Способ направленной модификации полупроводниковых приборных структур с использованием импульсных электромагнитных полей

Способ направленной модификации полупроводниковых приборных структур с использованием импульсных электромагнитных полей

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к области полупроводниковой электроники, в частности к модификации электрофизических свойств полупроводниковых приборных структур, и может быть использовано для улучшения ряда электрофизических параметров таких структур.

В современной электронике широкое распространение получили как биполярные, так и униполярные полупроводниковые транзисторные структуры. Во-первых, на усилительные свойства полупроводниковых транзисторных структур оказывают влияние поверхностные состояния на границе раздела пассивирующее диэлектрическое покрытие - планарная транзисторная структура [1], во-вторых, - состояние интерфейса подзатворный диэлектрик - тело транзистора МОП (металл - оксид - полупроводник) [2].

Известны способы воздействия на немагнитные полупроводниковые кристаллы импульсных электромагнитных полей (ИЭМП) (например, [3, 4]). В отличие от ионизирующих излучений (ИИ), которые действует, главным образом, на слой диэлектрика и границу раздела диэлектрик - полупроводник», ИЭМП действуют на полупроводниковый кристалл, изменяя физико-химические свойства его поверхностных слоев. Вместе с тем, в обоих случаях, и в результате воздействия ИЭМП, и при воздействии ИИ наблюдаются долговременные изменения структуры и свойств полупроводниковых кристаллов и транзисторных структур, хотя реализуются и протекают эти изменения по разным механизмам. Исследование физических процессов, протекающих в гетероструктурах на основе полупроводников, под действием ИЭМП, необходимо для решения задач возможного их использования в технологических процессах для выявления потенциально ненадежных элементов интегральных микросхем (ИМС), для направленной модификации материалов и приборных структур, а также для решения задач компенсации намеренным дестабилизирующим воздействиям подобных факторов.

Предпринимаются попытки установить основные закономерности воздействия импульсных магнитных полей на поверхность полупроводников, границу раздела полупроводник - диэлектрик и непосредственно на диэлектрик биполярных структур и структур МОП.

Обнаруженные эффекты воздействия ИЭМП на полупроводники: низкотемпературное геттерирование в полупроводниковых кристаллах и модификация физико-химических свойств поверхности кристаллов полупроводников путем воздействия ИЭМП являются основой для разработки новых технологических процессов, в том числе, для выявления латентных технологических дефектов в ИМС биполярных и МОП-структур, низкотемпературного геттерирования в кремнии, повышения качества окисных пленок, полученных на кристаллах фосфида индия, предварительно обработанных ИЭМП.

В [5] предложен способ направленной модификации (решения фазовой проблемы) путем воздействия ИЭМП на немагнитные полупроводниковые материалы и разработаны технологические методы использования воздействия ИЭМП для выявления латентных дефектов в полупроводниках и полупроводниковых материалах.

В [5] приведены результаты исследований воздействия ИЭМП на элементарные полупроводники (Si, Ge), полупроводниковые соединения A^IIIB^V (GaAs, InP) и твердые растворы элементов III, IV и V групп таблицы Менделеева. Обнаружен эффект низкотемпературного геттерирования в полупроводниковых кристаллах, в основе которого лежит индуцированный ИЭМП распад примесно-дефектных комплексов (ПДК) в объеме кристалла, диффузия к поверхности кристалла образующихся продуктов распада, обладающих аномально высокой подвижностью, и образование новых дефектных комплексов в приповерхностном слое. Движение дефектов к поверхности стимулируется упругими напряжениями в кристалле. Предложен способ низкотемпературного геттерирования в кремнии, основанный на последовательной обработке кристалла альфа-частицами и ИМЭП. В этом случае облучение альфа-частицами обеспечивает создание вне рабочих областей кристалла стоков для точечных дефектов, образующихся при индуцированном ИЭМП распаде исходных дефектных комплексов. Принципиальное преимущество представленного способа состоит в том, что он реализуется при Т<520 К и может быть использован на любом этапе формирования прибора, включая финишный.

Обнаружен эффект выявления скрытых (латентных) дефектов в кремниевых структурах МОП в результате воздействия ИЭМП. Локальные неоднородности, не проявляющие электрической активности в исходной структуре, могут быть переведены в электрически активное состояние воздействием ИЭМП. Эффект объясняется индуцированным ИЭМП распадом дефектных комплексов в кристалле кремния и последующим захватом продуктов распада (точечных дефектов, способных к миграции в кристалле, обработанном ИЭМП) на локальных структурных неоднородностях, в том числе первоначально латентных. Показана возможность использования ИЭМП в качестве тестирующего воздействия для обнаружения латентных технологических дефектов в кремниевых структурах МОП.

Обнаружены эффекты долговременного немонотонного изменения физико-химических свойств поверхности полупроводниковых кристаллов в результате воздействия ИЭМП. Эффект долговременного (сотни часов при комнатной температуре) немонотонного изменения топологии поверхности полупроводниковых кристаллов проявляется в снижении планарности поверхности на первом этапе и ее последующем повышении до уровня, превышающего исходный (фиг.1). Реконструкция поверхности кристаллов вызвана возникновением потоков подвижных точечных дефектов в результате распада исходных дефектных комплексов под воздействием ИЭМП. Изменение топологии поверхности полупроводников сопровождается также немонотонным изменением ее сорбционной способности. На примере фосфида индия показана возможность использования обработки полупроводниковых материалов ИЭМП для увеличения скорости химических реакций, протекающих на их поверхности. Для кристаллов фосфида индия обнаружено изменение скорости их низкотемпературного (Т=313 К) химического окисления. Изменение скорости процесса окисления сопровождается синхронным изменением диэлектрической прочности оксидных пленок (Фиг.2). Эффект повышения скорости химического окисления фосфида индия в результате предварительной обработки кристалла ИЭМП может быть объяснен в рамках механизма, ответственного за возникновение диффузионной неустойчивости в кристаллах полупроводниковых соединений A^IIIB^V [6].

В результате исследования воздействия ИЭМП на дефектную подсистему монокристаллов арсенида галлия методом исследования залегания глубоких уровней (DLTS) обнаружен эффект необратимого изменения спектра глубоких уровней, соответствующих поверхностным электронным состояниям (ПЭС), в результате обработки кристалла ИЭМП. Эффект заключается в изменении температурного положения пика ПЭС (Фиг.3). Положения и амплитуды пиков, обусловленных объемными глубокими уровнями EL6 и EL2, в результате воздействия ИЭМП не менялись, что свидетельствует о чувствительности к воздействию ИМП только поверхностных электронных состояний. Спектры DLTS пластин арсенида галлия, предварительно обработанных в парах селена, не менялись в результате воздействия ИЭМП. Обнаруженный эффект может быть объяснен с позиций концепции решеточного магнетизма, индуцированного дефектами [7, 8]. Вместе с этим известно, что импульсное энергетическое воздействие на твердое тело вызывает более заметные эффекты, чем такое же импульсное, многократное воздействие, но меньшей величины или стационарное. Модели такого проявления импульсного нагружения и возможные причины обсуждались в [9].

Все это свидетельствует в пользу конструктивного влияния ИЭМП на твердотельные полупроводниковые структуры.

Однако, как следует из приведенных материалов, изменению подвержены достаточно специфические параметры полупроводниковых структур и материалов: оптические, прочностные, морфологические и т.п. Наибольший информационный интерес представляют интегральные параметры, такие, например, как коэффициент усиления биполярных транзисторов в схеме с общим эмиттером - h_21E, который характеризуется, в свою очередь, эффективностью эмиттера γ, рекомбинационными процессами в базе (дефектностью материала базы) и электрическим режимом коллекторного перехода (величиной коэффициента лавинного умножения носителей).

Однако обнаружение тонких эффектов изменения критериальных параметров полупроводниковых структур при воздействии ИЭМП требует и более тщательной обработки экспериментальных данных, особенно в условиях проведения дорогостоящих экспериментов с малыми выборками образцов. Эта проблема является общей как при выполнении экспериментов с ИЭМП, так и для экспериментов с воздействием импульсного ИИ.

Наиболее близким (прототипом) к заявляемому способу является способ, изложенный в [10]. Предложен способ формирования элементов полупроводниковых приборов и ИМС структуры МОП, основанный на использовании ИЭМП.

В [10] последовательно воздействуют α-частицами и ИЭМП на кристаллы кремния, что обеспечивает возможность низкотемпературного геттерирования (300-500 К). Облучение α-частицами создает вне рабочих областей кристалла стоки для быстро диффундирующих точечных дефектов, образующихся при индуцированном воздействием ИЭМП распаде исходных примесно-дефектных комплексов (ПДК). Направленная модификация полупроводниковых приборных структур в результате такого радиационно-магнитного воздействия проявляется, в частности, в увеличении времени жизни неосновных носителей (НН).

Затем воздействуют ИЭМП, что приводит к распаду ПДК в объеме кристалла, диффузии продуктов этого распада к поверхности и образованию новых дефектных комплексов в приповерхностном слое. Поверхность бездислокационного кристалла является естественным и основным стоком для подвижных дефектов, индуцированных обработкой ИЭМП. Роль предварительного (перед воздействием ИЭМП) облучения кристалла α-частицами заключается в формировании нарушенного слоя в глубине кристалла, вдали от его рабочей поверхности. Возможность создания такого «захороненного» нарушенного слоя обусловлена тем, что генерация радиационных дефектов в кристалле, при имплантации в него высокоэнергетических α-частиц, происходит локально, преимущественно на глубине, соответствующей длине пробега α-частиц, там, где имеют место основные энергетические потери при их торможении. Глубина проникновения в Si α-частиц с энергией ~5 МэВ, а следовательно, и глубина, на которой образуются нарушенный слой, составляет величину ~25 мкм. Эта величина значительно превышает толщину приповерхностной области кристалла, используемой для формирования полупроводниковых приборных структур. Результатом геттерирования является, в частности, увеличение времени жизни НН и улучшение электрических характеристик полупроводниковых приборных структур (например, снижение обратных токов p-n-переходов транзисторов МОП и ИМС) (Фиг.4).

В качестве критериального электрического параметра, позволяющего судить о степени структурного совершенства кристалла, выбирают генерационное время жизни τ_g носителей заряда.

Недостаток способа [10] состоит в том, что, во-первых, для получения положительного эффекта требуется предварительное облучение транзисторных структур МОП α-частицами, что не всегда возможно реализовать на сложившемся производстве. Во-вторых, положительный эффект совместной последовательной обработки α-частицами и ИМЭП показан только для структур МОП, содержащих подзатворный оксид и диэлектрический «захороненный» слой (индуцированный α-частицами в объемных структурах МОП, исходный в структурах КМОП/КНД («комплементарных металл-оксид-полупроводник/кремний-на-диэлектрике»).

Вместе с этим в биполярных планарных транзисторных структурах имеется диэлектрический слой для создания пассивирующего покрытия, ПДК в интерфейсе которого влияют на величину поверхностного тока утечки «коллектор-база» и, следовательно, на величину интегрального параметра - коэффициента усиления биполярного транзистора в схеме с общим эмиттером (ОЭ) - h_21E. Поэтому в этих структурах облучение α-частицами для создания «захороненного» ПДК можно исключить.

Техническим результатом заявляемого способа является повышение точности количественной оценки направленной модификации полупроводниковых приборных структур с использованием ИЭМП.

Технический результат достигается тем, что в способе направленной модификации полупроводниковых приборных структур с использованием ИЭМП, включающем определение критериальных параметров этих приборов, облучение в пассивном режиме ограниченной выборки однотипных полупроводниковых приборных структур слабым ИЭМП с варьируемыми параметрами, включая амплитуду импульса, его длительность и частоту следования, обработку экспериментальных данных статистическими методами путем сравнения критериальных параметров полупроводниковых приборных структур до и после облучения ИЭМП, по результатам которой выявляют положительный эффект модификации и производят повторное облучение необработанных полупроводниковых приборных структур при оптимальных для этого типа приборных структур режимах генерации ИЭМП, для установления степени влияния напряженности и распределения во времени электромагнитного поля (ЭМП) на критериальные параметры и для повышения точности количественной оценки направленной модификации полупроводниковых приборных структур с использованием ИЭМП, в качестве критериального параметра выбирают значение интегрального параметра - коэффициента усиления в схеме с общим эмиттером биполярного транзистора - h_21E, а сравнение результатов измерений проводят с использованием двухсвязной доверительной S-области [11] (Приложение), по результатам которого выносят заключение о степени влияния ИЭМП.

Для однозначной интерпретации результатов сравнения, величину значимого эффекта Δ x ¯ , где x ¯ - среднее значение случайной величины h_21E в выборке, определяют в этом случае путем сравнения смещения «геометрического центра» S-областей Δ ( ν ¯ , u ¯ ) , построенных по результатам измерения экспериментальных данных «до» и «после» обработки полупроводниковых приборных структур ИЭМП, а координаты геометрического центра такой области определяются в виде ( ν ¯ , u ¯ ) :

где u ¯ - среднее значение нижней допустимой границы критериального параметра, определенного в качестве случайной величины, u - нижнее выборочное значение этого параметра, s - минимальное нижнее допустимое значение критериального параметра, ν ¯ - среднее значение верхней допустимой границы критериального параметра, ν - верхнее выборочное значение критериального параметра, t - максимальное верхнее значение критериального параметра, которые в свою очередь, определяют из соотношений:

а параметр, определяющий полуширину доверительного интервала, с≤0,5, вычисляют, исходя из численных значений степени недоверия α к полученным результатам, численное значение которой выбирают в интервале 0≤α≤1, и объема выборки n.

Сущность изобретения иллюстрируется следующими графическими иллюстрациями.

На фиг.1 показаны СТМ-изображение и профиль поперечного сечения поверхности кристалла Cz-Si: а - до воздействия ИЭМП (параметр шероховатости Rz=1,34 нм); b и с - через 200 и 400 часов после обработки ИЭМП, соответственно (Rz=5,81 нм и Rz=0,92 нм); d - профиль поперечного сечения (1 - до воздействия ИЭМП; 2 - через 200 часов после обработки ИЭМП, соответственно) [5].

На фиг.2 показана зависимость от времени после обработки ИЭМП подложки:

1) разницы толщин Δd оксидных пленок экспериментальных и контрольных образцов;

2) напряженность электрического поля Е в пленке, через поперечное сечение которой протекает ток 1 мкА, время окисления 25 мин [5].

На фиг.3. показано влияние обработки ИЭМП на DLTS спектры контактов Шоттки Al-GaAs: 1 - исходный; 2; 3 - через 1 и 7 суток после ИМП, соответственно. Спектры 4 и 5 измерены на образцах с предварительной обработкой пластин GaAs в парах селена до и через 3 суток после воздействия ИЭМП. Режим измерения DLTS: t₁/t₂=10 мс/ 210 мс [5].

На фиг.4 показано влияние комбинированных радиационных и обработок ИЭМП на нестационарные вольт-фарадные характеристики структур МОП (а) и обратные токи р-n-переходов транзисторов МОП (b). Характеристики: 1 - исходные; 2 - после воздействия α-частиц ; 3 - после воздействия α-частиц и ИЭМП [10].

На фиг.5 приведена двухсвязная доверительная S-область для ГИС №4 со значениями координат граничных точек u, ν, s, s₁, t, t₂ (n=16, с=0,17).

На фиг.6 показано представление двухсвязной доверительной S-области в виде «энергетических» уровней, на которой «энергетические переходы» соответствуют размерам доверительного интервала по осям [θ₁, θ₂] генеральной совокупности.

На фиг.7 показано смещение геометрического центра двухсвязной доверительной S-области после обработки образцов ИЭМП. Показаны проекции верхней и нижней границ доверительных интервалов.

Предлагаемый способ реализуется следующим образом.

В качестве критериального интегрального параметра полупроводниковых приборных структур, например биполярных транзисторных структур, выбирают коэффициент усиления в схеме с ОЭ - h_21E, как наиболее информативный параметр, включающий информацию об эффективности работы переходов эмиттер - база и коллектор - база.

Производят измерения значений критериального параметра h_21E ограниченной выборки транзисторных структур, включая отдельные транзисторы в составе ИМС, при фиксированном электрическом режиме до воздействия ИЭМП.

Затем ограниченную выборку полупроводниковых приборных структур в пассивном (незапитанном источником постоянного тока) режиме подвергают воздействию серии импульсов слабого ИЭМП с варьируемыми характеристиками (амплитудой, скважностью, частотой следования и формой импульса).

Далее выполняют измерения критериальных параметров этих приборов после воздействия ИЭМП при том же электрическом режиме измерения, что и в отсутствие воздействия ИЭМП.

Сравнение результатов измерений проводят с использованием двухсвязной доверительной S-области [11], по результатам которого выносят заключение о степени влияния ЭМП (фиг.5).

Для однозначной интерпретации интерпретации результатов сравнения величину значимого эффекта приращения Δ x ¯ , где x ¯ - среднее значение случайной величины h_21E в выборке, определяют в этом случае путем сравнения смещения «геометрического центра» S-областей (фиг.5) Δ ( ν ¯ , u ¯ ) , построенных по результатам измерения экспериментальных данных «до» и «после» обработки полупроводниковых приборных структур ИЭМП (фиг.7), а координаты геометрического центра такой области определяются в виде ( ν ¯ , u ¯ ) , где u ¯ - среднее значение нижней допустимой границы критериального параметра (1)? определенного в качестве случайной величины, u - нижнее выборочное значение критериального параметра, s - минимальное нижнее допустимое значение критериального параметра, ν ¯ - среднее значение верхней допустимой границы критериального параметра, ν - верхнее выборочное значение этого параметра (1), s - минимальное нижнее значение критериального параметра (2), t - максимальное верхнее значение критериального параметра (3) (фиг.5). Параметр, определяющий полуширину доверительного интервала, с≤0,5, вычисляют, исходя из численных значений степени недоверия α к полученным результатам, численное значение которой выбирают в интервале 0≤α≤1, и объема выборки n (Приложение).

По результатам обработки данных с варьируемыми параметрами ИЭМП выявляют оптимальные для этого типа полупроводниковых приборных структур режимы генерации ИЭМП, при которых выявлен положительный эффект модификации.

Производят повторное облучение необработанных полупроводниковых приборных структур при оптимальных для этого типа приборных структур режимах генерации ИЭМП.

Пример конкретной реализации.

Исследованию подвергались гибридные интегральные схемы (ГИС), состоящие из 16-и параллельно включенных биполярных транзисторов по схеме с ОЭ, в которых измерялись коэффициенты усиления h_21E (интегральный радиационно-критический параметр (РКП)).

На предварительном этапе исследования интегральных характеристик оптических свойств гетероструктур «кремний-на-сапфире» (КНС) и изменений микрошероховатости поверхности приборного слоя не выявили значимых изменений после воздействия ИЭМП.

Затем исследовались изменения коэффициента усиления h_21E транзисторов в составе ГИС с целью:

- увеличения выборочной статистики измерений;

- привлечения новых методов обработки экспериментальных данных;

- использования параметра - коэффициенты усиления h_21E как наиболее информативного интегрального параметра (влияние эффективности эмиттера, напряжения коллекторного перехода - коэффициент ударной ионизации, коэффициент рекомбинации в базе и т.п.).

Для повышения достоверности результатов исследований:

- Результаты измерений «до» и «после» воздействия ИЭМП не сопоставлялись заранее с его параметрами до завершения экспериментов (принцип «анонимности»);

- Использовались 4 шт. ГИС в качестве образцов для исследований (4×16, всего 64 транзистора);

- Использовалась методика статистической обработки «метод двухсвязных областей» (Приложение и критерий Фишера [12]).

Коэффициенты усиления полупроводниковых транзисторных структур ГИС измерялись «до» и «после» воздействия ИЭМП.

Инструментальная погрешность измерений составила 3,5% для выбранных средств измерения по ТУ на микросхему (расчетное значение).

Со всех ГИС удалялись крышки, полупроводниковые приборные структуры помещались в цилиндрический индуктор так, чтобы их рабочая поверхность была перпендикулярна силовым линиям магнитного поля индуктора, представлявшего из себя многослойную катушку индуктивности. Интенсивность магнитного поля измерялась миллитесламетром Г77. Время обработки фиксировалось. Длительность магнитного импульса измерялась с помощью осциллографа С1-68, подключаемого к миллитесламетру Г77. Обработка проводилась по 10 мин. в диапазоне частот 2-16 Гц импульсами длительностью от 2-х до 5 мсек, индукция поля находилась в пределах 40-150 мТл. Потребляемая мощность установки - не более 250 Вт, средний ток ~1 А.

Результаты измерений коэффициентов усиления h_21E для всех транзисторов выборки до и после воздействия ИЭМП приведены в табл.П.1 Приложения. Результаты обработки исходных данных с использованием критерия Фишера сведены в табл.1.

Они показывают, что условия принятия решения о значимости полученных результатов

F n , v э к с п е р . < F n , v т е о р . ,

где n - объем выборки (16 шт. для каждого корпуса ГИС, ν - число степеней свободы, выполняются только для транзисторов групп «1» и «2». В данном случае термин «значимость» означает достоверность результата влияния ИЭМП, полученного методами статистической обработки ограниченной выборки (нахождение среднего арифметического значения, среднего квадратичного отклонения, критерия Пирсона χ² и т.п.).

Таблица 1
Результаты обработки исходных данных с использованием критерия Фишера

В табл.2 приведены результаты обработки экспериментальных данных с пользованием метода построения двухсвязной доверительной S-области.

Из анализа этих данных следует:

Использование параметров распределения A(s) и d(s) не дает достоверных результатов о характере воздействия ИЭМП, т.к. они определяют допустимое геометрическое поле возможного изменения случайной величины в области с координатами [θ₂, θ₁]. Гораздо разумнее определять координаты «геометрического центра» такой области в виде ( ν ¯ , u ¯ ) (1).

Таблица 2
Результаты обработки экспериментальных данных с использованием метода построения двухсвязной доверительной S-области.

Величину значимого эффекта Δ x ¯ определяют в этом случае путем сравнения смещения «геометрического центра» S-областей, построенных по результатам измерения экспериментальных данных «до» и «после» обработки полупроводниковых приборных структур ИЭМП (фиг.7). При анализе результатов выявлена тенденция положительного изменения Δ x ¯ - коэффициента усиления после воздействия ИЭМП (увеличение исходных значений).

Величины изменений превышают погрешность оценки РКП.

Результат, полученный таким образом, однозначно говорит об увеличении коэффициента усиления после обработки ИЭМП. При этом следует отметить, что использованная для генерации ИЭМП установка имела ограниченные возможности по индукции, длительности импульса, диапазону частот.

Таким образом, использование предлагаемого способа позволяет достаточно просто модифицировать основные электрофизические параметры полупроводниковых структур.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Двухсвязная доверительная область

Для описания выборок с числом образцов (измерений) n<50 лучше всего адаптированы S-распределения (имеющие две характерные точки излома на графике интегрального закона распределения случайной величины). К таким S-распределениям можно отнести:

- S - нормальное распределение (или Гаусса);

- логарифмически-нормальное распределение;

- распределение Вейбулла.

Такие данные не являются достоверными для проверки модели вдоль так называемой линии Easterling`a. Гораздо проще установить верхнюю и нижнюю границы распределения. Для этого необходимо определить двухсвязную S-доверительную область с доверительной вероятностью γ=1-α. Пусть (U, V) - статистика большого порядка (генеральная совокупность) и (u, ν) - статистика малого порядка (выборка), a U, u - нижние минимальные значения случайной величины в этих статистиках, а V, ν - верхние максимальные значения случайной величины в этих статистиках. Принимая, что эти граничные значения распределены случайным образом по двум независимым осям для ряда независимых выборок, можно определить A(s) как площадь доверительной области, а d(s) как максимальную диагональ (дисперсию) доверительной области.

Пусть X - случайная величина. Исходя из информационной теории Шеннона-Бриллюена информация I может быть определена соотношением

где k - постоянная Больцмана, S - термодинамическая энтропия.

Этому «негоэнтропийному» принципу удовлетворяют в порядке уменьшения неопределенности сходимости теоретического и экспериментального законов распределения случайной величины следуюшие распределения:

- равномерное;

- экспоненциальное;

- Пуассона;

- нормальное распределение (или Гаусса).

Для наихудшего результата с точки зрения сходимости теоретического и экспериментального законов распределения выберем равномерный (прямоугольный) закон внутри интервала [θ₁, θ₂]

Требуется определить γ=1-α доверительную s-область для выборочных значений границ пары [θ₁, θ₂], для выборки размером n плотности распределений pdf(x). Тогда для нижней оценки u и верхней оценки ν случайной величины интегральная функция распределения примет вид

Для n независимых реализаций выборок случайной величины можно записать

Тогда плотность совместной вероятности будет равна

для θ₁<u<ν<θ₂ и 0 для всех остальных значений x.

Для фиксированного значения α≥2^-m+1 (уменьшение степени недоверия к результату с ростом размера выборки + одна степень свободы), которая гарантирует, что с≤1/2 вероятность реализации коэффициента с с учетом сделанных ограничений будет равна

Смысл этого выражения состоит в том, что: 1) границы генеральной совокупности [U, V] в действительности расположены внутри измеренных границ [θ₁, θ₂]; 2) возможные границы изменения величин U и V не могут перекрываться, поэтому коэффициент с, определяющий ширину интервала изменения величин U и V, не превышает значения ½; 3) доверительная вероятность этих реализаций случайной величины составляет γ.

Константа с может быть определена из соотношения

Проводя вычисления, получим трансцендентное соотношение

α=2(1-c)

Решение (П.7) численным методом Ньютона позволяет рассчитать значения константы c как функции размера выборки n и вероятности α. Результаты расчета константы c как функции размера выборки случайной величины x и вероятности α сведены в таблице П.1. Эти данные могут быть использованы для прогнозирования доверительных интервалов изменения критериальных параметров вновь создаваемой продукции в случае, когда априорная информация отсутствует.

Для больших n соотношение (П.7) принимает вид

которое трансформируется в

n c ≈ − ln ( 1 − 1 − α ) = − ln ( 1 − γ .                      ( П .9 )

В приведенном анализе рассмотрены симметричные границы изменения величин U и V. В принципе не исключается вариант рассмотрения и несимметричных границ.

При замене переменной в (П.7)

с⇒с-d для одной границы;

с⇒c-d для второй границы. Величина d есть характеристика асимметрии.

С учетом этого (П.7) примет вид

Величина 1-Р (с, d) является стационарной вдоль с и эта стационарность соответствует условию 0≤с≤1. На этом пути трудно ожидать какого-либо прогресса. Для второго типа утверждения об асимметричности границ изменения случайной величины пригодно следующее определение вероятности распределения константы c

Р^*(с)=Pr{(U-θ₁)²+(V-θ₂)²}≤с.

Интегрирование g(u, v) по этой области должно установить более широкие границы и, соответственно, большую площадь A(s), чем ранее определенная. Область S ограничена линиями

θ₁=u;

θ₂=ν.

Таблица П.1
Расчетные значения коэффициента с в зависимости от величины выборки n и доверительной вероятности α
1) Данные содержат произведение nc для n⇒∞.
(1-c)θ1+сθ2=u;
cθ1+(1-с)θ2=ν.

С использованием уравнений аналитической геометрии можно описать в формате (u, ν) 4-х граничных точек на двухсвязной доверительной s-области (см. табл.ПА.2);

1) Верхняя левая (s, t);

2) Нижняя левая ( s 1 1 u ) ;

3) Верхняя правая (u, t₂);

4) Нижняя правая (u, ν).

Это позволяет представить эти точки на «энергетической» диаграмме рис.П.1.

Расстояния между соответствующими энергетическими уровнями определяют ширину доверительного интервала из множества доверительных интервалов, заключенных в пределах двухсвязной S-области.

Таблица П.2
Координаты граничных точек S-области
Краткое обознач.	Наименование граничной точки на плоскости	Координаты точек S-области
1	2	3
max↓	Максимальная нижняя	s 1 = u − c ν 1 − c
min↑	Минимальная верхняя	t 2 = ν − c u 1 − c

1	2	3
min↓	Минимальная нижняя	s = u − c ( u + ν ) 1 − 2 c
max↑	Максимальная верхняя	t = ( 1 − c ) ( u + ν ) 1 − 2 c
min	Минимальная	u
max	Максимальная	v

Тогда A(s) площадь доверительной области, a d(s) - максимальная диагональ (лисперсия), определяющая расстояние между точками (u, v) и (s, t). С использованием соотношений аналитической геометрии можно определить

d ( s ) = 2 c ( ν − u ) ( 1 − 2 c )