Способ повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности и устройство, его реализующее

Способ повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности и устройство, его реализующее

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Предлагаемое изобретение относится к информационно-измерительным устройствам и может быть использовано в вычислительной технике, в системах управления и обработки сигналов.

Предлагаемое устройство исходит из наличия единственной дискретной реализации исследуемого процесса Y₁, Y₂, …, Y_N, где Y_k=Y(t_k), k = 1 , N ¯ .

Упрощенная математическая модель результатов измерений представляется в виде:

Y k = S k + u k ,   k = 1 , N ¯   ( 1 )

где S_k - полезная составляющая; u_k - аддитивная шумовая составляющая.

Относительно случайной составляющей будем предполагать также, что Mu_k=0, Du_k=σ² и, кроме того, ее значения в разные моменты времени некоррелированы (т.е. cov(u_k, u_s)=0, k≠s), хотя эти условия не являются существенными.

Основная решаемая задача - выделение полезной составляющей в условиях недостаточной априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции полезной составляющей.

Подобная задача может возникнуть: 1) в работе приемо-передающих устройств дальней или космической связи; 2) в радиотехнике при обработке сигналов; 3) в системах цифровой обработки изображений; 4) в метеорологии и экономике при обработке результатов измерений. В тех случаях, когда полезная составляющая S_k, k = 1 , N ¯ принадлежит к известному классу функций и определяется конечным числом параметров, используются параметрические методы оценивания (сюда входят методы регрессионного анализа, основу которых составляет классическая теория наименьших квадратов). В тех же случаях, когда отсутствует информация о функции полезной составляющей, для оценивания полезной составляющей используются непараметрические методы, такие как сглаживание.

Для практической реализации существующих параметрических и непараметрических методов обработки необходимо использовать высокопроизводительные цифровые устройства (цифровые сигнальные процессоры, программируемые логические матрицы) или гибридные процессорные схемы. В простейшем случае с помощью цифровых устройств реализуют цифровые фильтры с априорно заданными характеристиками, так как их построение является менее ресурсоемким и более простым, чем реализация алгоритма адаптивной цифровой фильтрацией, аппроксимации или интерполяции.

Известен способ скользящего среднего [Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 765 с.]. Это один из самых простых методов сглаживания результатов измерений. Для его использования достаточно одной реализации Y₁, Y₂, …, Y_N исходного процесса.

Для исходной дискретной реализации результатов измерений определяется интервал сглаживания m, т.е. натуральное число m<N. Способ скользящего среднего предполагает запоминание исходной дискретной реализации результатов измерений Y_k, k = 1 , N ¯ , определение длины m отрезка ряда Y_k, k = 1 , N ¯ (или ширины «скользящего окна»), для которого производится вычисление среднего арифметического, Y ¯ i = ∑ i = 1 m Y i ⋅ 1 m значений Y₁, Y₂, …, Y_m, замену центрального из значений Y₁, Y₂, …, Y_m найденным средним Y ¯ k , сдвиг «скользящего окна» на одно значение вправо (т.е. выбор вместо отрезка Y_k, Y_k+1, …, Y_k+m-1 другого отрезка Y_k+1, Y_k+2, …, Y_k+m), вычисление среднего арифметического выбранных значений реализации, и так до тех пор, пока не будет достигнут правый конец исходной дискретной реализации результатов измерений.

Ширину "окна" выбирают нечетной, т.к. сглаженное значение рассчитывается для центрального значения. Выражение для вычисления сглаженных значений исходной дискретной реализации результатов измерений записывается в виде:

S ¯ j = 1 m ∑ k = j − p j + p Y k , j≥p,

где p=(m-1)/2 (m - нечетное число).

Нередко сглаживание на основе скользящего среднего преобразует реализацию результатов измерений, так что мелкие, но важные для анализа детали полезной составляющей (волны, изгибы и т.д.) не выделяются.

Признаки устройства-аналога, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: запоминание дискретного сигнала, выделение временных отрезков, нахождение среднего арифметического значения сигнала, попавших в выделенные отрезки времени, замена исходной дискретной реализации результатов измерений сглаженными значениями.

Недостатками известного устройства являются:

- первые p и последние p значений результатов измерений не сглаживаются; этот недостаток особенно заметно сказывается в случае, когда объем реализации результатов измерений невелик или же если необходимо провести экстраполяцию за пределы рассматриваемого временного интервала;

- способ скользящего среднего вызывает автокорреляцию остатков, даже если она отсутствовала в исходной полезной составляющей (эффект Слуцкого-Юла).

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключается в следующем:

- если ширина "окна" сглаживания равна 2p+1, то первые p и последние p значений исходной реализации результатов измерений не подвергаются обработке;

- поскольку центральное значение "окна" сглаживания вычисляется как среднее арифметическое соседних, то значения оценки полезной составляющей становятся зависимыми.

Структурная схема устройства, реализующего рассмотренный способ, содержит генератор таковых импульсов, коммутатор, блок управления, первый и второй регистры, сумматор, выход которого подключен к информационному входу первого регистра, выход которого соединен с первым информационным входом коммутатора, второй вход которого является входом устройства.

Известен способ взвешенного скользящего среднего [Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов. / Под ред. В.В. Федосова. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 399 с.], который отличается от способа простого скользящего сглаживания тем, что значения исходной дискретной реализации результатов измерения, входящие в интервал сглаживания, суммируются с различными весами. Для вычисления оценки S ¯ j используется выражение:

S j ¯ = ∑ k = j − p j + p p k Y k ∑ k = j − p j + p p k ,

где веса p_k определяется с помощью метода наименьших квадратов.

Для взвешенного скользящего среднего недостатком является отсутствие возможности сглаживать значения исходной дискретной реализации результатов измерения на концах реализации. Кроме того, применение этого способа без отрицательных весов вызывает автокорреляцию остатков, т.е. имеет место эффект Слуцкого-Юла.

Известен способ наименьших квадратов и устройство для кусочно-линейной аппроксимации [Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. - 540 с., авторское свидетельство №1624479]. Для использования данного способа достаточно одной реализации Y₁, Y₂, …, Y_N исходного процесса.

Способ наименьших квадратов позволяет для результатов измерений Y₁, Y₂, …, Y_N исходного процесса получить оценку, k = 1 , N ¯ , минимизируя целевую функцию вида:

∑ k = 1 N ( Y k − S ¯ k ) 2 → min .

В случае, когда S ¯ k представляет собой полином первой степени , коэффициенты a и b можно найти, минимизируя целевую функцию вида:

Дифференцируя выражение (2) по a и b и приравнивания к нулю, получаем систему линейных уравнений:

Решением системы является:

b = ∑ k = 1 N k ⋅ Y k − 1 N ∑ k = 1 N k ⋅ ∑ k = 1 N Y k ∑ k = 1 N k 2 − 1 N ( ∑ k = 1 N k ) 2 ,

При оценке сумма квадратов отклонений значений оценки от значений реализации измерений является минимальной (2).

Признаки устройства-аналога, совпадающие с признаками заявляемого технического решения, следующие: запоминание дискретного сигнала, аппроксимация по методу наименьших квадратов, замена исходной дискретной реализации результатов измерений аппроксимированными значениями.

Недостатками известного способа являются:

- при использовании данного способа необходима априорная информация о функции полезного сигнала;

- ошибка полезной составляющей имеет вдоль реализации, в общем случае, нелинейную зависимость и достигает своих максимальных значений на границах интервала аппроксимации;

- при не полиноминальной модели оценки полезной составляющей строгое решение задачи минимизации целевой функции способа наименьших квадратов не всегда существует в силу нелинейности решаемой системы уравнений;

- ограниченность способа наименьших квадратов к распараллеливанию и построению системы многоканальной обработки.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем:

- эффективность оценки полезной составляющей зависит от объема реализации, статистических характеристик аддитивного шума и наличия априорной информации о функциональной зависимости модели полезной составляющей.

Структурная схема устройства для кусочно-линейной аппроксимации содержит группу последовательно соединенных регистров, первый и второй вычитатели, сумматор, первый и второй накапливающие сумматоры, элементы задержки, генератор тактовых импульсов, два умножителя и два делителя на постоянный коэффициент.

Наиболее близкими к изобретению являются способ выделения тренда путем размножения оценок его единственной исходной реализации (РАЗОЦ) и устройство для его осуществления (патент №2207622, МПК 7 G06F 17/18).

Рассматриваемое устройство-прототип предполагает: 1) запоминание входной реализации Y₁, Y₂, …, Y_n; 2) разбиение входной реализации на подынтервалы случайными числами, имеющими равномерный закон распределения; 3) проверку условия, что подынтервалы включают не менее L значений исходной реализации, если условие не выполняется, то заново генерируются случайные числа разбиения; 4) нахождение на каждом подынтервале входной реализации оценок коэффициентов 9 аппроксимирующего полинома a+bk+ck² с помощью метода наименьших квадратов; 5) повторение процедур, описанных в пунктах 2-4, K раз; 6) нахождение сглаживающей функции как среднего арифметического "кусочно-квадратичных" аппроксимирующих функций в каждый момент времени.

Недостатками известного устройства-прототипа являются:

- невозможность реализации известного способа РАЗОЦ в реальном масштабе времени;

- отсутствие практических рекомендаций по выбору количества интервалов разбиения и количества размножений оценок;

- большие вычислительные затраты.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем:

- для использования способа размножения необходимо запоминать всю входную реализацию.

Устройство для выделения тренда методом размножения оценок его единственной исходной реализации (РАЗОЦ) содержит блок хранения результатов измерений, коммутаторы, генератор случайных чисел, блок устранения связанных значений, блок ранжирования, регистр хранения выборки случайных чисел, блоки аппроксимации, регистры хранения оценок, арифметическое суммирующее устройство, блок хранения оценки полезной составляющей, генератор тактовых импульсов.

Предлагаемый способ исходит из наличия единственной дискретной реализации исследуемого процесса y₁, y₂, …, y_n, где y_k=y(t_k), k=1, 2, …, n, представляющего собой сумму полезного сигнала и шума, т.е. y(t)=S(t)+n(t). Априорная информация об исследуемом процессе заключается в том, что на некоторых подынтервалах Δ_j⊂[t₁, t_n] полезный сигнал достаточно точно описывается полиномом второй степени:

S_j(t)=a_j+b_jt+c_jt².

Рассматриваемый способ предполагает следующую последовательность шагов:

1) запоминание входной реализации y₁, y₂, …, y_n,

2) разбиение временного отрезка [t₁, t_n] (длительности реализации) на случайные промежутки, длины которых подчинены равномерному закону распределения;

3) проверку того, что промежутки разбиения включают не менее l значений исходной реализации;

4) нахождение для каждого промежутка разбиения оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома a+bt+ct² методом наименьших квадратов;

5) проверка оценки аппроксимирующей функции на наличие эффекта «переворачивания», при выявлении указанного эффекта вносятся коррективы в способ получения полиномиальной оценки;

6) повторение процедур, описанных в пунктах 2-4, N раз;

7) нахождение сглаживающей (аппроксимирующей) функции как среднего арифметического «кусочно-квадратичных» аппроксимирующих функций, полученных для каждого разбиения временного отрезка [t₁, t_n].

Для описания способа в качестве полезного сигнала был взят участок косинусоиды. Далее на полезный сигнал был наложен нормальный гауссовый шум с постоянной дисперсией и нулевым математическим ожиданием. В результате наложения получился сигнал, который и будем считать входной реализацией. Согласно способу выделения полезной составляющей РАЗОЦ исходную реализацию необходимо разбить на n интервалов, в каждом из которых содержится различное количество m отсчетов. Далее по методу наименьших квадратов (МНК) на каждом из участков проводится аппроксимация полиномами 2-й степени. На основании этого получаем сглаженную функцию, как среднее арифметическое «кусочно-квадратичной» аппроксимирующей функции (фиг. 1). Как можно видеть, на выделенных участках полученной оценки имеет место «переворот» аппроксимирующей функции. Данный эффект происходит при небольшом количестве отсчетов и малом соотношении сигнал-шум, его появление вносит дополнительную ошибку при выделении полезной составляющей.

Предлагаемый способ состоит как раз в том, чтобы устранить эффект «переворота» аппроксимирующей функции. Предполагается определять участок, на котором появилась ошибка аппроксимации, и заменить текущую функцию аппроксимирующей функцией того же сигнала, но из 3 четверти декартовой системы координат так, как показано на фиг. 3. Применив указанную методику, «переворот», который имел место, устраняется (фиг. 2), что приводит к повышению точности при выделении полезного сигнала. Также стоит отметить, что устранение «переворота» делает эффективность метода РАЗОЦ не зависящей от дисперсии аддитивной шумовой составляющей.

Сущность предлагаемых способа и устройства поясняется фиг. 4.

Устройство для повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности содержит буферный блок 1, вход которого является информационным входом устройства, а выход подключен к входам блоков хранения результатов измерений 2.n, к управляющим входам которых подключены выходы блоков коммутации К, к входам которых подключен выход блока разбиения 3, выходы блоков хранения результатов измерений 2.n подключены к входам блоков аппроксимации 4.n, выходы которых подключены ко входам блоков проверки на «переворот» аппроксимирующей функции 5.n, выходы которых подключены ко входам блоков устранения «переворота» аппроксимирующей функции 6.n, выходы которых подключены ко входам блоков хранения оценок исходной реализации 7.n, выходы которых подключены ко входам регистра хранения оценок полезного сигнала 8, выход которого подключен к входу блока хранения результирующей оценки полезного сигнала 9, выход которого является информационным выходом устройства. Синхронность работы устройства обеспечивает генератор тактовых импульсов 10.

Устройство для повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности работает следующим образом.

Исходная реализация результатов измерений в каждом из n каналов обработки исходной информации разбивается на m независимых интервалов случайной длины, которые подчиняются равномерному закону. На каждом из m интервалов производится аппроксимация исходной реализации в пределах данного интервала полиномом второй степени, коэффициенты которого определяются методом наименьших квадратов (фиг.1). Результаты аппроксимации проверяются на появление эффекта «переворачивания» аппроксимирующей функции и при необходимости «перевороты» устраняются (фиг.2). Полученные оценки в каждом из n каналов поступают в общий регистр хранения, где формируется результирующая оценка путем усреднения в каждом сечении исходной реализации сигнала среди множества полученных оценок. Результирующая оценка полезного сигнала поступает на выход устройства.

Такой способ повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности реализуется следующим образом.

В буферный блок 1 записывается исходная реализация, выход которого подключен к входам блоков хранения результатов измерений 2.n, к управляющим входам которых через коммутатор К подключен блок разбиения 3, с помощью которого для каждого из каналов n формируется последовательность целых чисел, разбивающая исходную реализацию сигнала на m интервалов с последующей аппроксимацией на них методом наименьший квадратов полиномом 2-й степени в блоках аппроксимации 4.n, полученные оценки поступают на вход блока проверки на «переворот» аппроксимирующей функции 5.n, в котором осуществляется детектирование интервалов на наличие переворота аппроксимирующей функции (фиг.1). Интервалы, на которых были обнаружены эффекты «переворота» аппроксимирующей функции (фиг.1), помечаются и совместно с исходным сигналом и полученной оценкой поступают в блок устранения «переворота» аппроксимирующей функции 6.n, где получаем откорректированную оценку (фиг.2). На интервалах аппроксимации, где эффект «переворота» не обнаружен, корректировка не производится. Оценки сигнала, полученные в каждом из n каналов, поступают в регистр хранения, где производится получение результирующей оценки путем их усреднения в каждом сечении при фиксированном t_i. Результирующая оценка поступает в блок хранения результирующей оценки полезного сигнала 9, выход которого является информационным выходом устройства. Синхронность работы устройства обеспечивает генератор тактовых импульсов 10.

Технический результат - уменьшение погрешности оценки функции полезного сигнала при ограниченном объеме априорной информации о статистических характеристиках аддитивного шума и функции полезного сигнала, которая достигается с помощью обнаружения и устранения эффекта «переворота» аппроксимирующей функции. Технические особенности применения предлагаемого способа на этапе получения оценки методом МНК: результаты его работы проходят проверку на наличие «переворота» аппроксимирующей функции и при необходимости корректировку оценки сигнала. Устранение «переворота» происходит путем замены текущей оценки на оценку этого же участка сигнала, но из 3-й четверти декартовой системы координат.

Посредством имитационного моделирования было установлено, что предлагаемый способ обладает следующими преимуществами:

- средняя квадратичная погрешность оценки функции полезного сигнала (тренда) значительно меньше погрешностей оценки при использовании других ранее рассмотренных способов при ограниченном объеме априорной информации об исследуемом процессе;

- средняя квадратичная погрешность оценки функции полезного сигнала предлагаемого способа имеет явную тенденцию к уменьшению при введении проверки результатов работы на «переворот» аппроксимирующей функции - при размножении оценок исходной реализации.

1. Способ повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности, заключающийся в том, что исходная реализация нестационарного случайного сигнала разбивается на интервалы случайной длины и аппроксимируется на каждом из них полиномом второй степени, тем самым формируется оценка сигнала при заданном разбиении, многократное формирование разбиений исходной реализации нестационарного сигнала на интервалы случайной длины позволяет получить множество оценок в каждом его сечении, усредняя которые формируется результирующая оценка, отличающийся тем, что при проведении аппроксимации на каждом из интервалов разбиения исходной реализации нестационарного случайного сигнала проводится детектирование и устранение эффекта «переворачивания» аппроксимирующей функции путем зеркального отображения значений аппроксимирующей функции из 1-й четверти декартовой системы координат в 3-ю четверть декартовой системы координат.

2. Устройство повышения точности аппроксимации при выделении полезного сигнала в условиях априорной неопределенности, содержащее буферный блок, вход которого является информационным входом устройства, а выход подсоединен к входам блоков хранения результатов измерений, к управляющим входам которых подключены выходы блоков коммутации К, к входам которых подключен выход блока разбиения, выходы блоков хранения результатов измерений подключены к входам блоков аппроксимации, выход блока хранения оценок исходной реализации подключен ко входу блока хранения оценки полезного сигнала, чей выход является информационным выходом устройства, отличающееся тем, что выход блока аппроксимации подключен к входу блока проверки на «переворот» аппроксимирующей функции, выход которого подключен ко входу блоков устранения «переворота» аппроксимирующей функции, выходы которого подключены к входам блоков хранения оценок исходной реализации.