Двухдиапазонная директорная антенна

Двухдиапазонная директорная антенна

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Предлагаемое изобретение относится к области антенной техники и может быть использовано в системах радиосвязи и телекоммуникаций сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона.

Актуальность разработки таких антенн обусловлена всевозрастающими требованиями к радиосистемам СВЧ в плане совмещения двух (или большего числа) рабочих диапазонов частот в одной конструктивной единице, что позволяет существенно снизить габариты антенных систем и упростить решение компоновочных задач на объекте установки за счет сокращения числа размещаемых конструктивно законченных узлов. Многодиапазонность антенны позволяет также сократить число питающих фидеров, чем повышается надежность и ремонтопригодность антенной системы, находящейся в большинстве случаев под непосредственным воздействием неблагоприятных факторов окружающей среды, таких как дождь, снег, обледенение, сидящие на антенне птицы, пыль, плесневые грибы и т.п.

Принцип формирования направленного излучения в директорных антеннах (по англоязычной терминологии: Yagi-antennas) описан известным японским специалистом Hidetsugu Yagi в его патенте №1745342, выданном в США 28 января 1930 года (дата подачи соответствующей заявки в патентное ведомство США: 3 сентября 1926 года), со следующим названием: "Directive-projecting system of electric waves". Фактически это и есть директорная антенна, содержащая активный диполь-возбудитель, несколько пассивных директоров и пассивный рефлектор, образованный рядом сплошных параллельных цилиндрических проводников малого по сравнению с длиной волны излучаемых радиоволн диаметра, расположенных на воображаемой поверхности, близкой к параболическому цилиндру. Средние точки возбудителя, директоров и всех проводников рефлектора лежат в одной секущей плоскости. Если с целью экономии использовать только один центральный проводник рефлектора, то все элементы антенны будут лежать в плоскости, ортогональной вышеупомянутой секущей плоскости, а средние точки каждого элемента будут лежать на пересечении этих плоскостей, представляющем собой прямую, которая и будет направлением максимального излучения, ориентированного в сторону директоров.

Исследованию конкретных применений предложенной Н. Yagi антенны посвящено большое число работ. В частности, известны классические директорные антенны, описанные в работе: Айзенберг Г.З., Ямпольский В.Г., Терешин О.Н. "Антенны УКВ", М.: Связь, 1997, часть 2, глава 8. Эти антенны содержат активный диполь (другими словами - возбудитель), один рефлектор и несколько директоров. Рефлектор и ближайший к возбудителю директор, будучи параллельны друг другу, при правильной их настройке усиливают поток электромагнитной энергии в направлении директора. Термин "настройка" включает в себя подбор длин рефлектора и директора, а также расстояний между ними и возбудителем. При этом средние точки возбудителя, директора и рефлектора лежат на прямой, ориентация которой в пространстве определяет направление наибольшей интенсивности излучения. Интенсивный поток энергии в указанном направлении создает благоприятные условия для возбуждения второго директора при надлежащей его настройке. Второй директор обеспечивает дополнительную концентрацию энергии в данном направлении, и тем самым создаются благоприятные условия для возбуждения последующих директоров. Конкретные величины расстояний и длин элементов директорией антенны определяются численными методами поиска оптимального решения соответствующей системы уравнений, формируемых на основе метода наводимых электродвижущих сил при условии, что как рефлектор, так и все директоры являются пассивными, а активным (т.е. запитанным от генератора) является лишь диполь-возбудитель. В результате после компоновки рефлектора, возбудителя и директоров на несущей стреле с необходимыми расстояниями между ними обеспечивается как хорошее согласование питающего фидера, так и достаточно узкая диаграмма направленности с максимумом в направлении директоров.

Однако при изменении длины волны СВЧ генератора изменяются как собственные, так и взаимные комплексные сопротивления элементов антенны, вследствие чего в последних изменяются амплитуды и фазы наведенных токов, что в итоге, после пересчета их к клеммам возбудителя, нарушает согласование в целом директорией антенны с питающем фидером (как правило, коаксиальным кабелем). И хотя реализация упомянутых директорных антенн не встречает затруднений, в работе: Г.Т. Марков, Д.М. Сазонов "Антенны", М.: Энергия, 1975 год, стр.408, указывается, что классические директорные антенны способны сохранять приемлемый коэффициент направленного действия в относительной полосе частот несколько процентов. Это означает лишь один возможный диапазон рабочих частот, так как работа на каких-либо гармониках исключена.

Таким образом, классические директорные антенны характеризуются лишь одним диапазоном рабочих частот.

Известна также директорная антенна, описанная в патенте РФ №2129325, 1999 год, и предназначенная для телевещания в метровом и дециметровом диапазоне волн. Эта антенна содержит собранные на одной двухъярусной мачте директорные антенны разных диапазонов, каждая из которых включает в себя установленные на стреле соответствующего яруса рефлектор, директор и активный вибратор. Директоры и рефлекторы выполнены в форме трапеции, длины оснований которой соответствуют верхним и нижним границам частот принимаемых диапазонов. Боковые стороны трапеций и их продолжения служат директорами и рефлекторами для промежуточных частот. Петлевые активные вибраторы каждого яруса, играющие роль возбудителей в метровом и дециметровом диапазонах, через соответствующие согласующие цепи выводятся каждый на свой фидер, а затем (через делитель/сумматор частотных каналов - частотный мультиплексор) подсоединяются к общему фидеру. Техническим результатом является расширение полосы частот и упрощение настройки. Описанная антенна в сборе является всеканальной и позволяет принимать 1-12 каналы метрового и 20-80 каналы дециметрового диапазона.

В результате данную антенну можно использовать как двухдиапазонную (или даже многодиапазонную) с двумя (многими) более узкими полосами частот, например: первым диапазоном может быть 2-ой канал, а вторым диапазоном - любой другой канал.

Однако, согласно окончанию последнего абзаца столбца 4 ее Описания, упомянутая антенна служит для приема телепередач, когда коэффициент стоячей волны (КСВ) отводящего антенного фидера может достигать значений 2,5…3,5. Такие большие значения КСВ, совершенно неприемлемые при передаче (работе антенны на излучение), легко компенсируются в приемном блоке современного телевизора за счет усиления, особенно в городах, где есть стационарные телецентры и ретрансляторы. Представляется весьма проблематичным получить в описываемой антенне, где в качестве возбудителя задействован лишь один петлевой диполь, необходимый при работе на передачу КСВ фидера на уровне 1,1 [соответствующие значения коэффициента бегущей волны (КБВ) в фидере передающей антенны не должны быть меньше 0,9 - см. работу: А.П. Дорохов, "Расчет и конструирование антенно-фидерных устройств", Харьков, Изд-во Харьковского ун-та, 1960, стр.66] во всем метровом/дециметровом диапазоне. Это объясняется тем, что, согласно только что упомянутой работе А.П. Дорохова, окончание стр.65, относительная полоса частот, как классического полуволнового вибратора, так и эквивалентного ему петлевого диполя не превышает 10% по уровню КБВ, равному 0,9.

Таким образом, описанная в патенте РФ №2129325 директорная антенна характеризуется недостаточным уровнем согласования фидера в двух произвольных диапазонах частот, хотя при использовании двух смежных диапазонов с общей разделительной границей между ними такая антенна может обеспечить требуемое для режима передачи согласование одновременно в обоих диапазонах при их относительных полосах частот порядка (5…6)% (суммарная относительная полоса частот обоих смежных диапазонов будет составлять приблизительно 12%).

Прототипом предлагаемого изобретения является двухдиапазонная директорная антенна, описанная в патенте ФРГ №1809377, 1968 год, со следующим названием: "Dipolantenne", хотя в конце стр.1 и во втором абзаце стр.2 ее Описания указывается на тесную связь упомянутой антенны с антеннами Yagi-типа, т.е. с директорными антеннами. Из второго абзаца стр.1 ее Описания следует также, что запатентованная антенна работает в двух различных частотных диапазонах, в том числе в телевещании, т.е. она является двухдиапазонной.

Упомянутая двухдиапазонная директорная антенна содержит один или несколько активных диполей, а также многочисленные директоры и пару рефлекторов, закрепленных параллельно друг другу на двухъярусной несущей стреле, причем средние точки всех элементов расположены на стреле (т.е. на прямой), определяющей направление максимального излучения в сторону директоров. Как следует из Описания и соответствующих фигур, директоры разных диапазонов, в зависимости от соотношения длин средней волны низкочастотного (λ_L) и высокочастотного (λ_H) диапазона, могут быть расположены либо в двух ярусах, либо директоры низкочастотного диапазона являются продолжениями (отводами) директоров высокочастотного диапазона. При этом директоры выполнены в виде либо отрезков прямолинейных проводников, либо имеют V-образную форму, причем в случае продолжений (отводов), директоры низкочастотного диапазона могут принять форму двух кругов с перемычкой (форму плоской "гантели"). Следует подчеркнуть тот факт, что в ситуации, когда директоры низкочастотного диапазона являются отводами директоров высокочастотного диапазона, в пункте 2 Формулы патента №1809377 используется термин "гальваническое продолжение", то есть отводы и высокочастотные директоры соединены гальванически.

Рефлекторы упомянутой антенны выполнены в виде повернутой на 90° буквы "Н" и позиционированы с противоположной относительно директоров стороны возбудителя.

Как следует из Формулы (Patentspriiche) и Описания, возбудителем антенны является либо один широкополосный диполь, либо два (или несколько) электрически связанных диполей. Термин "электрически связанные диполи" означает, как правило, либо связь элементов общим электростатическим полем, либо меняющимся во времени ближним электромагнитным полем (квазистатический режим). Поскольку в упомянутом патенте на фиг.1 его Описания изображен лишь один диполь-возбудитель, а в тексте Описания заявитель не нашел прямых указаний на конструктивно-компоновочное исполнение возбудителя из двух (или нескольких) электрически связанных диполей, то далее заявитель будет придерживаться вышеупомянутого понимания термина "электрически связанные диполи (элементы)".

В результате, выбранная в качестве прототипа двухдиапазонная директорная антенна содержит рефлекторы, директоры и широкополосный возбудитель в виде простого диполя, либо нескольких электрически связанных диполей.

Между тем, во втором абзаце стр.3 Описания указывается, что упомянутая антенна служит для приема сигналов в двух различных диапазонах. Раз так, то КСВ ее отводящего фидера может достигать значений 2,5…3,5 с учетом последующего наращивания уровня принятого сигнала в усилительном блоке телевизора (оконечного устройства). Как и в случае с уже упомянутым патентом РФ №2129325 представляется практически невозможным получить в данной директорией антенне необходимый для работы на передачу КБВ фидера не менее 0,9, за исключением случая узкополосных смежных диапазонов с их суммарной относительной полосой порядка 10%, так как одиночный полуволновый диполь имеет приемлемую относительную полосу рабочих частот лишь порядка 10%.

Конечно, можно расширить относительную полосу одиночного диполя до (20…25)%, при условии, что одиночный диполь будет выполнен из проводников (металлических трубок или прутков) большого диаметра.

Так, в ранее упомянутой книге А.П. Дорохова "Расчет и конструирование АФУ", стр.66, указывается, что "…широко распространенным методом расширения полосы пропускания антенн является уменьшение волнового сопротивления. Оно достигается путем увеличения поперечных размеров вибратора. Плечи вибраторов выполняются в виде цилиндров большого диаметра, широких проволочных сеток и металлических пластин, а также пучков расходящихся веером или образующих конические или цилиндрические поверхности проводов".

Однако практическое применение этих рекомендаций в директорных антеннах, находящихся под прямым воздействием дождя, снега и обледенения, сопряжено со значительными конструктивно-технологическими и компоновочными трудностями и вряд ли оправдано. Кроме того, в диапазоне СВЧ весьма широко применяется печатное исполнение директорных антенн, когда исходный трубчатый вариант директорией антенны пересчитывается в печатный вариант. Поскольку толщина фольги составляет 25…5 0 мкМ, то использовать увеличение поперечных размеров вибратора практически невозможно.

Если же возбудитель директорной антенны-прототипа выполнен из двух (или нескольких) электрически связанных диполей, то такой возбудитель оказывается узкополосным и настройка его весьма сложна. Это следует из обзора свойств передающих многовибраторных коротковолновых антенн, представленного в вышеупомянутой книге: А.П. Дорохова "Расчет и конструирование АФУ" в разделе 4.VI, стр.352-361. При этом на стр.361 подчеркивается, что принципы, разработанные для коротковолновых типов антенн, широко используются в диапазоне УКВ (а значит, и в диапазоне СВЧ). Иными словами, при использовании в директорией антенне согласно патенту ФРГ №1809377 в качестве возбудителя электрически связанных активных диполей уровень согласования даже при смежных диапазонах будет недостаточным в каждом из них.

Таким образом, выбранная в качестве прототипа двухдиапазонная директорная антенна характеризуется недостаточным уровнем согласования с питающим фидером в каждом из двух несмежных диапазонов частот.

Задачей предлагаемого изобретения является создание двухдиапазонной директорией антенны с улучшенным согласованием ее с питающим фидером в каждом из двух несмежных диапазонов частот.

Решение поставленной задачи обеспечивается тем, что в известной двухдиапазонной директорией антенне, содержащей параллельные друг другу первый и второй активные диполи, два рефлектора различной длины, четыре различных по длине директора, при этом средние точки диполей, рефлекторов и директоров расположены на прямой, определяющей направление максимального излучения в сторону директоров, а длина первого и второго активного диполя составляет половину длины средней волны низкочастотного и высокочастотного диапазона соответственно, активные диполи расположены в непосредственной близости друг с другом и лежат в одной плоскости с рефлекторами и директорами, причем первый активный диполь позиционирован со стороны рефлекторов и гальванически соединен параллельно со вторым активным диполем, при этом длина ближайшего к первому активному диполю рефлектора составляет (0,530…0,535)λ_H, длина второго рефлектора выбрана в интервале (0,485…0,490)λ_L, длина ближайшего ко второму активному диполю первого по счету директора составляет (0,225…0,230)λ_H, длина второго по счету директора выбрана в пределах (0,202…0,210)λ_L, длина третьего по счету директора составляет (0,226…0,232)λ_H, длина последнего директора выбрана как (0,204…0,212)λ_L, расстояние между вторым активным диполем и каждым из директоров составляет (0,198…0,205)λ_H, (0,173…0,178)λ_L, (0,416…0,420)λ_H, (0,352…0,358)λ_L соответственно, расстояние между первым активным диполем и ближайшим к нему рефлектором выбрано в интервале (0,182…0,187)λ_H, расстояние между первым активным диполем и вторым рефлектором составляет (0,185…0,189)λ_L, где λ_L и λ_H - длина средней волны низкочастотного и высокочастотного диапазона соответственно.

На фиг.1 изображена предлагаемая двухдиапазонная директорная антенна (ДДА), на фиг.2 - поперечное сечение А-А активных диполей (в увеличенном масштабе), на фиг.3 - сечение плоскостью XOZ в зоне непосредственной близости половин активных диполей 1 и 2, где они гальванически соединены параллельно и подключены к двухпроводному экранированному антенному фидеру 10 (в увеличенном масштабе), на фиг.4 - теоретическая и экспериментальная частотные характеристики модуля входного коэффициента отражения.

Предлагаемая ДДА (фиг.1) содержит параллельные друг другу первый 1 и второй 2 активные диполи, два рефлектора 3 и 4 различной длины, четыре различных по длине директора 5, 6, 7 и 8. Средние точки диполей, рефлекторов и директоров расположены на прямой, совпадающей с осью OY, ориентированной вдоль поверхности несущей одноярусной металлической стрелы 9, определяющей направление максимального излучения в сторону директоров 5, 6, 7 и 8. Стрела 9 может быть выполнена из трубки, к которой приварены оба рефлектора, все директоры и узел крепления активных диполей 1 и 2. Антенна в сборе крепится к металлической мачте и ориентируется по азимуту и углу места в нужном направлении (на фиг.1 мачта и узел крепления активных диполей условно не показаны). При этом длина L₁, первого 1 и L₂ второго 2 активного диполя составляют половину длины средней волны λ_L низкочастотного f_LL…f_LH и λ_H высокочастотного f_HL…f_HH диапазона соответственно:

L₁=λ_L/2; L₂=λ_H/2;

λ L = 2 c / ( f L L + f L H ) ;   λ H = 2 c / ( f H L + f H H ) ;  c = 3 ⋅ 10 8  м/сек .                                ( 1 )

Оба активных диполя лежат в одной плоскости с рефлекторами и директорами и расположены в непосредственной близости. Это означает, что в соответствии с рекомендациями работы: М.С. Жук, Ю.В. Молочков, "Проектирование антенно-фидерных устройств", М.-Л.: Энергия, 1966, глава 3, расстояние S₁₂ между осями активных диполей 1 и 2 (фиг.2) должно быть достаточно мало. Поэтому Заявитель определил это расстояние как 1% от суммы длин L₁ и L₂ активных диполей 1 и 2 (иными словами, как 0,5% от суммы длин волн λ_L и λ_H):

S 12 = ( λ L 2 + λ H 2 ) / 100 = ( λ L + λ H ) / 200.                                                              ( 2 )

При этом активный диполь 1 позиционирован со стороны рефлекторов 3 и 4 и гальванически соединен с активным диполем 2 параллельно. Точки параллельного соединения диполей 1 и 2 являются входом/выходом заявляемой ДДА, и к ним подключается либо симметричный двухпроводный экранированный фидер, либо противофазные выходы симметрирующего устройства, обладающего требуемой широкополосностью, т.е. работающего в полосах частот f_LL…f_LH и f_HL…f_HH одновременно.

Для обеспечения направленного излучения заявляемой ДДА и согласования ее с питающим фидером (на фиг.1 фидер условно показан в виде свитой вокруг оси x двухпроводной линии) в обоих диапазонах f_LL…f_LH и f_HL…f_HH принципиальное значение имеют размеры и взаимное расположение активных диполей 1 и 2, рефлекторов 3 и 4, а также директоров 5, 6, 7, и 8 на стреле 9, которые выбираются из соотношений:

- длина L₃ ближайшего к первому активному диполю 1 рефлектора 3: L₃=(0,530…0,535)λ_H;

- длина L₄ второго рефлектора 4: L₄=(0,485…0,490)λ_L;

- длина L₅ ближайшего ко второму активному диполю 2 первого по счету директора 5: L₅=(0,225…0,230)λ_H;

- длина L₆ второго по счету директора 6: L₆=(0,202…0,210)λ_L;

- длина L₇ третьего по счету директора 7: L₇=(0,226…0,232)λ_H;

- длина L₈ последнего директора 8: L₈=(0,204…0,212)λ_L;

- расстояния S₂₅, S₂₆, S₂₇, S₂₈ между вторым активным диполем 2 и каждым из директоров 5, 6, 7 и 8

S₂₅=(0,198…0,205)λ_H; S₂₆=(0,173…0,178)λ_L;

S₂₇=(0,416…0,420)λ_H; S₂₈=(0,352…0,358)λ_L;

- расстояние S₁₃ между первым активным диполем 1 и ближайшим к нему рефлектором 3: S₁₃=(0,182…0,187)λ_H;

- расстояние S₁₄ между первым активным диполем 1 и вторым рефлектором 4: S₁₄=(0,185…0,189)λ_L,

где λ_L и λ_H - длина средней волны низкочастотного f_LL…f_LH и высокочастотного f_HL…f_HH диапазона соответственно. При этом диаметры D₁ и D₂ активных диполей 1 и 2 (фиг.2), рефлекторов 3 и 4, а также всех директоров 5, 6, 7 и 8 из конструктивно-технологических требований унификации выбраны одинаковыми и удовлетворяющими так называемым "тонкоцилиндровым" условиям, охарактеризованным в работе: Г.Т. Марков, Д.М. Сазонов, "Антенны", М.: Энергия, 1975, раздел №2-2:

D 1 = D 2 = D < < L 2 = λ H / 2 = c / ( f H L + f H H ) .                                                       ( 3 )

При соблюдении условия (3) допустимо принять, что поверхностные электрические токи проводимости активных диполей 1 и 2, рефлекторов 3 и 4, а также всех директоров 5, 6, 7 и 8 заменяются расположенными на осях этих цилиндрических проводников бесконечно тонкими нитями продольного электрического тока (другими словами, осевыми нитевидными токами проводимости). Упомянутые нитевидные токи проводимости считаются непрерывными функциями координаты z (фиг.1) и обращаются в нуль на концах активных диполей 1 и 2 (z=±L₁/2; z=±L₂/2), рефлекторов 3 и 4 (z=±L₃/2; z=±L₄/2), а также всех директоров 5, 6, 7 и 8 (z=±L₅/2; z=±L₆/2; z=±L₇/2; z=±L₈/2). При этом торцовые токи проводимости, имеющие компоненты x → 0 I x и y → 0 I y , игнорируются, а осевые нитевидные токи изменяются по закону, близкому к синусоидальному:

z → 0 I z i ( z ) = z → 0 I m i sin [ k ( L i 2 − z ) ] ,   − L i 2 ≤ z ≤ + L i 2 ,                                                ( 4 )

где I_mi - амплитуды поверхностных токов проводимости в пучностях (максимумах); k=2π/λ - волновое число окружающего ДДА безграничного свободного пространства; индекс i принимает значения: 1 и 2 (i=1, i=2) для активных диполей 1 и 2; 3 и 4 (i=3, i=4) - для рефлекторов 3 и 4; 5, 6, 7 и 8 (i=5, 6, 7, 8) для директоров 5, 6, 7 и 8.

Выполнение условий "тонкоцилиндровости" (3), а также непосредственной близости (2) позволяет принять во внимание положение, согласно которому все вышеупомянутые расстояния между цилиндрическими элементами антенны отсчитываются от осей соответствующих проводников 1…8. В случае если используются проводники любого другого поперечного сечения, то следует перейти к диаметрам эквивалентных цилиндрических проводников с применением рекомендаций, изложенных в работе: М.С. Жук, Ю.В. Молочков, "Проектирование АФУ", М.-Л.: Энергия, 1966, стр.157-158.

В непосредственной близости должны находиться также смежные концы обеих половин каждого из активных диполей 1 и 2. Гальваническое контактирование (например, пайкой или сваркой) именно этих смежных концов обеспечивает вышеупомянутое параллельное соединение активных диполей 1 и 2. Поэтому расстояния S₁₁ и S₂₂ между смежными концами половин каждого из активных диполей 1 и 2 приравниваются и выбираются из конструктивно-технологических соображений так, чтобы обеспечить надежное соединение экранированного двухпроводного антенного фидера 10 с гальванически соединенными половинами каждого активного диполя 1 и 2 (фиг.3), качественную изоляцию активных диполей 1 и 2 от заземленной через не показанную на фиг.1 проводящую мачту металлической стрелы 9, а также удовлетворить условиям непосредственной близости каждой из половин, указанных в работе: Г.Т. Марков, Д.М. Сазонов, "Антенны", М.: Энергия, 1975, глава 2, стр.48-61:

S 11 = S 22 < < L 2 = λ H / 2.                                                                                    ( 5 )

Принцип действия заявляемой двухдиапазонной директорией антенны состоит в следующем.

Пусть к смежным концам обеих половин каждого из активных диполей 1 и 2 (фиг.1) по экранированному двухпроводному фидеру 10 (фиг.3) от симметричного генератора с ЭДС E_S (на фиг.1 и фиг.3 генератор, имеющий симметричный выход, условно не показан) и внутренним вещественным сопротивлением R_S подводится СВЧ сигнал, амплитуда U_S=E_S/2 которого остается неизменной в достаточно широкой полосе частот, включающей в себя как низкочастотный f_LL…f_LH, так и высокочастотный f_HL…f_HH диапазоны. При этом каждый из активных диполей 1 и 2 находится в ближнем электромагнитном поле другого, что приводит к необходимости расчета входного сопротивления двух совместно работающих диполей. Для этого используем контурные уравнения для двух связанных диполей, приведенные в работе: Марков Г.Т., Сазонов Д.М., "Антенны", М.: Энергия, 1975, стр.110, система уравнений (3-19):

U 1 = I 1 Z 11 + I 2 Z 12 U 2 = I 1 Z 12 + I 2 Z 22 ,                                                                                        ( 6 )

где I₁ - входной ток диполя 1, имеющего длину L₂; I₂ - входной ток диполя 2, имеющего длину L₂ (фиг.1). Величины входных токов I₁ и I₂ связаны с параметрами синусоидального распределения (4) как:

| I 1 | = | I z 1 ( z = 0 ) | = I m 1 sin ( k L 1 2 ) ;   | I 2 | = | I z 2 ( z = 0 ) | = I m 2 sin ( k L 2 2 ) .                     ( 7 )

При выполнении условия (5) непосредственной близости можно считать, что в системе (6)

U 1 = U 2 = U S .                                                                                                 ( 8 )

Тогда сразу же определяется отношение комплексных амплитуд входных токов в системе:

m 21 = I 2 I 1 = Z 11 − Z 12 Z 22 − Z 21 ,   I 1 I 2 = Z 22 − Z 12 Z 11 − Z 12 = m 12 ,                                                    ( 9 )

где Z₁₁, Z₂₂ - собственные, Z₁₂ - взаимный импеданс диполей 1 и 2, причем взаимный импеданс является функцией длин диполей L₁ и L₂, расстояния S₁₂ между их осями (фиг.2), а также текущей длины волны λ (частоты f=с/λ) генератора. Целесообразно подчеркнуть, что взаимный импеданс Z₁₂ не зависит от диаметров D₁ и D₂ диполей 1 и 2 (фиг.2), в то время как их собственные импедансы Z₁₁ и Z₂₂ являются функциями длин L₁ и L₂, диаметров D₁ и D₂, а также длины волны λ [см. работу: Марков Г.Т., Сазонов Д.М., "Антенны", М.: Энергия, 1975, раздел 3.4]:

Z 11 = q 11 ( L 1 , D 1 , λ ) ;  Z 22 = q 22 ( L 2 , D 2 , λ ) ;  Z 12 = q 12 ( L 1 , L 2 , S 12 , λ ) .                      ( 10 )

Конкретный вид функций q₁₁, q₂₂ и q₁₂ определяется методом наводимых электродвижущих сил, изложенном в только что упомянутой работе "Антенны", раздел 2.6. Так, например, при расчете взаимного импеданса Z₁₂ следует использовать следующие указание работы "Антенны", стр.112: "При параллельном расположении вибраторов (иными словами: диполей) расчет взаимных импедансов сводится к подстановке в любую формулу типа (3-21) закона распределения тока (3-1) и выражения (2-40) для функции распределения касательной составляющей вектора напряженности электрического поля E_Z, создаваемой одним вибратором на оси другого вибратора". Принимая во внимание эту цитату, можно записать следующие соотношения:

Z 12 = − 2 I 1 * I 2 ∫ 0 L 1 / 2 E Z 12 I Z 1 * ( z 1 ) d z 1 ,                                                                          ( 11 )

I Z 1 * ( z 1 ) = I m 1 * sin [ k ( L 1 2 − z 1 ) ] ,                                                                            ( 12 )

E Z 12 = − j W I 2 4 π sin ( k L 2 / 2 ) [ e − j k R 1 R 1 + e − j k R 2 R 2 − 2 cos ( k L 2 2 ) e − j k R 0 R 0 ] ,                        ( 13 )

R 1 = S 12 2 + ( z 1 − L 2 2 ) 2 ;   R 2 = S 12 2 + ( z 1 + L 2 2 ) 2 ;   R 0 = S 12 2 + z 1 2 ,                    ( 14 )

здесь звездочка (*) означает комплексную сопряженность, W=120π [Ом] есть волновое сопротивление безграничного свободного пространства, k=27π/λ - волновое число этого пространства.

В тоже время при расчете собственных импедансов, например Z₁₁, необходимо использовать следующее положение метода наводимых электродвижущих сил, сформулированное на стр.74 вышеупомянутой книги "Антенны": "Таким образом, для определения излучаемой вибратором мощности необходимо взять произведение тока на касательную составляющую вектора напряженности электрического поля на поверхности вибратора и проинтегрировать это произведение по длине вибратора". Затем используется еще одно положение метода наводимых ЭДС, сформулированное на стр.75 книги "Антенны": "Так же, как и в методе вектора Пойнтинга, результат интегрирования (2-48) при вычислении излучаемой мощности принято относить к квадрату величины тока в пучности распределения".

Принимая во внимание эти положения, а также учитывая, что при расчете взаимного импеданса Z₁₂ [формула (11)] использовалась нормировка (отношение) не к токам в пучностях I m 1 * , I m 2 , а ко входным токам I 1 * и I 2 , можно записать следующие уравнения для расчета собственного импеданса Z₁₁:

Z 11 = − 2 I m 1 I m 1 * ∫ 0 L 1 / 2 E Z ( D 1