p_rf - давление пластовой жидкости; s m u d = s m f + ∑ i s p i - насыщенность порового пространства буровым раствором; C_Σ=C₁+C₂ - суммарная объемная концентрация мобильных частиц 1-го и 2-го типа в буровом растворе.

В соответствии с определением капиллярного давления р_с:

p c = p n w − p w ,    (19)

где нижний индекс "nw" соответствует несмачивающей фазе; нижний индекс "w" соответствует смачивающей фазе.

Скорость фильтрации фильтрата бурового раствора опр