Вибраторная антенна

Вибраторная антенна

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Предлагаемая вибраторная антенна относится к области антенной техники и может быть использована как самостоятельная (отдельно стоящая) антенна, так и в качестве возбудителя директорных антенн, а также как облучатель зеркальных параболических антенн и антенн со специальной формой профиля зеркала.

Актуальность совершенствования перечисленных типов антенн обусловлена необходимостью их максимально возможной адаптации к электрическим/электронным способам управления положением диаграммы направленности в окружающем антенну пространстве. Для разрабатываемых ныне устройств необходимы компактные излучатели линейно поляризованных радиоволн, которые могли бы быть легко сопрягаемыми с электрически/электронно регулируемыми устройствами различных типов без излишних соединительных коаксиальных, полосковых или микрополосковых линий передачи.

Реализация вибраторных (другими словами: дипольных) антенн, диаграмма направленности которых ориентирована в пространстве не перпендикулярно к оси вибратора, а под некоторым углом к ней, будет способствовать введению в процедуру проектирования антенны дополнительной степени свободы и позволит задействовать электрические способы управления диаграммой направленности за счет регулирования разности фаз напряжений, возбуждающих отдельные половины вибратора. В частности, сокращается число электрически управляемых фазовращателей в фазированных антенных решетках, так как уже сама вибраторная антенна, выступающая здесь в роли базового излучающего элемента, имеет отклоненную диаграмму направленности. В случае использования такой вибраторной антенны с изначально отклоненной диаграммой направленности в качестве облучателя зеркальных антенн (или возбудителя директорных антенн) открывается возможность качания луча зеркальной антенны без взаимного перемещения облучателя и зеркала (или качания луча в директорной антенне без изменения ее конфигурации). При дискретном перемещении в пространстве луча директорной антенны возможно построение, так сказать, «многолучевой директорной антенны».

Известна классическая вибраторная антенна, содержащая два коллинеарных идентичных цилиндрических проводника, смежные концы которых расположены в непосредственной близости, описанная еще в конце XIX - начале XX веков, а также в многочисленной литературе последних десятилетий, в частности в работе: Марков Г.Т., Сазонов Д.М., «Антенны». - М.: Энергия, 1975, глава 2. Антенна содержит также симметрирующее устройство, выходы которого соединены со смежными концами коллинеарных проводников. Конструктивно оба коллинеарных проводника и симметрирующее устройство скомпонованы в законченную сборочную единицу, которая и является антенной. Различные варианты компоновки описаны в вышеупомянутой работе «Антенны» в разделах 9-2, 9-3, 9-4, 13-5, рис.14-4, а также во многих других работах, и широко применяются в антенной технике.

Однако, независимо от конструктивно-компоновочного решения, классическая вибраторная антенна имеет диаграмму направленности, направление максимума которой всегда перпендикулярно оси вибратора.

Известна также вибраторная антенна (другими словами: диапазонный шунтовой вибратор), описанная в работе: Айзенберг Г.З., «Антенны УКВ». - М.: Государственное изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1957, стр.258. В этой антенне сигнал подается на смежные концы двух идентичных коллинеарных цилиндрических проводников, закрепленных на металлическом кронштейне в их средних точках. Такое исполнение антенны позволяет регулировать ее входное сопротивление за счет изменения положения точек крепления.

Однако, и эта вибраторная антенна, независимо от уровня ее входного сопротивления, формирует в пространстве диаграмму направленности так, что направление ее максимума перпендикулярно оси шунтового вибратора.

Известна также вибраторная антенна (другими словами: излучатель с дельта - трансформатором), образованный отводами симметричной двухпроводной линии, подключенными симметрично к двум точкам сплошного цилиндрического проводника, описанная в работе: Дорохов А.П., «Расчет и конструирование антенно-фидерных устройств». - Харьков: изд-во Харьковского ун-та, 1960, стр.69, рис.30.II (а). В этом излучателе согласование с источником сигнала обеспечивается выбором точек подключения расходящихся отводов двухпроводной линии (симметричного фидера).

Однако и эта антенна, независимо от уровня ее входного сопротивления, формирует в пространстве диаграмму направленности с направлением максимума перпендикулярно оси сплошного цилиндрического проводника.

Известна также вибраторная антенна (другими словами: дипольный излучатель), содержащая два коллинеарных идентичных цилиндрических проводника, питающий коаксиальный кабель и симметрирующее устройство с входным и двумя противофазными выходными плечами, описанная в патенте РФ №2472261, 2013 г. При этом противофазные выходные плечи симметрирующего устройства соединены с удаленными концами коллинеарных проводников, а питающий коаксиальный кабель соединен с его входным плечом. Такое исполнение антенны позволяет повысить технологичность сборочных, монтажных и компоновочных работ.

Однако и эта антенна формирует в пространстве диаграмму направленности, максимум которой ориентирован в направлении, перпендикулярном оси коллинеарных проводников.

Прототипом предлагаемого изобретения является вибраторная антенна, описанная в вышеупомянутой работе «Антенны», стр.10, рис.В-3. В этой антенне излучающий элемент (система) представляет собой поверхность металлического проводника, разделенного в середине зазором. Для возбуждения токов на излучающей поверхности используется распределитель мощности в отношении 1:1, должным образом присоединенный к плечам вибратора, т.е. плечи вибратора также входят в состав распределителя мощности. За счет специального подбора (иными словами: путем настройки) размеров и параметров составных частей распределителя обеспечивается хорошее согласование антенны с питающим коаксиальным кабелем стандартного волнового сопротивления 50 или 75 Ом, подключаемым к антенне через коаксиальный разъем.

Однако описанная антенна является частным случаем (конкретным конструктивно-компоновочным решением) полуволновой вибраторной антенны, что следует из текста 2-го абзаца стр.10 вышеупомянутой работы «Антенны». Поэтому направление максимума ее диаграммы направленности перпендикулярно оси проводника, разделенного в середине зазором. Если упомянутый проводник расположен горизонтально, то направление максимума излучения будет строго вертикальным, т.е. в зенит.

Задачей предлагаемого изобретения является создание вибраторной антенны, максимум диаграммы направленности которой отклонен от перпендикуляра к оси проводника на 20°.

Решение поставленной задачи обеспечивается тем, что в известной вибраторной антенне, содержащей вытянутый узкий проводник с малым поперечным сечением, разделенный в середине зазором на две половины со смежными и удаленными концами по отношению друг к другу, двухканальный равноамплитудный распределитель мощности, один из выходов которого соединен со смежным концом одной из половин проводника отрезком линии передачи, при этом вход этого распределителя является входом антенны, указанный распределитель выполнен квадратурным, а его второй выход соединен с удаленным концом другой половины проводника идентичным указанному отрезком линии передачи.

На фиг.1 изображена предлагаемая вибраторная антенна, на фиг.2 показано распределение тока вдоль цилиндрических половин металлического проводника, на фиг.3 представлены зависимости активных сопротивлений при синфазном и квадратурном возбуждениях от относительной длины излучающих половин, на фиг.4 изображены диаграммы направленности в плоскости электрического вектора E → для верхней полусферы окружающего пространства, на фиг.5 показан вариант реализации вибраторной антенны с компенсирующими неизлучающими индуктивными сопротивлениями в виде короткозамкнутых коаксиальных линий, на фиг.6 представлены расчетные и экспериментальные значения возвратных потерь (return loss) 20lg(S₁₁) опытного образца, на фиг.7 изображены расчетные и экспериментальные диаграммы направленности опытного образца в плоскости электрического вектора E → для основной поляризации, на фиг.8 показаны расчетные и экспериментальные диаграммы направленности опытного образца в плоскости магнитного вектора H → для основной поляризации.

Предлагаемая вибраторная антенна (фиг.1) содержит вытянутый узкий проводник с малым поперечным сечением, разделенный в середине зазором 1 на две половины 2 и 3 со смежными 4, 5 и удаленными 6, 7 концами, а также двухканальный равноамплитудный распределитель мощности 8 со входом 9 и выходами 10 и 11. При этом смежные концы 4 и 5 обеих половин 2 и 3 расположены в непосредственной близости. Это означает, что расстояние 2b между концами 4 и 5 не превышает 0.01 λ_с, где λ_с - средняя длина волны рабочего диапазона частот f_L…f_R антенны:

Упомянутое ограничение соответствует классификации расстояний, зазоров и размеров поперечного сечения узких проводников излучателей, принятой в области антенн и указанной в вышеупомянутой работе «Антенны», глава 2.

Питающий коаксиальный кабель через приборно-кабельный (это означает, что на корпусе распределителя установлена розетка/гнездо, а на конце кабеля - вилка/штыревое окончание с накидной фасонной гайкой, навинчиваемой после механического соединения на резьбовую часть розетки) коаксиальный разъем (на фиг.1 кабель и разъем условно не показаны) соединен со входом 9 распределителя 8, квадратурные выходы (выходные плечи) 10 и 11 которого соединены с удаленным концом 6 одной из половин 2 и смежным концом 5 другой половины 3 соответственно идентичными отрезками 12 и 13 линий передачи. Конкретный тип линий передач определяется конструктивным исполнением распределителя 8 и заявляемой антенны в целом: при объемном коаксиальном исполнении отрезки 12 и 13 будут, скорее всего, также коаксиальными, а при полосковом печатном исполнении - полосковыми линиями передачи, формируемыми путем травления медной фольги с пробельных мест полностью фольгированной изначально диэлектрической заготовки. При достаточно высоких рабочих частотах (свыше 3 ГГц) может быть использовано микрополосковое исполнение как антенны в целом, так и отрезков 12 и 13 в частности, когда проводящие фрагменты отрезков и антенны формируются путем вакуумного изоирательного осаждения паров/атомов меди на незащищенные фоторезистом участки керамических подложек из материалов типа «Поликор», «22ХС», «Брокерит» и т.п.

Сама вибраторная антенна предполагается расположенной в безграничном свободном изотропном пространстве с относительными диэлектрической ε_r и магнитной µ_r проницаемостями

и с этой антенной связана декартовая система координат, изображенная на фиг.1 так, что начало координат находится на оси половин 2 и 3 вытянутого узкого проводника в центре зазора 1 между их смежными концами 4 и 5. Антенна фиксируется в свободном пространстве соответствующей системой установки и крепления на объекте-носителе (на фиг.1 элементы установки и крепления условно не показаны).

Принцип действия предлагаемой вибраторной антенны состоит в следующем.

Пусть от генератора высокочастотных колебаний по питающему коаксиальному кабелю на вход 9 распределителя 8 поступает гармонический сигнал с частотой f_c:

где φ₉ - произвольная начальная фаза сигнала,

U₉ - его амплитуда.

Поданный сигнал делится поровну (в отношении 1:1) между синфазными выходами 10 и 11, причем формирующиеся в распределителе фазовые набеги φ₁₀ и φ₁₁ (в общем случае - произвольные величины) отличаются на 90° (φ₁₁=φ₁₀±π/2), что обеспечивает на частоте f_c равноамплитудность и квадратурность выходных сигналов µ₁₀(t)и µ₁₁(t) распределителя 8:

Под воздействием приложенных к концам 5 и 6 напряжений (4) на проводящей поверхности половин 2 и 3 возникают электрические токи, которые распределяются по их поверхности так, что возбуждаемое ими в окружающем свободном пространстве электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла и граничным условиям на поверхности проводников 2 и 3 (фиг.1). В соответствии с общепринятой методикой анализа любых излучателей вначале решается внутренняя задача, позволяющая найти распределение токов по излучающим элементам, а затем в процессе решения внешней задачи находятся все характеристики излучателя (см. вышеупомянутую работу «Антенны», стр.50), в том числе сопротивление излучения, диаграмма направленности и т.д.

В процессе решения внутренней задачи, как правило, берутся цилиндрические проводящие половины 2 и 3 радиуса а (фиг.1), удовлетворяющие «тонкоцилиндровым» требованиям и условию максимальной близости смежных концов 4 и 5 каждой из половин:

При выполнении этих условий, а также с учетом осевой симметрии проводящих половин 2 и 3 допустимы следующие утверждения (см. вышеупомянутую работу «Антенны», стр.50, 51).

Во-первых, поверхностные электрические токи на проводящих половинах 2 и 3 характеризуются только продольной составляющей с комплексной амплитудой плотности тока J z Э ( z ) . Торцевые токи половин 2 и 3 на смежных концах 4 и 5 при этом игнорируются. По известной плотности тока определяется комплексная амплитуда продольного электрического тока , который мыслится как бесконечно тонкая токовая нить, совпадающая с осью z в пределах -l≤z≤l. В этих пределах ток I z Э ( z ) считается непрерывной функцией координаты z и обращается в нуль на концах 4 и 7. Если в соответствии с (5) пренебречь размером b, то должно соблюдаться условие:

где выражение z=0-0 означает тот факт, что переменная z неограниченно стремится к нулю (|z|→0), оставаясь при этом отрицательной (z<0).

Во-вторых, касательная составляющая E_кac(z) вектора напряженности электрического поля, создаваемая нитью тока I z Э ( z ) на боковой поверхности идеально проводящих половин 2 и 3, охватывающих нить тока (т.е., при x=y=ρ=а), обращается в нуль:

где ρ=а - расстояние от оси z до боковой поверхности проводящих половин 2 и 3.

Сформулированные утверждения позволяют дать математическую формулировку внутренней задачи заявляемой вибраторной антенны, а именно: неизвестное распределение тока I z Э ( z ) создает на боковых поверхностях проводящих половин 2 и 3 векторный потенциал только с продольной составляющей A z Э ( z ) . Эта составляющая определяет продольную составляющую вектора напряженности электрического поля Е_кас(z), которая является одновременно составляющей, касательной к боковой поверхности цилиндрических половин 2 и 3, в виде:

где ε₀, µ₀ - электрическая и магнитная постоянные вакуума соответственно:

ω - круговая частота,

z → 0 - орт оси z.

Формула (8) получена исходя из общей формулы для напряженности электрического поля E → ( x , y , z ) в произвольной точке P(x,y,z) окружающего пространства, определяемой по векторному потенциалу A Э → ( x , y , z ) электрического тока и векторному потенциалу A м → ( x , y , z ) магнитного тока в элементах антенны (см. вышеупомянутую работу «Антенны», стр.15):

причем поскольку b<<l [условия (5)], вкладом кольцевого магнитного тока в зазоре 1 между смежными концами 4 и 5 половин 2 и 3, каким бы он ни был, можно пренебречь. Это соответствует тому, что в формуле (10) A → м ( x , y , z ) = 0 .

В свою очередь векторный потенциал A → Э ( x , y , z ) связан с плотностью электрического тока J → Э ( x ′ , y ′ , z ′ ) в каждой точке Q(x′,y′,z′), принадлежащей излучающим половинам 2 и 3, соотношением, приведенном в вышеупомянутой работе «Антенны» на стр.17:

где k = 2 π λ - волновое число окружающего свободного пространства;

R S = ( x − x ' ) + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 - расстояние между точками наблюдения P(x,y,z) и интегрирования Q(x′,y′,z′),

V′ - объем пространства, занимаемого токами проводимости с плотностью J → Э ( x ′ , y ′ , z ′ ) ,

причем интегрирование в (11) ведется только по «штрихованным» координатам x′,y′,z′ в пределах объема V′, занимаемого излучающими половинами 2 и 3 узкого вытянутого проводника (фиг.1).

Учитывая, что согласно первому утверждению при формулировке внутренней задачи ток проводимости в заявляемой антенне имеет только продольную составляющую

а также в очередной раз пренебрегая расстоянием 2b между смежными концами 4 и 5 цилиндрических проводящих половин 2 и 3 (фиг.1), из (11) получаем:

Поскольку векторный потенциал A → Э электрического тока заявляемой вибраторной антенны имеет только проекцию на ось z (иными словами: только продольную составляющую A z Э , касательную к боковой поверхности цилиндрических проводящих половин 2 и 3), то это позволяет, исходя из уравнений (7) и (8), получить интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестного пока еще закона изменения (распределения) «нитевидного» электрического тока I z Э ( z ' ) , текущего вдоль проводящих половин 2 и 3 по их оси z′ (совпадающей с осью z):

После ряда преобразований последнее уравнение приводится к виду (от «штрихованной» координаты z′ целесообразно вернуться к «нештрихованной» z на основании методики, описанной в работе: Кочержевский Г.Н., «Антенно-фидерные устройства», М.: Связь, 1972, стр.57):

здесь С - произвольная константа,

f [ I z Э ( z ) , z ] - функционал тока вдоль излучателя,

χ - малый параметр (параметр «тонкоцилиндровости» проводящих половин 2 и 3):

Если радиус половин 2 и 3 мал, χ стремится к нулю , и уравнение (15) примет вид:

Полученное дифференциальное уравнение (17) является усеченным вариантом однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

где n=2;

p₁(x)=0;

x=z.

При этом предполагается, что как первая, так и вторая производные тока I z Э ( z ) непрерывны на отрезке [-l≤z≤l]. Как известно из курса высшей математики, фундаментальная система решений общего уравнения (18) формируется из линейной комбинации n любых линейно - независимых частных решений. Упомянутую фундаментальную систему принято формировать по методу Эйлера, согласно которому

что при n=2 дает:

Далее решается характеристическое уравнение:

имеющее чисто мнимые корни: λ 1 = j k ,   λ 2 = − j k ,        (22)

дающее общее решение (20) дифференциального уравнения (17) относительно «нитевидного» тока проводимости I z Э ( z ) , текущего по оси проводящих половин 2 и 3 (фиг.1), причем далее верхний индекс «э» в обозначениях тока и других величин с целью сокращения записи опускается:

Здесь С₁ и С₂ пока еще произвольные постоянные, которые конкретизируются исходя из следующих граничных условий, налагаемых на распределение тока I_z(z):

а) на конце 4 половины 2 и конце 7 половины 3 (фиг.1) ток проводимости становится равным нулю, что при условии b<<l формулируется как:

б) на конце 6 половины 2 и конце 5 половины 3, соединенных с синфазными выходами 10 и 11 распределителя мощности 8 (фиг.1), амплитуда тока равна I_l:

При этом в соотношении (24) выражение z=0-0 означает, что переменная z неограниченно приближается (стремится) к нулю, оставаясь отрицательной, а в соотношении (25) аналогичное по форме выражение z=0+0 означает неограниченное приближение переменной z к нулю справа (т.е., переменная z остается положительной).

Использование граничных условий (24) и (25) для отрицательных значений z дает:

а) при z=0-0: I_z(z=0-0)=C₁=0;

б) при z=-l: I_z(z=-l)=C₂sin(-kl)=I_l. Отсюда: С₂=-I_l/sin(kl)=-I_m.

Тогда:

Использование граничных условий (24) и (25) для положительных значений z приводит к результату:

a) при z=0+0: I_z(z=0+0)=С₁=I_l;

б) при z=+l: I_z(z=l)=C₁cos(kl)+C₂sin(kl)=0;

.

Поэтому:

Таким образом, внутренняя задача применительно к рассматриваемой вибраторной антенне решена, что позволяет с учетом (26) и (27) записать выражение для «нитевидного» тока проводимости I_z(z), текущего по оси проводящих половин 2 и 3 (фиг.1) в виде:

а также приступить к решению внешней задачи. Следует при этом отметить, что ток проводимости I_z(z) распределен вдоль оси z по синусоидальному закону с амплитудой синусоиды (другими словами: с пучностью тока) I_m=I_l/sin(kl), где I_l - амплитуда тока на концах 6 и 5 проводящих половин 2 и 3 соответственно [фиг.1, см. также условие (25)].

Решение внешней задачи начинается с получения уравнения диаграммы направленности F_E заявляемой вибраторной антенны (фиг.1), характеризующей электромагнитное поле в произвольной точке P(x,y,z) наблюдения, находящейся в дальней зоне Фраунгофера, где | R → | > > λ , R → = x → 0 x + y → 0 y + z → 0 z - есть радиус - вектор точки наблюдения. В соответствии с общепринятой методикой, совместим, согласно вышеупомянутой работы «Антенны», раздел 2.4, начало сферической системы координат (R,θ,φ) с началом декартовой системы (x,y,z), изображенном на фиг.1 посредине между смежными концами 4 и 5 половин 2 и 3. Поскольку ток в заявляемой антенне течет только в направлении оси z [см. формулу (28)], то векторный потенциал A → ∞ в дальней зоне Фраунгофера будет иметь также только z-составляющую A → z ∞ , равную согласно (13):

где R → S * = R → − z → ' есть в данном случае разностный вектор между радиусом-вектором R → ( x , y , z ) точки наблюдения P(x,y,z) и текущим радиусом-вектором z → ' = z → 0 z ' точки интегрирования Q(x′,y′,z′), перемещающейся по оси z′ половин 2 и 3 от точки z′=-l до точки z′=l. Согласно теореме косинусов и последующего разложения радикала в ряд Тейлора для дальней зоны получим (в дальней зоне используются только два элемента ряда):

где z′cosθ представляет собой разность хода лучей, проведенных из начала координат и из текущей точки интегрирования z′ в точку наблюдения P(x,y,z), причем текущая точка интегрирования z′ мыслится как середина бесконечно малого участка dz′ разбиения половин 2 и 3 (фиг.2). Этот бесконечно малый участок рассматривается как элементарный электрический диполь Герца, структура поля которого хорошо известна (см. вышеупомянутую работу «Антенны», раздел 1-3, стр.24-26), что позволяет записать в сферической системе координат следующие уравнения для участка dz′ разбиения (фиг.2):

где θ₁ - угол между разностным вектором R → S * и осью z в положительном ее направлении,

W = μ 0 μ r / ε 0 ε r - волновое (характеристическое) сопротивление свободного безграничного пространства.

В дальней зоне Фраунгофера θ₁≈θ; для знаменателей формул (31) и (32) 1 / R S * ≈ 1 / R .

Для того чтобы детально изложить математические аспекты ключевых этапов решения внешней задачи для заявляемой вибраторной антенны (фиг.1), предположим для начала, что ее распределитель 8 выполнен синфазным. Это допущение означает, что в выражениях (4) фазовые набеги φ₁₀ и φ₁₁ равны, в результате чего u₁₀(t)=u₁₁(t). Поэтому для суммарного электрического поля заявляемой антенны в терминах соответствующих сферических проекций с учетом (28), (30) - (32), имеем:

Интегралы I₁ и I₂ в (33) вычисляются двукратным интегрированием по частям [см. вышеупомянутую работу «Антенны», стр.62]:

Применяя (34), последовательно вычисляем:

Подставляя (35) и (36) в (33), получаем для напряженности E → электрического поля заявляемого излучателя в дальней зоне Фраунгофера выражение:

где Q=-ReQ+jImQ,

С учетом (32) напряженность H → магнитного поля заявляемого излучателя запишется:

Полученные уравнения свидетельствуют о том, что заявляемая вибраторная антенна (фиг.1) является линейно-поляризованной [формула (37)] и обладающей всенаправленным свойством в плоскости вектора H ⇀ магнитного поля. Свойство всенаправленности означает, что напряженность электрического поля не зависит от угла φ, изменяющегося от 0° до 360° и отсчитываемого в плоскости xoy (фиг.1) при θ=π/2 от положительного направления оси x в сторону положительного направления оси у. Другими словами, угол φ не фигурирует в уравнениях (37)-(39). В то же время, в плоскости поляризации (плоскости вектора E → = θ → 0 E θ ) заявляемая антенна обладает направленным свойством, что принято характеризовать нормированной диаграммой направленности F_E антенны по полю [см. вышеупомянутую работу «Антенны», стр.21]. С учетом (37) получаем:

Анализ диаграммы направленности (40) свидетельствует о том, что в интервале нормированных длин проводящих половин 2 и 3

максимум излучения ориентирован в направлении θ=π/2 (плоскость xoy на фиг.1). При этом боковые лепестки в диаграмме направленности отсутствуют. При дальнейшем увеличении l/λ в ней появляются боковые лепестки, а затем она становится двухвершинной (т.е. раздваивается), что объясняется появлением противофазных участков в распределении тока I_z(z) вдоль проводящих половин 2 и 3 (фиг.1). Кроме того, при всех значениях l/λ излучение вдоль оси z излучателя отсутствует, а вследствие осевой симметрии [угол φ отсутствует в формулах (37) и (39)] диаграмма направленности F_E в плоскости xoy равномерна и в полярной системе координат представляет собой окружность единичного радиуса. Существенно также, что фаза напряженности поля в дальней зоне Фраунгофера не зависит от углов наблюдения, и поэтому заявляемая вибраторная антенна имеет фазовый центр, совпадающий с началом координат [геометрическим центром излучающих проводящих половин 2 и 3 (фиг.1)].

Следующим шагом является расчет сопротивления излучения R_m, отнесенного к амплитуде I_m тока в пучности, с последующим определением активной составляющей R_m входного импеданса излучателя. В соответствии с вышеупомянутой работой «Антенны», стр.64, для этой цели используется метод вектора Пойнтинга, который заключается в интегрировании плотности потока мощности, определяемой радиальной составляющей вектора Пойнтинга, по поверхности сферы, находящейся в дальней зоне, в центре которой находится заявляемая антенна. Поскольку в дальней зоне оба вектора E → = θ → 0 E θ и H → = ϕ → 0 H ϕ ортогональны радиальному орту r → 0 , то среднее за период значение вектора Пойнтинга P → c p имеет только радиальную составляющую. На основании материалов работы: Никольский В.В. «Математический аппарат электродинамики», М: МИРЭА, 1973, стр.79-81, величина P → c p определяется с использованием векторных произведений как:

где Т_с - период высокочастотного колебания на частоте /с входного сигнала [см. формулу (3)], E → ( t