Способ картографирования ледниковой геоморфологии

Способ картографирования ледниковой геоморфологии

Реферат

Изобретение относится к способам и системам картографирования ледниковой геоморфологии и может быть использовано, например, при планировании и проведении морских операций в Северном Ледовитом океане, а также при взаимодействии льда с морскими сооружениями.

Известны способы определения состояния ледяного покрова и способы комплексного картографирования природной среды (авторское свидетельство SU №1788487 А1, 15.01.1993 [1]; патент RU №2036516 С1, 27.05.1995 [2]).

Известный способ определения состояния ледяного покрова [1] включает получение спутниковых радиолокационных снимков в оптическом диапазоне длин волн, в котором для повышения достоверности, при определении возраста и сплоченности льда в весенне-осенний период, в момент получения радиолокационных снимков, устанавливают наличие облачности теплых фронтальных зон по снимкам в оптическом диапазоне длин волн и, если она имеет место, то проводят повторную радиолокационную съемку в условиях, соответствующих полному изменению метеорологических условий в исследуемом районе.

Согласно другому известному способу комплексного картографирования природной среды [2] используют N, где N>1, соответствующих одному и тому же периоду времени одномасштабных карт исследуемой территории, каждая из которых включает совокупность контуров, отображающих территориальное распределение определенного компонента природной среды или соответствующих природных ресурсов, осуществляют наложение друг на друга взаимоориентированных совокупностей контуров, соответствующих всем используемым картам, выделяют принадлежащие полученному изображению участки, представляющие собой замкнутые и не имеющие внутренних разделяющих границ области, осуществляют идентификацию параметров компонентов природной среды и природных ресурсов в пределах каждого выделенного участка, выделяют группы однотипных участков, характеризующихся заданной степенью сходства параметров, компонентов природной среды и природных ресурсов, осуществляют регистрацию полученного изображения и соответствующей ему параметрической информации. При этом в число используемых карт включают карты, отображающие рисунок ландшафта и техногенные компоненты природной среды.

Наиболее близким аналогом к заявляемому объекту является способ картографирования ледниковой геоморфологии (патент RU №2519667 С2, 20.06.2014 [3] - прототип). Известный способ картографирования ледниковой геоморфологии [3], содержит этапы, на которых: принимают изображение исследуемого района, полученное с помощью спутника; принимают цифровую модель возвышений исследуемого района; идентифицируют равнины и гряды на цифровой модели возвышений; идентифицируют болота и леса на изображении, полученном с помощью спутника; и формируют гляциологическую карту, имеющую ледниковые признаки, на основе идентифицированных равнин, гряд, болот и леса.

В описании прототипа [3] отмечается, что геоморфология является наукой о формах рельефа, которая исследует эволюцию поверхности земли, а также интерпретирует формы рельефа в качестве данных геологической истории. Более точно, ледниковая геоморфология исследует эволюцию поверхности земли как поверхность, образованную ледниками. Ледниковая геоморфология применяется для исследования природных ресурсов арктических областей. Типично, геоморфологическая интерпретация ледниковых признаков использует поверхностное геологическое картографирование, заверенное изображениями, полученными с помощью спутников.

Однако рельеф Земли представляет собой реальный физический объект. Абстрактное представление о рельефе как о ″совокупности неровностей суши, дна океанов и морей, разнообразных по очертаниям, размерам″ или ″очертания внешней поверхности литосферы″ материально проявляется в картографическом образе - карте или информационном образе - массиве компьютерных данных.

Всякий картографический или компьютерный образ рельефа представляет собой уменьшенную огрубленную ″копию″ поверхности рельефа. Это следствие процедур измерения рельефа, используемых для построения его образа. Поэтому, с одной стороны, невозможно построить образ рельефа Земли в масштабе 1:1, а с другой, нет способа непосредственного сопоставления некоторого образа рельефа реальному рельефу.

Кроме того, и различные образы рельефа трудно сопоставить между собой. Различные карты различаются масштабом и опытом создававших их специалистов-картографов, компьютерные массивы данных различаются пространственным разрешением и алгоритмами, применявшимися для их построения, а те и другие различаются по наборам исходных данных, используемых для построения образов рельефа.

Детальная связь между картографическими образами поверхности рельефа и формальными понятиями топологии изложена в статье: Жуков Ю.Н. Математические инструменты описания картографического отображения рельефа Земли // Навигация и гидрография, 2011, №32, стр.60-69, в которой показано, что топологические свойства образа рельефа в картографии полностью соответствуют топологическим свойствам гладкой функции Морса. При этом возникает противоречие между дискретным характером картографических данных о рельефе Земли и непрерывным характером гладкой функции Морса. Конечно, можно, используя некоторый интерполяционный алгоритм, получить аналитический вид поверхности, например, в виде некоторых сплайнов, но любой алгоритм интерполяции будет вносить непредсказуемые возмущения в конечный образ поверхности. Поэтому следует отказаться от удержания свойства непрерывности для поверхностей, что имеет место в прототипе, а использовать дискретные инструменты для их описания.

Кроме того, для осуществления практической деятельности в арктических морях, наибольший интерес представляет локальное ледниковое геоморфологическое картографирование с учетом определения прочностных характеристик льда. Задачей заявляемого технического решения является расширение функциональных возможностей ледникового геоморфологического картографирования и повышение достоверности построения исследуемого рельефа местности. Поставленная задача решается за счет того, что в способе картографирования ледниковой геоморфологии, включающим прием изображения исследуемого района, полученное с помощью спутника, прием цифровой модели возвышений исследуемого района, идентификацию равнин и гряд на цифровой модели возвышений, идентификацию болот и лесов на изображении, полученном с помощью спутника, формирование гляциологической карты, имеющую ледниковые признаки, на основе идентифицированных равнин, гряд, болот и леса, - дополнительно определяют текстуру льда, пределы прочности и модули деформации льда при сжатии и изгибе, построение вертикальных профилей по поверхности ледяного покрова осуществляют с использованием опорных точек, координаты которых X, Y, Z определяют в единой системе координат OXYZ, для оценки прочностных характеристик льда устанавливают регрессионные зависимости, связывающие пределы прочности льда при сжатии и изгибе, и его температуру, при формировании гляциологической карты для конкретного района выделяют ледяные поля, имеющие разную текстуру льда, пределы прочности и модули деформации льда при сжатии и изгибе, при построении рельефа дополнительно используют неориентированный граф Кронрода-Риба, выявляют изоморфные подграфы, путем нахождения ближайших подграфов по евклидову расстоянию между вершинами различных графов, определяют вершины эталонного графа Кронрода-Риба для восстанавливаемого рельефа, путем вычисления среднего значения координат и высот (глубин) для каждой вершины подграфов Кронрода-Риба.

Как и в прототипе, предлагаемый способ может быть реализован посредством различных технологий для способа картографирования ледниковой геоморфологии. В одной реализации может быть принято изображение исследуемого района, полученное с помощью спутника, а в другой может быть принята цифровая модель возвышений исследуемого района. Равнины и гряды могут быть идентифицированы на цифровой модели возвышений. Идентификация равнин и гряд может быть использована для оценки скоростей сейсмических поверхностных волн, шума поверхностных волн и затухания сейсмических волн.

В другой реализации болота и леса могут быть идентифицированы по изображению, полученному с помощью спутника. Может быть сформирована гляциологическая карта с ледниковыми признаками на основе идентифицированных равнин, гряд, болот и леса. Гляциологическая карта может быть сформирована корреляцией болот с равнинами и грядами с лесом.

Ледниковые признаки могут включать в себя боковые морены, конечные морены и донные морены. Границы ледников могут быть идентифицированы на основе ледниковых признаков. Каждый ледник может быть ограничен боковыми моренами на противоположных сторонах ледника, конечной мореной на конце ледника и донной мореной, расположенной между боковыми моренами и конечной мореной. Затем может быть реконструирована последовательность продвижения ледников, причем ледник, имеющий самые лучшие сохранившиеся признаки, отображается последним. Реконструкция последовательности может быть использована для планирования логистики сейсмосъемки.

В другой реализации равнины и гряды могут быть идентифицированы выполнением статистического анализа по равнинному рельефу местности, структурному рельефу местности и эскарпам. Равнинный рельеф местности может быть идентифицирован как районы на цифровой модели возвышений, имеющие уклон меньше чем пять процентов. Структурный рельеф местности может быть идентифицирован как районы на цифровой модели возвышений, имеющие уклон больший чем пять процентов и меньший чем двадцать процентов. Эскарпы могут быть идентифицированы как районы на цифровой модели возвышений, имеющие уклон больший чем двадцать процентов. В одной реализации статистический анализ может быть выполнен созданием гипсографической кривой районов, идентифицированных в качестве равнинных рельефов местности и эскарпов.

В отличие от прототипа [3], в предлагаемом способе также определяют текстуру льда, пределы прочности и модули деформации льда при сжатии и изгибе, построение вертикальных профилей по поверхности ледяного покрова осуществляют с использованием опорных точек, координаты которых X, Y, Z определяют в единой системе координат OXYZ, для оценки прочностных характеристик льда устанавливают регрессионные зависимости, связывающие пределы прочности льда при сжатии и изгибе, и его температуру, при формировании гляциологической карты для конкретного района выделяют ледяные поля, имеющие разную текстуру льда, пределы прочности и модули деформации льда при сжатии и изгибе, при построении рельефа дополнительно используют неориентированный граф Кронрода-Риба, выявляют изоморфные подграфы путем нахождения ближайших подграфов по евклидову расстоянию между вершинами различных графов, определяют вершины эталонного графа Кронрода-Риба для восстанавливаемого рельефа путем вычисления среднего значения координат и высот (глубин) для каждой вершины подграфов Кронрода-Риба.

Цифровая модель возвышений используется для идентификации уклонов исследуемых районов. Уклоны могут быть использованы для идентификации топографических признаков исследуемого района. Топографические признаки могут включать в себя гряды и равнины. Изображение исследуемого района, полученное с помощью спутника, может быть использовано для идентификации классов землеустройства. Классы землеустройства могут включать в себя болота и равнины. Пересечение топографических признаков и классов использования земли может употребляться для идентификации ледниковых признаков исследуемого района. Пересечение гряд и лесов может идентифицировать боковые и конечные морены. Пересечение болот и равнин может идентифицировать донные морены. Границы ледников, которые описывают контур ледников, могут быть начерчены при использовании ледниковых признаков. В этот момент может быть реконструировано продвижение ледников, обрисованных границами.

Ледниковое геоморфологическое картографирование может быть выполнено посредством анализа цифровой модели возвышений и изображения исследуемого района, полученного с помощью спутника. Исследуемый район может быть районом управления использования подземных вод, областью поисковых работ нефти и газа или областью других геотехнических проектов.

Цифровая модель возвышений может быть цифровым представлением топографии земной поверхности или границы раздела. В одной реализации исследуемый район может быть разделен при помощи сетки. Каждая ячейка сетки может представлять фиксированную зону в пределах исследуемого района. Например, каждая ячейка может представлять район рельефа местности 30 на 30 метров (м). Соответственно, цифровая модель возвышений может включать в себя возвышение рельефа местности в пределах каждой ячейки.

Классы рельефа местности могут быть идентифицированы на цифровой модели возвышений. Классы рельефа местности могут включать в себя равнинный рельеф местности, структурный рельеф местности и эскарпы. Равнинные и структурные рельефы местности могут содержать морены. Идентификация эскарпов может быть полезной для планирования логистики. Например, идентификация эскарпов может быть использована для указания местоположений, куда не возможен доступ транспорта. Также эскарпы могут пагубно отразиться на сборе данных для геотехнических проектов по причине рассеивания сейсмических волн.

В одной реализации классов рельефа местности может быть определен уклон или крутизна каждой ячейки. Ячейки могут затем идентифицироваться как классы рельефа местности в зависимости от значения уклона для ячейки.

После идентификации классов рельефа местности, может быть дополнительно уточнена классификация топографии. На цифровой модели возвышений могут быть идентифицированы равнины и гряды. Идентификация равнин и гряд может быть основана на классах рельефов местности для каждой ячейки. В одной реализации может быть выполнен статистический анализ на идентифицированных классах рельефов местности для идентификации областей районов в качестве равнин или гряд. В такой реализации соседние ячейки могут быть сгруппированы вместе для образования области. Совпадение определенных процентных отношений классов рельефов местности в пределах области может быть использовано для идентификации равнин, гряд или другой топографии. В одной реализации статистический анализ может быть выполнен построением гипсографической кривой. Гипсографическая кривая может быть графиком, который показывает пропорцию площади земли к различным возвышениям, в которых находится, посредством изображения зависимости относительной площади к относительной высоте. В такой реализации значения локальных возвышений могут быть рассортированы в классы рельефов местности, т.е. равнинный рельеф местности, структурный рельеф местности и эскарпы. Гипсографическая кривая может быть вычислена из общей суммы количества классов рельефа местности на каждую область. Идентификация равнин и гряд может тогда быть выполнена на основе гипсографической кривой.

В одной реализации изображение, полученное с помощью спутника, может быть изображением дистанционного сбора данных, полученным с помощью спутника. Дистанционный сбор данных является сбором информации об объекте с использованием либо записывающего, либо устройства(в) дистанционного сбора данных в реальном времени, которое не находится в физическом контакте с объектом. Изображение дистанционного сбора данных, полученное с помощью спутника, может измерять отраженный солнечный свет от исследуемого района. В одной реализации, изображение, полученное с помощью спутника, может быть непрерывным цветным изображением системы красный-зеленый-синий (RGB).

Для каждой области могут быть идентифицированы болота и леса. Болота и леса являются примерами классов землеустройства, которые могут отличаться друг от друга на основе типа растительности. В одной реализации классы землеустройства могут быть идентифицированы на основе цвета области, полученной с помощью спутника. Идентификация болот и лесов может быть полезной, так как классы землеустройства могут содержать морены.

Гляциологическая карта может содержать ледниковые признаки. Ледниковые признаки могут быть идентифицированы на основе идентифицированных равнин и гряд в цифровой модели возвышений, а также болот и лесов в изображении, полученном с помощью спутника. Более точно, ледниковые признаки могут быть идентифицированы посредством корреляционной матрицы топографии и классов землеустройства.

Гляциологическая карта может быть сформирована на основе идентифицированных равнин и гряд в цифровой модели возвышений и идентифицированных болот и лесов в изображении, полученном с помощью спутника. Донные морены могут быть идентифицированы на основе корреляции равнин и болот. Боковые и конечные морены могут быть идентифицированы на основе корреляции гряд и лесов. Все другие области могут быть идентифицированы как не являющиеся ледниковыми.

Границы ледников могут быть идентифицированы на основе ледниковых признаков в гляциологической карте. Границы одиночного ледника могут быть идентифицированы посредством идентификации группы признаков. Группа признаков может включать в себя боковую морену на каждой стороне ледника, конечную морену на конце ледника и донную морену, расположенную между двумя боковыми моренами и конечной мореной. Последовательность продвижения ледника может быть определена на основе состояния сохранности ледниковых признаков в сравнении друг с другом. Например, ледник с ледниковыми признаками, которые являются наиболее сохранившимися по сравнению с другими ледниками, может быть последним продвинувшимся ледником.

В одной реализации реконструкция может быть выполнена отображением отдельных ледников на гляциологической карте в последовательности продвижения.

Вычислительная система может включать в себя один или более системных компьютеров, которые могут быть реализованы в качестве любого традиционного персонального компьютера или сервера.

Среда передачи данных может содержать машиночитаемые инструкции, структуры данных, программные модули или другие данные в модулированном сигнале данных, таком как несущая или другой транспортный механизм, и может включать в себя любой носитель для доставки информации. Термин ″модулированный сигнал данных″ может означать сигнал, который имеет одну или более его характеристик, установленных или изменяемых таким образом, чтобы кодировать информацию в сигнале. В качестве примера, а не ограничения, среда передачи данных может включать в себя проводную среду, такую как проводная сеть или непосредственное проводное соединение, и беспроводную среду, такую как акустическую, РЧ (радиочастотную, RF), инфракрасную и другую беспроводную среду. Сочетания любых из вышеприведенных также могут быть включены в пределы объема машиночитаемых носителей.

В одной реализации системный компьютер может представлять выходные данные прежде всего на графический дисплей или в альтернативном варианте на принтер. Системный компьютер может быть расположен в центре обработки данных, удаленном от исследуемого района. Системный компьютер может поддерживать связь со спутником (либо напрямую, либо через записывающий блок, не показан) для получения сигналов, указывающих изображение, полученное с помощью спутника. Эти сигналы после традиционного форматирования и другой начальной обработки могут быть сохранены системным компьютером в качестве цифровых данных на дисковом накопителе для последующего извлечения и обработки.

В отличие от прототипа, в предлагаемом способе устанавливают физико-механические свойства льда, которые с помощью скважинного прессиометра со сферическим индентором диаметром 60 или 80 мм для определения прочности льда при стесненном сжатии, при этом измеряют прочности неконсолидированной части килей торосов. Предел прочности и модуль деформации льда при сжатии определяют по результатам испытаний цилиндрических образцов высотой 250 мм и диаметром 100, 137 или 141 мм. Определяют текстуру льда, пределы прочности и модули деформации льда при сжатии и изгибе.

При этом выбирают два полигона с ровным льдом и при торосистом образовании.

Описание текстуры льда включает наличие воздушных и солевых включений, их форма и размеры, наличие минеральных и органических соединений.

Для оценки прочностных характеристик льда устанавливают регрессионные зависимости, связывающие пределы прочности льда при сжатии и изгибе, и его температуру.

Построение вертикальных профилей по поверхности ледяного покрова осуществляют с использованием опорных точек, координаты которых X, Y, Z определяют в единой системе координат OXYZ.

При анализе текстуры и структуры льда определяют толщины консолидированного слоя (при отсутствии снега на поверхности стамухи), коэффициент заполнения подводной и надводной частей торосистого образования.

Также устанавливают такие физические свойства сред (вода, лед), как теплоемкость, теплопроводность, плотность, скрытая теплота плавления (кристаллизации), которые рассчитываются с использованием полуэмпирических зависимостей этих величин от температуры и солености.

Кроме того, измеряют температуру, относительную влажность воздуха, приземное атмосферное давление, скорость приземного ветра, общий балл облачности. Определяют высоту паруса, глубину киля и выполняют анализ кристаллической структуры ледовых образований (форма кристаллов, размеры, соотношение размеров).

Определяют вертикальные профили температуры в толще ледяного образования, например, посредством буя Argos, оснащенного термокосой длиной 5 м.

Измеренные параметры наносят на цифровые карты, полученные от внешних источников информации. На эти же карты наносят сезонные параметры, полученные за многолетние наблюдения в данном районе и хранящиеся в ПЗУ процессорного блока, соединенного с модулем картографирования ледниковой геоморфологии, обеспечивающего прием изображения исследуемого района, полученного с помощью спутника, построение цифровой модели ледовых образований, включая 2D-схемы вертикального сечения ледяного образования с выделением элементов внутреннего строения, формирование гляциологической карты.

При этом в качестве дополнительных датчиков системы мониторинга ледовых образований, могут быть использованы, кондуктометр для определения солености, например, типа «Cond 330i» фирмы WTW (DE), керноотборник для определения плотности, например, типа «Mark 5» фирмы Kovacs Enterprise (US), прецизионный электронный термометр для измерения температуры, например, типа «GTH175/MO» фирмы Greisinger Electronic (DE), тахеометр для определения морфометрических характеристик, например, типа «Nikon Nivo 5MW», а также телеуправляемый подводный аппарат, оснащенный видеокамерой и гидролокатором бокового обзора или/и параметрическим профилографом для получения снимков подводной части ледовых образований, представляющих потенциальную опасность, например, для добычной ледовой платформы.

В предлагаемом способе при описании свойства непрерывности для поверхностей использованы дискретные инструменты для их описания. Компьютерные вычислительные технологии также предполагают дискретность информации, описывающей исследуемые объекты.

Таким дискретным инструментом может служить граф Кронрода-Риба, соответствующий некоторому образу рельефа (Симонов Ю.Г., Болысов С.И. Методы геоморфологических исследований: Методология. - М.: Аспект Пресс, 2002. - 191 с.; Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. - М.: Научный мир, 2008. - 396 с.; Жуков Ю.Н. Рельеф как математический объект // Навигация и гидрография, 2011, №32, стр.49-59; Грейсух В.Л. Образное представление геоморфологической информации. // Рельеф Земли и математика. - М.: Мысль, 1967. - С.18-43. Симонов Ю.Г. Объяснительная морфометрия рельефа. - М.: ГЕОС, 1999. - 263 с.). Формально неориентированный граф G, каким является граф Кронрода-Риба, определяется как упорядоченная пара G=(V, Е), для которой выполнены следующие условия: V - это непустое множество вершин или узлов; E - это множество неупорядоченных пар вершин, называемых ребрами. Очевидно, что в нашем случае V и E конечные множества. Вершины и ребра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | - порядком, число ребер | E | - размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e={u, v}. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними. Ребро называется петлей, если его концы совпадают, то есть e={v, v}. Степенью degV вершины V называют количество инцидентных ей ребер. Граф Кронрода-Риба представляет собой неориентированный граф без петель, у которого все концевые вершины имеют степень, равную единице, а все внутренние вершины - трем. Вершины графа Кронрода-Риба являются образами критических точек образа рельефа, причем концевые вершины являются образами локальных минимумов и максимумов, а внутренние - образами седловых точек.

Неориентированные графы можно сравнивать между собой как объекты, представляющие собой множество вершин с отношениями между ними - ребрами. Обобщенное отношение сравнения между двумя графами называется отношением гомоморфизма (или просто гомоморфизмом). Гомоморфизм (греч. isos - одинаковый, homoios - подобный и morphe - форма) - понятия, характеризующие соответствие между структурами объектов. Гомоморфизм двух графов Кронрода-Риба следует интерпретировать как свойство сходства формы двух образов рельефа. Таково же отношение между образом рельефа и местностью.

На основе понятия гомоморфизма можно определить понятие изоморфизма. Изоморфизм есть отношение взаимного гомоморфизма систем. Изоморфизм есть уточнение понятия одинаковости по форме: форма есть то общее, что имеется у всех изоморфных систем. Изоморфизм буквально означает эквивалентность или сходство формы (iso-morphism). Возвращаясь к нашему определению графа посредством двух множеств: множества вершин V и множества ребер (дуг) E, получим следующие варианты определений гомоморфизма и изоморфизма.

Гомоморфизм неориентированного графа G₁=(V₁, E₁) в неориентированный граф G₂=(V₂, E₂) есть такое отображение h: V₁→V₂, что для любых двух вершин первого графа, соединенных ребром, их образы при отображении h также соединены ребром, т.е. ( ( ∀ u , v ∈ V 1 ) ( { u , v } ∈ E 1 ⇒ { h ( u ) , h ( v ) } ∈ E 2 ) .

Изоморфизм неориентированного графа G₁ на неориентированный граф G₂ есть такая биекция h: V₁→V₂, при которой две вершины u и v графа G₁ соединены ребром тогда и только тогда, когда соединены ребром их образы h(u) и h(v), т.е.

( ∀ u , v ∈ V 1 ) ( u − v ⇔ h ( u ) − h ( v ) ) .

Между образами рельефа всегда имеется отношение гомоморфизма, но не изоморфизма. Поэтому очевидно, что задачей выявления сходства между образами является задача выявления изоморфных подграфов в исходных графах.

Алгоритмы вычисления изоморфных подграфов графов для общего случая известны, но это сложная комбинаторная задача (Жуков Ю.Н. Математические инструменты описания картографического отображения рельефа Земли // Навигация и гидрография, 2011, №32, стр.60-69).

Упростить решение этой задачи можно путем оснащения вершин графов Кронрода-Риба соответствующими им значениями высот (глубин) критических точек и их пространственных координат. Очевидно, что координаты разных графов не могут быть равны. Поэтому изоморфные подграфы следует выявить, находя ближайшие по евклидову расстоянию между вершинами различных графов. На основе найденных изоморфных подграфов можно вычислить вершины эталонного графа Кронрода-Риба для рельефа путем вычисления среднего значения координат и высот (глубин) для каждой вершины подграфа. Очевидно, что достоверность эталонного графа Кронрода-Риба будет тем выше, чем для большего числа графов Кронрода-Риба он является изоморфным подграфом. Кроме того, если кроме графа Кронрода-Риба вычислять положение сепаратрис клеток Морса-Смейла для образа рельефа, то становится возможным восстановление образа рельефа по эталонному графу и сепаратрисам.

При построении рельефа на графопостроителе непрерывную область акватории с измеренными глубинами дискретизируют посредством узлов регулярной сетки. Затем определяют граф, задавая связи (ребра графа) на этой сетки. Связи определяются путем индексирования узлов регулярной сетки с помощью дерева Фарадея-Коши.

Обработка исходных наблюдений при этом включает процедуру введения координат (упорядочения) точек измерения - триангуляцию. При этом поверхность подменяется триангуляционной сетью - неориентированным графом. Структура графа представляет информацию только об упорядочении пространственных координат-точек с измеренными глубинами. Модельной функцией нахождения структурных линий на поверхности рельефа - гребней и ложбин, является функция

H(x, y)=3(1-x)²exp(-x)²-(y+1)²-10(x/5-x³-y⁵)exp(-x²-y²)-1/3 exp(-(x+1)²-y²),

в области, которой находятся точки наблюдений (измерений).

В предлагаемом способе триангуляционная сетка точек измерений, описываемых функцией H(x, y), строится в виде взвешенного неориентированного графа. При этом гребни и ложбины соответствуют путям на ребрах этого графа с минимальной длиной. Эти минимальные пути определяются посредством алгоритма Дейкстры - поиска кратчайших путей на графе. Структура графа с точки зрения представления информации о геопространственном поле в ЭВМ, как поверхности, является дискретной информационной структурой, соответствующей дискретной форме внутреннего функционирования ЭВМ.

Далее в отличие от прототипа [3], при построении рельефа, дополнительно используют неориентированный граф Кронрода-Риба, присваивают вершинам графов Кронрода-Риба соответствующими им значениями высот (глубин) критических точек поверхности и их пространственных координат, выявляют изоморфные подграфы, путем нахождения ближайшие подграфы по евклидову расстоянию между вершинами различных графов, определяют вершины эталонного графа Кронрода-Риба для восстанавливаемого рельефа, путем вычисления среднего значения координат и высот (глубин) для каждой вершины подграфов Кронрода-Риба.

При этом триангулированное множество точек поверхности представляется симплициальным комплексом K (в нашем случае обязательно конечным), в котором каждый треугольный элемент состоит из самостоятельных объектов σ с различной топологической размерностью p, называемых p-симплексами. В нашем случае двумерной поверхности рельефа p-симплексами будут: вершины узлов триангуляции - точки (отдельные) с p=0, стороны треугольников (без конечных точек и внутренней области треугольника) - ребра с p=1, и область внутри треугольника (без вершин и сторон) с p=2.

Дискретной функцией Морса f на K называется отображение

такое, что для каждого σ^(p)∈K_p и двух условий:

Здесь R - множество действительных чисел, σ^(p) - симплекс размерности p, K_p - подкомплекс комплекса K, состоящий из симплексов размерности p, знак # определяет число симплексов, удовлетворяющих условиям, указанным в фигурных скобках. Дискретную функцию Морса f можно представлять как функцию, увеличивающуюся с размерностью симплексов в том смысле, что существует не более одного направления, в котором f уменьшается при переходе от p-симплекса σ к (p+1)-симплексу τ. Структурными точками рельефа являются наинизшие точки котловин, точки перевалов и точки пиков вершин. Аналогом этих точек можно представить критические точки дискретной функции Морса f, являющиеся симплексами σ^(p) (размерностью p), для которых выполняются равенства:

Другими словами, наинизшим точкам котловин соответствуют точки вершин треугольников с минимальными значениями f по сравнению со значениями f на смежных ребрах и треугольниках; точкам перевалов соответствуют ребра, на которых значения f строго не больше, чем на их концевых точках, а значения f на треугольниках, примыкающих к ребрам, строго больше, чем на соответствующих ребрах; точкам пиков горных вершин соответствуют внутренние области треугольников, значения f на которых строго больше, чем на образующих их ребрах.

Вектор в дискретной функции Морса f представляет собой упорядоченную пару симплексов (σ, r) таких, что σ^(p)<τ^(p+1) и f(τ)≤f(σ). Вектор направлен от σ^(p) к τ^(p+1). Дискретное векторное поле V на K представляет собой набор векторов {σ^(p)<τ^(p+1)} таких, что каждый симплекс K входит не более чем в один вектор из V. Если дано дискретное векторное поле V на K, то V - путем называется упорядоченная последовательность симплексов

таких, что для каждого i=0, …, r вектор {σ^(p)<τ^(p+1)}∈V и τ i ( p + 1 ) > σ i + 1 ( p ) ≠ σ i ( p ) . Дискретное векторное поле V для дискретной функции Морса f эквивалентно векторному полу градиентов для гладкой функции Морса, соответствующей f (Forman R. Morse theory for cell complexes. // Advances in Mathematics. 1998, №134, 90-145 pp.).

Последнее обстоятельство позволяет получить следующий алгоритм вычисления местоположения линий водоразделов и тальвегов:

Вычислить двумерную триангуляцию Делоне для координат измерения глубин.

По данным триангулирования и измеренным глубинам вычислить дискретную функцию Морса f.

Вычислить критические точки f.

Вычислить дискретное векторное поле V для f.

Вычислить векторные пути (по формуле (6)), которые ведут из минимумов в седла, а из седел в максимумы f.

Последовательность симплексов этих векторных путей будут представлять местоположения искомых линий водоразделов и тальвегов. Заметим, что из выражения (6) следует, что сепаратрисы, соединяющие максимум с седлом, образуются последовательностью треугольников, а сепаратрисы, соединяющие седла и минимумы, представляют собой последовательность ребер.

Преимущество данного алгоритма перед другими состоит в том, что в отличие от других алгоритмов он не требует никакой дополнительной информации, кроме массива точечных измерений глубин. Всю остальную необходимую информацию, например, местоположение критических точек, вычисляют в процессе выполнения алгоритма. Далее определяют погрешность восстановления рельефа в виде максимального значения абсолютной величины разности между истиной поверхностью и восстановленной. Отсутствие известных способов сравнения формы образов рельефа между собой, а также нев