Стабилизированный генератор переменного тока

Стабилизированный генератор переменного тока

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к области физики магнетизма и электроники, в частности к системам автоматической стабилизации частоты переменного тока, вырабатываемого непосредственным преобразованием тепловой энергии внешней среды, например водных бассейнов, с использованием известных физических свойств ферромагнетиков, динамически взаимодействующих с насыщающим магнитным полем, и может найти применение в экологически чистой электроэнергетике.

Известно прямое преобразование тепловой энергии в электрическую постоянного тока на основе эффекта Зеебека - возникновения в электрической цепи, состоящей из нескольких разнородных проводников, контакты между которыми имеют различные температуры [1-3], например, на основе спая проводников «константан (-38 мкВ/К) - хромель (+24 мкВ/К)» или соединений «висмута (-68 мкВ/К) с сурьмой (+43 мкВ/К)». На основе эффекта Зеебека разработаны термоэлектрические генераторы, в состав которых входят термобатареи, набранные из полупроводниковых термоэлементов (аморфных или стеклообразных), соединенных последовательно или параллельно. Идея использования полупроводниковых термоэлементов, вместо металлических термопар, принадлежит академику А.Ф. Иоффе (СССР). Однако эти устройства пока не нашли применения в электроэнергетике по целому ряду объективных причин.

Представляет интерес использовать термомагнитные явления для получения механической работы, а именно магнитокалорический эффект в ферромагнетиках в сочетании с известными их свойствами - магнитной вязкости, снижения магнитной восприимчивости в насыщающих магнитных полях (кривая Столетова), возникновения фазового перехода первого рода в насыщающих магнитных полях (с адекватным уменьшением удельной теплоемкости ферромагнетика), нарушения симметрии в процессах нагревания при намагничивании и охлаждения при размагничивании в динамике взаимодействия движущегося ферромагнетика относительно локализованного насыщающего магнитного поля. Совокупность названных свойств позволяет синтезировать параметрический термомагнитный генератор для выработки механической энергии, в котором вращающееся магнитное поле заменено вращающимся распределением магнитной восприимчивости синхронно с вращающимся ферромагнитным кольцом, небольшая часть которого помещена в неподвижное локализованное в пространстве насыщающее магнитное поле (принцип эквивалентности вращений). При этом центр намагниченности движущегося внутри магнитного зазора ферромагнетика в таком постоянно действующем во времени распределении отстает от центра притяжения внутри магнитного зазора, в силу чего возникает постоянно действующая втягивающая сила, вектор которой направлен по касательной к ферромагнитному кольцу в сторону его вращения, что поддерживает указанное вращательное движение, если вращательный момент не меньше момента трения и присоединенной нагрузки. При этом затрачивается внутренняя тепловая энергия ферромагнитного кольца при его намагничивании с результирующим охлаждением ферромагнитного кольца, восполняемая тепловой энергией внешней среды в механизме теплопроводности.

На указанном сочетании известных свойств ферромагнетиков автором предложены способ получения энергии и целый ряд устройств, основанных на данном способе и его модификациях [4-13].

Ближайшим аналогом заявляемого технического решения (прототипом) может быть взято «Устройство автоматического управления электрогенератором» [13], ранее предложенное автором, содержащее ферромагнитное кольцо, механически связанное с осью вращения через траверсы, часть ферромагнитного кольца помещена в насыщающее магнитное поле сильного постоянного магнита, снабженного катушкой подмагничивания, а другая его часть связана с тепловыделяющей средой, например очищенной водой, забираемой из соответствующего водного бассейна, с осью вращения механически связан трехфазный генератор переменного тока, подключенный к трехфазному выпрямителю и к электрической нагрузке, выход трехфазного выпрямителя через блок управления подмагничиванием связан с катушкой подмагничивания сильного постоянного магнита, вход блока управления подмагничиванием подключен к выходу последовательно соединенных генератора опорного напряжения, фазочувствительного выпрямителя и фильтра нижних частот (или интегратора), отличающееся тем, что с осью вращения ферромагнитного кольца механически связан тахогенератор, выход которого подключен ко второму входу фазочувствительного выпрямителя, а магнитный зазор сильного постоянного магнита выполнен из двух частей, первая из которых образует однородное магнитное поле с напряженностью, обеспечивающей на длине L этой части магнитного зазора доведение магнитной восприимчивости ферромагнетика до максимального значения, а вторая часть магнитного зазора длиной L образует насыщающее магнитное поле в начале этой части магнитного зазора и далее в направлении движения ферромагнитного кольца линейно возрастающее по напряженности магнитное поле к концу магнитного зазора, причем угловая скорость ω* вращения ферромагнитного кольца, соответствующая максимуму возникающего в нем вращательного момента, определена условием ω*=L/λRτ, где λ=1,23 и R - средний радиус ферромагнитного кольца, τ - постоянная времени релаксации магнитной вязкости ферромагнетика, из которого выполнено ферромагнитное кольцо.

Данное устройство работает на основе потребления тепловой энергии внешней среды, поступающей к охлаждающемуся при вращении ферромагнитному кольцу, и в задачу этого устройства входит поддержание неизменным (мало изменяющимся) значения частоты вырабатываемого переменного тока при изменении потребляемой мощности в присоединенной нагрузке.

Целями заявляемого технического решения являются стабилизация частоты вырабатываемого переменного тока при вариации внешней нагрузки и увеличение срока действия и надежности функционирования генерирующего электроэнергию прибора.

Указанные цели достигаются в заявляемом стабилизированном генераторе переменного тока, содержащем ферромагнитное кольцо, механически связанное с осью вращения через траверсы, часть ферромагнитного кольца совмещена с насыщающим магнитным полем сильного постоянного магнита, а другая его часть связана с тепловыделяющей средой, например очищенной водой, забираемой из соответствующего водного бассейна, а также последовательно соединенные фильтр нижних частот (или интегратор) и управляемый источник тока подмагничивания, выходом соединенный с катушкой подмагничивания, при этом магнитный зазор сильного постоянного магнита выполнен из двух частей, первая из которых образует однородное магнитное поле с напряженностью H*, обеспечивающей на длине L этой части магнитного зазора доведение магнитной восприимчивости ферромагнетика до максимального значения, а вторая часть магнитного зазора длиной L образует насыщающее магнитное поле в начале этой части магнитного зазора и далее в направлении движения ферромагнитного кольца линейно возрастающее по напряженности магнитное поле к концу магнитного зазора, причем угловая скорость ω* вращения ферромагнитного кольца, соответствующая максимуму возникающего в нем вращательного момента за счет возникающей силы втягивания ферромагнетика определена условием ω*=L/λRτ, где λ=1,23 и R - средний радиус ферромагнитного кольца, τ - постоянная времени релаксации магнитной вязкости ферромагнетика, из которого выполнено ферромагнитное кольцо, ось вращения ферромагнитного кольца механически связана с измерителем частоты вращения оси с цифровым табло и генератором переменного тока, например трехфазным, подключенным к электрической нагрузке, а также содержащем устройство управления током подмагничивания указанной электромагнитной системы из подключенного к управляемому источнику тока подмагничивания через фильтр нижних частот (или интегратор) фазочувствительного выпрямителя, входы которого подключены соответственно к выходам измерителя частоты вращения и генератора опорного напряжения, отличающемся тем, что на ферромагнитное кольцо намотана катушка из проводника, связанная с аккумуляторной батареей через установленные на его оси кольцевые скользящие контакты и силовой диод в цепи заряда аккумуляторной батареи, питающей управляемый источник тока подмагничивания.

Достижение поставленных целей объясняется действием статической (астатической в случае применения интегратора, вместо фильтра нижних частот) системы авторегулирования для поддержания практически неизменной скорости вращения оси ферромагнитного кольца. Сигнал ошибки регулирования формируется на выходе фазочувствительного выпрямителя путем сравнения частоты генератора опорного напряжения и с выхода измерителя частоты вращения. Отличительные признаки заявляемого технического решения обеспечивают выработку постоянного тока заряда аккумуляторной батареи от катушки из проводника, намотанной на ферромагнитном кольце при его вращении относительно продольной составляющей магнитного поля, образующейся во второй части электромагнитной системы с насыщающим магнитным полем.

Структурная схема заявляемого технического решения представлена на рис.1. На рис.2 представлен фрагмент 1 с расположенными на оси вращения ферромагнитного кольца с кольцевыми электродами, подключенными к катушке, намотанной на ферромагнитном кольце, измерителя частоты вращения и трехфазного генератора переменного тока. На рис.3 приведен фрагмент 2 структуры магнитных зазоров электромагнитной системы относительно части ферромагнитного кольца с намотанной на него катушкой из проводника. На рис.4 (фрагмент 3) рассмотрена структура магнитной системы с ее катушкой подмагничивания. На рис.5 показан эксперимент возбуждения ЭДС индукции в катушке, размещенной на ферромагнитном стержне, относительно которого вдоль него перемещается намагниченный тороид с некоторой скоростью. На рис.6 представлены силовые и нагрузочные характеристики ферромагнитовязкого двигателя при двух крайних значениях присоединенной к двигателю нагрузки.

На рис.1 заявляемое устройство состоит из следующих элементов.

1 - ферромагнитное кольцо со средним радиусом R,

2 - намотанная на кольце 1 катушка из проводника (например, однослойная виток к витку),

3 - ось вращения ферромагнитного кольца,

4 - пара кольцевых электродов, закрепленных на оси вращения 3 и соединенных с катушкой из проводника 2,

5 - траверсы соединения ферромагнитного кольца 1 с осью вращения 3,

6 - комбинированный магнит с подмагничиванием,

7 - катушка подмагничивания комбинированного магнита 6,

8 - силовой диод,

9 - аккумуляторная батарея (подзаряжается через силовой диод 8 от катушки 2),

10 - управляемый источник тока подмагничивания,

11 - фазочувствительный выпрямитель,

12 - измеритель частоты вращения (с цифровым табло),

13 - генератор опорного напряжения (с фиксированной частотой),

14 - фильтр нижних частот (или интегратор) системы авторегулирования,

15 - трехфазный генератор переменного тока.

На рис.1 также показан процесс теплопередачи из внешней среды к ферромагнитному кольцу 1, охлаждающемуся при вращении, с мощностью теплового потока Р, потребляемого охлаждающимся ферромагнитным кольцом 1.

На рис.2 (фрагмент 1) часть устройства представлена следующими элементами, указанными на рис.1, - ферромагнитным кольцом 1 с намотанной на него катушкой из проводника 2, осью вращения 3 с подшипниковой парой, парой кольцевых электродов 4, связанных с катушкой 2, траверсами 5, измерителем 12 частоты вращения оси 3 и трехфазным генератором переменного тока 15.

На рис.3 (фрагмент 2) представлен разрез комбинированного магнита с подмагничиванием 6, из двух секций - с однородным магнитным полем H* и неоднородным, возрастающим по напряженности от H_O до H_MAX, а также часть ферромагнитного кольца 1 с намотанной на него катушкой 2, движущегося в магнитном поле с линейной скоростью V=ωR при вращении ферромагнитного кольца 1 с угловой скоростью ω при среднем радиусе кольца R. Длина секций магнита 6 одинакова и равна L.

На рис.4 (фрагмент 3) показан вид на комбинированный магнит 6 с его катушкой подмагничивания 7, связанной с управляемым источником тока подмагничивания 10.

На рис.5 показана схема возбуждения ЭДС индукции в катушке с проводником 2, намотанной на ферромагнитном стержне 1 (части ферромагнитного кольца 1), при движении тороидального магнита 16 вдоль оси катушки 2 со скоростью V. При этом ток в катушке 2 регистрируется магнитоэлектрическим прибором 17, а его направление в катушке меняется при изменении знака вектора скорости V.

На рис.6 представлены две силовые характеристики ферромагнитовязкого двигателя - зависимости действующей на ферромагнитное кольцо 1 силы F(ω) в направлении его вращения (то есть совпадающей с вектором V) в функции угловой скорости ω вращения оси 3 при двух крайних значениях тока подмагничивания в катушке 7 комбинированного магнита 6. На этом же рисунке даны соответственно две нагрузочные характеристики для соответствующих двух крайних нагрузок на трехфазный генератор переменного тока 15 (минимально и максимально допустимых), определяемых моментами нагрузки M_{H MIN} и M_{H MAX}. Видно, что максимум силовой характеристики в ферромагнитовязком двигателе достигается при угловой скорости вращения ферромагнитного кольца, равной ω*, а работа устройства всегда осуществляется при угловых скоростях ω>ω*. Точки пересечения соответствующих силовых и нагрузочных характеристик соответствуют точкам устойчивого равновесия системы авторегулирования, а разброс проекций этих точек на ось абсцисс сводится к минимуму в статической системе авторегулирования (при использовании фильтра нижних частот 14) или к нулевому значению для астатической системы авторегулирования (при замене ФЧВ 14 на интегратор), хотя применение астатической системы авторегулирования понижает ее быстродействие.

Рассмотрим действие заявляемого устройства.

В основе работы термомагнитного двигателя на ферромагнитном кольце 1 и сильном комбинированном постоянном магните 6 с подмагничиванием лежит известный принцип работы электромагнитного двигателя с использованием силового взаимодействия между намагниченными ротором и статором, в котором магнитное поле статора вращается, увлекая за собой ротор, вращающийся вместе с вращающимся магнитным полем статора. Так работают, например, синхронные и асинхронные электродвигатели переменного тока. В заявляемом техническом решении магнитное поле статора неподвижно, будучи образовано неподвижно расположенным сильным постоянным магнитом. Однако в силу принципа эквивалентности вращающееся в обратную сторону относительно физического вращения ферромагнитного кольца (как ротора) распределение намагниченности в ферромагнитном кольце также приводит к силовому взаимодействию за счет отставания центра намагниченности ферромагнитного кольца внутри магнитного зазора сильного постоянного магнита от его центра магнитного притяжения. В результате такого силового взаимодействия ферромагнитное кольцо вращается под действием втягивающей силы, стремящейся совместить указанные центры намагниченности и магнитного притяжения. Таким образом, остается обеспечить указанное отставание центра намагниченности той части ферромагнитного кольца, которая находится в зазоре сильного постоянного магнита, от центра магнитного притяжения последнего. При этом имеется в виду, что вращение указанного распределения намагниченности на ферромагнитном кольце в системе координат, связанной с ферромагнитным кольцом, обратно синхронно вращению ферромагнитного кольца, что приводит к постоянно действующей картине распределения намагниченности внутри магнитного зазора в системе координат, связанной с неподвижным сильным постоянным магнитом, и сила втягивания является постоянно действующей. Эта задача решается благодаря использованию свойства магнитной вязкости ферромагнетика, из которого изготовлено ферромагнитное кольцо, в динамике вращения последнего под действием приложенного к ферромагнитному кольцу пускового момента импульса достаточной величины, после чего ферромагнитное кольцо будет поддерживать режим вращения при условии, что момент трения и присоединенной нагрузки не больше вращательного момента, возникающего от указанного силового взаимодействия, а компенсация потерь энергии при таком вращении ферромагнитного кольца осуществляется за счет притока из внешней среды тепловой энергии к ферромагнитному кольцу, которое охлаждается при размагничивании выходящей из магнитного зазора части ферромагнитного кольца согласно известному магнитокалорическому эффекту.

Одним из важных применительно к рассматриваемому техническому решению свойств ферромагнитных материалов является их так называемая магнитная вязкость, магнитное последействие - отставание по времени намагниченности ферромагнетика от изменения напряженности магнитного поля. В наиболее простых случаях изменение намагниченности AJ в зависимости от времени t описывается формулой

Δ J ( t ) = [ J ( t ) − J 0 ] = [ J ∞ − J 0 ] [ 1 − exp ( − t / τ ) ] ,                     (1)

где J₀ и J_∞ - соответственно значения намагниченности непосредственно после изменения напряженности Н магнитного поля в момент t=0 и после установления нового равновесного состояния, τ - константа, характеризующая скорость процесса и называемая постоянной времени релаксации. Значение τ зависит от природы магнитной вязкости и в различных материалах может изменяться от 10^-9 с до нескольких десятков часов.

Различают два вида магнитной вязкости: диффузионный (рихтеровский) и термофлуктуационный (иордановский). В первом из них магнитная вязкость определяется диффузией примесных атомов или дефектов кристаллической структуры. Объяснение роли примесей было дано J. Snock, а более строгая теория построена L. Neel и базируется на предположении о преимущественной диффузии примесных атомов в те межатомные промежутки кристалла, которые определенным образом ориентированы относительно направления спонтанной намагниченности. Это создает локальную наведенную анизотропию, приводящую к стабилизации доменной структуры. Поэтому после изменения магнитного поля новая доменная структура устанавливается не сразу, а после диффузного перераспределения примеси, что и является причиной магнитной вязкости.

Второй вид магнитной вязкости более универсален и наблюдается практически во всех ферромагнетиках, особенно в области магнитных полей, сравнимых с коэрцитивной силой. Неелем был предложен термофлуктуационный механизм для объяснения этого вида магнитной вязкости. Тепловые флуктуации способствуют преодолению доменными стенками энергетических барьеров в магнитных полях, меньших критического поля. В высококоэрцитивных сплавах, состоящих из однодоменных областей, наблюдается особенно большая магнитная вязкость, так как в этом случае термические флуктуации сообщают дополнительную энергию для необратимого вращения спонтанной намагниченности тех частиц, потенциальная энергия которых во внешнем магнитном поле недостаточна для их перемагничивания.

Кроме этих основных механизмов магнитной вязкости существуют и другие. Например, в некоторых ферритах вклад магнитной вязкости дает перераспределение электронной плотности (диффузия электронов между ионами разной валентности). С магнитной вязкостью тесно связаны такие явления в ферромагнетиках, как потери на перемагничивание, временной спад относительной магнитной восприимчивости χ и ее частотная зависимость [14-16].

Заявляемое техническое решение, как уже было указано, основано на использовании динамического взаимодействия ферромагнитного вещества с магнитным полем, создаваемым сильным постоянным магнитом. Ферромагнитное вещество характеризуется достаточно сложной зависимостью его магнитной восприимчивости χ от величины действующего на него магнитного поля напряженностью Н согласно известной кривой Столетова. В отсутствие магнитного поля ферромагнитное вещество имеет начальную магнитную восприимчивость χ_НАЧ, а по мере увеличения напряженности магнитного поля сначала магнитная восприимчивость возрастает, доходит до своей максимальной величины χ_MAX при напряженности магнитного поля Н*, после чего вновь уменьшается, и в области насыщения магнитной индукции (при парапроцессе) ее произведение с величиной напряженности магнитного поля остается практически неизменным, определяя намагниченность насыщения J_HAC(∞)=µ_Oχ(Н)H_HAC≈const(Н) в диапазоне насыщающих магнитных полей H_O≤H_HAC≤H_MAX, реализуемых во второй (рабочей) части магнитного зазора, при этом µ_O=1,256_*10^-6 Гн/м - константа, называемая абсолютной магнитной проницаемостью вакуума. Указанное значение намагниченности насыщения устанавливается экспоненциально во времени, поэтому значение J_HAC(∞) имеет место в установившемся режиме, теоретически при t→∞, а практически за некоторое число m постоянных релаксаций τ с учетом соотношения (1), когда ΔJ(mτ)→0.

Работа устройства, представленного на рис.1, заключается в предварительном повышении магнитной восприимчивости ферромагнитного кольца 1 до максимальной ее величины χ_MAX, для чего используется первая часть магнитного зазора с напряженностью однородного магнитного поля в ней, равной Н*, как видно из рис.3, после чего осуществляется процесс магнитного втягивания ферровещества во вторую (рабочую) часть магнитного зазора сильного постоянного магнита 6, намагничивание до насыщения ферромагнетика, а по его выходе из магнитного зазора - его размагничивание с понижением магнитной восприимчивости до начальной величины χ_НАЧ с охлаждением, после чего ферромагнитное вещество (вне действия магнитного поля) вновь нагревается тепловой энергией из внешней среды в механизме теплопроводности, и цикл действия повторяется вновь и вновь, обусловливая непрерывное вращение ферромагнитного кольца.

Известная кривая Столетова с достаточной степенью точности аналитически может быть задана непрерывной функцией вида χ(Н):

χ ( H ) = χ Н А Ч exp ( − H / H * ) + [ χ M A X − χ Н А Ч exp ( − H / H * ) ] sin [ π H / ( H + H * ) ] ,         (2)

так что при Н=0 имеем χ(0)= χ_НАЧ, при Н=Н* имеем χ(Н*)=χ_МАХ, а при Н→∞ имеем χ(∞)→0, что соответствует концепции Столетова.

В первой части магнитного зазора длиной L при протяжке ферромагнитного вещества вдоль оси x со скоростью V=ω*R за время Δt=L/ω*R магнитная восприимчивость ферромагнетика будет экспоненциально возрастать до максимально возможной при данной скорости протяжки величины χ_MAX*. Как будет показано ниже, угловая скорость вращения ферромагнитного кольца ω*, соответствующая максимуму вращательного момента в кольце, определяется равенством ω*=L//ΔtR=L/λτR. Поэтому величина χ_MAX(Н*) зависит от значения угловой скорости вращения ферромагнитного кольца и при ω=0, то есть при неподвижном ферромагнитном кольце, χ_MAX(Н*)|_ω=0=χ_MAX>χ_MAX*, хотя превышение χ_MAX относительно величины χ_MAX* незначительно - всего около 6,6%.

Величина намагниченности ферромагнетика к концу первой половины магнитного зазора J_НАЧ* достигает величины:

J Н А Ч * = μ О χ M A X H * .                                               (3)

Во второй части магнитного зазора сильного постоянного магнита 6 имеется неоднородное линейно возрастающее вдоль координаты x магнитное поле, которое имеет аналитический вид:

H ( x ) = H O + ( H M A X − H O ) x / L ,                             (4)

где 0≤x≤L, L - длина второй части магнитного зазора, то намагниченность J(x) ферромагнитного вещества, находящегося во второй части магнитного зазора, вычисляется на основе рекуррентных соотношений. Для этого разобьем промежуток L на n малых и одинаковых отрезков, безразмерную величину отношения x/L=ε обозначим в дискретном представлении целочисленным индексом i, а отношение (H_MAX-H_O)/H_O обозначим, как и раньше, через параметр градиента магнитного поля p, тогда выражение (4) запишется в индексной форме как:

H i = H O [ 1 + i   p / n ] ,                          (4a)

и при i=n имеем H_n=H_MAX.

Поскольку состояние ферромагнетика к началу его взаимодействия с магнитным полем второй части магнитного зазора уже сформировалось, и магнитная восприимчивость доведена до наибольшего значения χ_MAX* в магнитном поле Н*, а магнитное поле в начале этой части магнитного зазора скачком увеличивается до величины H_O>>Н*, то при анализе намагниченности ферромагнетика внутри магнитного зазора рабочего постоянного магнита следует учитывать в выражении (2) только его ниспадающую часть кривой Столетова в индексном представлении:

χ ( x ) = χ i = χ M A X * exp ( − i   Δ t/n  τ )sin[ π (n-i)/(2n-i)],              (5)

и при i=n имеем χ_n=χ_MIN*>χ_MIN, и указанное превышение χ_MIN* над χ_MIN незначительно (порядка 6,6%).

При анализе динамики намагничивания ферромагнетика, определяемого общим выражением J=µ_OχН, следует иметь в виду, что временное изменение этой величины зависит только от временного изменения магнитной восприимчивости, которая обладает свойством магнитной вязкости, то есть не может изменяться скачком, как в данном устройстве практически скачком изменяется напряженность магнитного поля на границе первой и второй части магнитного зазора - от Н* до H_O. Это объясняет наличие выброса намагниченности с коротким фронтом порядка Δt*=-τln[1-(Н*/H_O)], стремящегося к величине J_MAX=µ_Oχ_MAX*H_O, но не доходящего до нее из-за одновременного действия насыщающего магнитного поля, уменьшающего значение магнитной восприимчивости во времени, после чего намагниченность экспоненциально уменьшается для установившегося режима до величины намагниченности насыщения, равной J_HAC(∞), а в данном случае до величины J_HAC(∞)+ΔJ*, которая превышает намагниченность насыщения для установившегося режима на величину ΔJ*. Поскольку намагниченность дифференциального объема ферромагнитного кольца dv=Sdx (S - поперечное сечение ферромагнитного кольца внутри магнитного зазора), находящегося на какой-либо координате x в интервале 0≤х≤L в произвольный момент времени, определяется как J(х)=µ_Oχ[Н(х)]Н(х), где Н(х) задана выражением (4), то, учитывая (1), отмечаем, что для ее нахождения необходимо найти ее предыдущее значение на координате (х-dx) или, что то же самое при достаточно большом числе разбиений отрезка L на n равных частей, для нахождения намагниченности в i-ом интервале, надо сначала ее найти на (i-1) интервале, тогда имеем:

J i = J ( i − 1 ) + ( J i − J ( i − 1 ) ) exp ( − i   Δ t/n  τ ),                         (6)

Но чтобы найти значение J_(i-1), необходимо сначала найти значение J_(i-2) и т.д. до J₁, величина которого определяется просто:

J 1 = J O + ( J 1 − J O ) exp ) ( − Δ t / n   τ ), J O = μ O χ M A X * H * ,               (7)

Отметим, что в скобках выражений (6) и (7), а также последующих аналогичных выражений для разностей (J_i-J_(i-1)) используются установившиеся значения этих величин, а не мгновенные значения в текущем времени.

Тогда приходим к системе рекуррентных уравнений вида:

J 1 = J O + ( J 1 − J O ) exp ( − Δ t / n   τ ), J 2 = J 1 + ( J 2 − J 1 ) exp ( − 2 Δ t / n   τ ), J 3 = J 2 = (J 3 -J 2 )exp ( − 3 Δ t / n   τ ), ............................................... J k = J k − 1 + ( J k − J ( k − 1 ) ) exp ( − k Δ t / n   τ ), .................................................... J n = J n-1 + (Jn-J (n-1) )exp ( − Δ t / n   τ ),                                       (8)

На основании (8) общее выражение для намагниченности в k-ом интервале промежутка О≤x≤L (или, что то же, 0≤ε≤1 - для безразмерного обозначения переменной) можно записать в виде:

J k = μ O χ M A X * H * { 1 + ∑ i = 1 K exp ( − i   Δ t / n   τ ) [ 1 − exp ( − i   Δ t / n   τ ) ] * * [ 1 + i   p / n ] sin [ π ( n − i ) / ( 2 n − i ) ] } ,                                                         (9)

В выражении (9) известный сомножитель µ_O χ_MAX*Н* - величина постоянная, поэтому представляет интерес безразмерная функция, стоящая в фигурных скобках, и равная:

f ( k ) = 1 + ∑ i = 1 K exp ( − i   Δ t/n  τ )[1-exp(-i  Δ t/n   τ )][1 + i p/n]sin[ π (n-i)/(2 n-i)]   (10)

Для вычисления распределения этой функции в интервале i=1, 2, 3,… n с использованием компьютерной программы Mathcad необходимо представить эту функцию в интегральном виде, то есть с использованием непрерывных функций параметра ε=х/L. Тогда получим:

f ( ε ) = 1 + ∫ 0 ε exp ( − λ   ε )[1-exp(- λ   ε )][1 + p  ε ]sin[ π (1- ε )/(2- ε )]d  ε ,         (11)

где λ=Δt/τ, и p=(H_MAX-H_O)/H_O, а переменная лежит в пределах 0≤ε≤1.

Как показывает анализ функции f(ε) на экстремум приравниванием нулю ее производной по параметру λ, то есть ∂f(ε)/∂λ=0, функция максимальна при λ=1,23 независимо от текущего значения переменной ε, откуда находим оптимальное значение угловой скорости ω* вращения ферромагнитного кольца, при которой достигается максимум вращательного момента:

ω * = L / 1 , 23 R   τ = 0,82L/R  τ .                                   (12)

Обратимся к вопросу, как расставлены друг от друга центры магнитного притяжения X_H и намагниченности X_J вдоль криволинейной оси x в направлении протяжки ферромагнитного вещества в магнитном зазоре. Для определения центра магнитного притяжения внутри второй части магнитного зазора по программе Mathcad с помощью оператора root запишем уравнение, из решения которого находится значение относительного центра магнитного притяжения α:

r o o t { [ ∫ 0 α ( 1 + p ε ) d ε − ∫ α 1 ( 1 + p ε ) d ε ] , α } → α .                           (13)

Можно построить график относительного положения центра магнитного притяжения а как функции параметра p, а также таблицу некоторых значений α(p). Видно, что положение центра магнитного притяжения X_H=(0,5…0,707) L. Так, для наиболее подходящих значениях р=5…10 имеем X_H=(0,66…0,68) L, то есть существенно дальше от середины второй части магнитного зазора при x=L/2.

Для нахождения центра намагниченности ферромагнетика X_J, находящегося внутри второй части магнитного зазора длиной L, воспользуемся модифицированным выражением (11) для относительного распределения намагниченностей ферромагнетика f (ε) при некоторых конкретно заданных условиях: р=10, τ=5.10^-4 с, λ=1,23 и введенного значения σ=J_HAC(∞)/J_НАЧ*=2…4 и конкретно σ=2.

Модифицированное уравнение может быть записано в фор