Способ добычи нефти или газа с применением компьютерного моделирования нефтяного или газового месторождения и эксплуатационного оборудования

Способ добычи нефти или газа с применением компьютерного моделирования нефтяного или газового месторождения и эксплуатационного оборудования

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Область техники, к которой относится изобретение

Настоящее изобретение относится к добыче нефти и газа с применением компьютерного моделирования нефтяного или газового коллектора (резервуара) и эксплуатационного оборудования.

Уровень техники

На фиг. 1 схематически показано эксплуатационное оборудование для извлечения нефти и/или газа из коллектора 110. Коллектор 110 состоит из подземных породных формаций ниже уровня поверхности 112 земли. В коллекторе был пробурен скважинный ствол 120.1 и соединен с поверхностным оборудованием 130 системой труб и насосов 130 для выкачивания из коллектора флюида (нефти или газа, возможно смешанных с водой или буровым раствором). В скважинный ствол 120.1 была вставлена обсадка, в которой были проделаны перфорации 134, позволяющие скважинному стволу сообщаться с коллектором. Другой скважинный ствол 120.2, присоединенный к поверхностной сети 130 и также имеющий перфорации 134, может опционально использоваться для нагнетания в коллектор воды, пара, углекислого газа или других химикатов для вытеснения нефти или газа по направлению к скважинному стволу 120.1 или для придания густой нефти большей подвижности.

Создание проекта эксплуатационного оборудования включает в себя выбор местоположения стволов скважин и химикатов для нагнетания, геометрических форм и размеров скважин, сетей трубопроводов и насосного оборудования, графиков бурения, графиков добычи и т.д. Оптимальный выбор этих и других параметров зависит от физических свойств коллектора 110, таких как давления, насыщения, пористости и, возможно, других параметров. Этот выбор облегчается компьютерным моделированием (симулированием), моделирующим добычу для существующего или гипотетического эксплуатационного оборудования и графиков добычи. Пригодная для этой цели компьютерная система 204 (фиг. 2) включает в себя один или более компьютерных процессоров 210, связанных с памятью 220. Обычно для того, чтобы определить те параметры, которые будут полезны, выполняются тестовые измерения в выбранных местоположениях в коллекторе 110 или в существующем эксплуатационном оборудовании. Тестовые данные могут включать в себя геологические данные по результатам сейсмического анализа, анализа образцов пород и каротажного исследования скважины. К этим данным могут относиться данные по пористости и проницаемости пород и другим свойствам, позволяющие определить полезные параметры, такие как давление или насыщение в некотором количестве местоположений. Тестовые измерения, изображенные как 230, сохраняются в памяти 220. Моделирующая программа 240, хранящаяся в памяти 220, исполняется процессорами, которые считывают тестовые данные 230 и выдают смоделированные результаты, которые можно сохранить в памяти 220 и/или вывести на принтер, монитор компьютера или другое устройство вывода, или передать другой компьютерной программе или другому компьютеру по сети или другим способом, для того чтобы ими могли воспользоваться инженеры-промысловики или другие работники.

Дискретная модель коллектора 110 и эксплуатационного оборудования создается компьютером 204 в памяти 220 для использования моделирующей программой 240, как показано на фиг. 3. В частности, на месторождение накладывается воображаемая сетка 320 ячеек (ячеек расчетной сетки) с данными, указывающими местоположение скважинных стволов 120 и перфораций 134. В каждой ячейке (обычно, но не обязательно, в ее центре) определен узел (не показан), и давление и возможно другие значения в ячейке моделируются как давление и возможно другие значения именно в этом узле. Участки скважинного ствола выше перфораций показаны как 120.1W, 120.2W, и далее по тесту будут называться просто «скважинами». В компьютерной модели определены узлы 324 вдоль по каждой скважине 120W (то есть 120.1W, 120.2W); эти узлы представляют собой точечные местоположения, в которых будут моделироваться давление или другие значения. Скважина может иметь один или более узлов 324. Соединения 330 представляют собой участки скважины между узлами 324. Аналогичные узлы и соединения (не показаны) могут представлять и поверхностную сеть 130. Могут быть определены другие узлы 325, которые представляют точечные местоположения в перфорированных участках стволов (ниже скважин). Соединения 331 представляют собой участки ствола между узлами 325 и между верхним узлом 325 ствола и первым узлом 324 скважины («устьевым узлом»). Поток материала между перфорационной ячейкой 320 (то есть ячейкой, перфорированной стволом) и стволом будет моделироваться как поток между перфорационной ячейкой и узлом 325, или как поток между ячейкой и соответствующим устьевым узлом 324.

Для определения различных местоположений выбирается система координат (XYZ). В компьютере 204 определяется временная ось 304 с моментами времени t₁, t₂, t₃ ….

Для моделирования нефтяного или газового месторождения выбирают систему уравнений, в том числе уравнения гидравлического взаимодействия между узлами в скважинах, стволах скважин и в поверхностной сети; уравнения потоков, подчиняющихся и не подчиняющихся закону Дарси между ячейками 320; уравнения перфорации между ячейками 320 и узлами 325; уравнения баланса массы компонентов флюида для узлов и ячеек; ограничивающие уравнения и возможные другие. Смотри патент США №7,668,707 от 23 февраля 2010 года на имя Watts, III и др., включенный в настоящую заявку посредством ссылки. Уравнения могут включать в себя дифференциальные уравнения, которые дискретизируются с использованием известных способов. Уравнения символически могут быть записаны следующим образом:

F ( V a r i , j , k , I ) = 0                        (1)

Где Var_i,j,k,l представляет собой давления, расходы или другие переменные в узлах и соединениях в различные моменты времени. Нижний индекс «i» представляет собой момент времени t_i на оси 304, а нижние индексы j, k, I представляют собой значения X, Y и Z соответственно. Значения Var_i,j,k,l интерпретируются как независимые переменные.

Так как некоторые физические параметры можно выразить через другие, то имеется некоторая свобода в том, какие параметры выбирать в качестве независимых переменных (первичных переменных) в уравнениях (1). Кроме того, уравнения (1) зависят от способа дискретизации и, в частности, от того, где измеряется какое-либо конкретное значение Var - в ячейке 320, узлах 324 или 325 или в сегменте 330 или 331. Такой выбор повлияет на то, насколько эффективно компьютер сможет решать уравнения. Термин «эффективно» относится к минимальному использованию ресурсов компьютера, и в частности, ресурсов процессора и памяти. Обеспечивая решение, хорошо аппроксимирующее реальность, желательно уменьшить продолжительность вычисления и объем памяти, требуемый для решения уравнений.

Могут существовать миллионы разных местоположений и моментов времени, поэтому уравнение (1) может представлять миллионы или миллиарды скалярных уравнений. В типовом процессе уравнения (1) решаются для каждого из последовательных времен t_i, то есть сначала для времени t₁, затем для времени t₂ и так далее. Решение для времени t₁ зависит от тестовых измерений, хранящихся как показано поз. 230 на фиг. 2. Решение для каждого следующего времени t_i находят, используя ранее найденные значения Var для времени t_i-1, и, возможно, более ранних времен, и, возможно, с использованием тестовых измерений 230.

Уравнения (1) обычно являются нелинейными, и для каждого времени t_i эти уравнения можно решить приближенно, используя метод Ньютона-Рафсона, проиллюстрированный на фиг. 4. Это итерационный метод, в котором на каждой итерации нелинейные уравнения (1) заменяются линейными. Для желаемого все большего и большего приближения к истинному решению, на последовательных итерациях используются различные линейные уравнения. Для упрощения обозначений, перепишем уравнения (1) следующим образом:

F(x)=0

Предположим, что х_n является текущим итерационным решением в методе Ньютона-Рафсона. Тогда следующая итерация х_n+1 получается так, так изложено ниже. Вычисляют якобиан J_F(x_n); он является матрицей частных производных F(x), оцененных на текущей итерации х_n. Затем для х_n+1 решают следующее линейное уравнение:

Это уравнение можно переписать в следующем другом виде:

или

где F'_L=J_F, и b является константой, равной правой части уравнения (3).

Этот процесс проиллюстрирован на фиг. 4. Символ Var.NT обозначает текущее приближение (аппроксимацию) х_n. Так как t_i неизменно, то Var_i,j,k,l иногда можно записать просто как Var_j,k,l. Значения Var.NT последней итерации берутся в качестве приближенного решения Var_i,j,k,l уравнений (1) для времени t_i.

На этапе 410 выбирают изначальные итерационные значения Var.NT, и это могут быть любые значения по желанию, например, значения Var_i-1,j,k,l найденные на предыдущей итерации i-1 если i>1, или некоторые значения, полученные из изначальных измерений 230, если i=1.

На этапе 414, матрицу J_F(Var.NT) и значение

определяют для уравнений (2)-(3). На этапе 418 эти уравнения решают, то есть решают следующее уравнение:

Обозначим решение как Var^* _j,k,l. Если это последняя итерация, то решение Var^* _j,k,l принимается за решение (1), и таким образом способ по фиг. 4 завершается для t_i. Смотри этап 422. Если требуются другие итерации, то решение Var^* _j,k,l используется в качестве следующего значения Var.NT для следующей итерации (этап 426), и этапы 414-418 повторяются. Для получения все лучших и лучших приближений решения (1) может быть использовано любое количество итераций. Итерации могут быть прекращены, когда F(Var^* _j,k,l) близко к нулю в некотором смысле.

Уравнения (4) могут включать в себя миллиарды уравнений с миллиардами индивидуальных переменных, коллективно обозначенных как Var_j,k,l. Поэтому компьютерная система 240 решает уравнения (4) приближенно. Примером приближенного метода является метод Шварца, проиллюстрированный на фиг. 5. В целях упрощения, функция F'_L будет обозначаться просто как f, a Var_j,k,l будет обозначаться как х. В этом случае, уравнение (4) можно записать следующим образом:

Функцией f представлены многие скалярные линейные функции, а переменной х представлено такое же количество скалярных компонентов. Метод Шварца будет проиллюстрирован на примере, в котором и х, и f имеют 1000 скалярных компонентов, обозначенных как х1, х2,…, x1000 для х, и обозначенных как f1, f2,…, f1000 для f.

На этапе 610 значения х1,…, х1000 разделяют на две перекрывающиеся группы значений (можно использовать более двух групп). В рассматриваемом ниже примере эти группы следующие:

Также и скалярные функции f1,…,f1000 разделяют на две перекрывающиеся группы, причем в каждой группе столько же функций, сколько в G1, G2. Например, двумя группами функций могут быть следующие:

Мы используем запись G1'(x) для обозначения значений с f1(x) до f600(x); а запись G2'(x) будет обозначать значения с f400(x) до f1000(x).

Метод Шварца является итерационным методом, и итеративное решение будет обозначено как x.sc. Значение x.sc, выдаваемое методом Шварца, является решением х.

На этапе 620 любым подходящим способом определяется изначальное итерационное значение x.sc. Например, x.sc может быть присвоено значение Var.NT на этапе 418 текущей итерации метода Ньютона-Рафсона по фиг. 4.

На этапах 630-640 определяют следующее итеративное значение x.sc следующим образом.

На этапе 630 значениям х из G1\G2, то есть значениям от х601 до х1000, присваивают соответствующие значения текущего итерационного значения x.sc, и решают следующее уравнение для х1-х600:

где b1 является частью "b", соответствующей G1'. Другими словами, решают следующее уравнение:

Решение обозначают как х1^∗,…,х600^∗.

Значения от х1^* до х399^* будут использованы в качестве соответствующих значений следующего итерационного значения x.sc как разъясняется ниже.

На этапе 640 следующее уравнение решают для х400^* до х1000^*:

где b2 является частью «b», соответствующей G2. В данном уравнении значения х1,…,х399 являются постоянными. В аддитивном методе Шварца этим значениям присваиваются соответствующие значения текущего итерационного значения x.sc. В мультипликативном методе Шварца этим значениям присваиваются соответствующие значения х1^*,…,х399^*, найденные на этапе 630. Решение (6) будет обозначено как х600^*,…,х1000^*. Значения от х1^* до х1000^* совместно будут обозначены как х^*.

Если это последняя итерация, то х^* может быть принято за решение (4'), то есть как значение Var^* _j,k,l на этапе 418. Смотри этап 650. Если требуются последующие итерации (этап 660), то решение х^* используется как следующее итерационное значение x.sc, и этапы 630-640 повторяются. Для получения все более лучших и лучших приближений решения (4') может использоваться любое количество итераций.

В некоторых вариантах метода Шварца итерации, кроме первой, решаются для невязки b-f(x) а не для х. Невязку обновляют на каждой итерации. В частности, для обновления невязки для этапа 640 используются перекрывающиеся значения х400^*,…,х600^*, найденные на этапе 630.

Как вариант, компоненты х400^*,…,х600^* для х^* получают для этапа 650 путем комбинирования соответствующих значений, полученных на этапах 630 и 640, то есть, комбинированием соответствующих компонентов решений уравнений (5) и (6) таким, чтобы минимизировать норму ||b-f(x^*)|| невязки. Известным способом комбинирования этих компонентов является способ обобщенных минимальных невязок GMRES (Generalized Minimum Residual method).

Очевидно, что вычислительная сложность решения уравнений (1) зависит от выбора переменных Var и групп G1, G2, G1', G2'. В общем смысле коллекторы достаточно отличаются от скважин в части физических моделей, поэтому коллекторы и скважины обычно находятся в разных группах. В частности, каждая группа G1, G2 может быть определена ячейками 320 или узлами 324 или 325: каждая группа состоит из переменных, принадлежащих группе ячеек 320 или узлов 324 или 325 или соответствующих сегментов 330 или 331, а каждая группа G1', G2' функций состоит из уравнений для соответствующих ячеек и узлов. Таким образом, ячейки коллектора могут быть помещены в группу G1 (то есть, в группу узлов, определяющих G1), скважины - в группу G2, а перфорационные ячейки 320 (ячейки с перфорациями) и узлы 325 ствола могут входить в перекрытие между G1 и G2. Такая схема использована в программной системе моделирования месторождения NEXUS^® Reservoir Simulation Software system, поставляемой компанией Halliburton, г. Хьюстон, Техас. В программе NEXUS^®, переменными Var являются давления и составы компонентов в узлах 324 и 325, а также давления и массы компонентов в ячейках 320.

Дополнительная информация может быть найдена в указанных ниже публикациях, включенных в настоящую заявку посредством ссылки (при этом не заявляется о том, касаются ли данные публикации уровня техники, относящегося к настоящему раскрытию):

- Публикация заявки на патент США 2009/0294122 А1 (3 декабря 2009), авторы Hansen и др.

- Патент США №7,668,707 В2 (23 февраля 2010), авторы изобретения Watts III и др.

- Патент США №7,516,056 В2 (7 апреля 2009), авторы изобретения Wallis и др.

- Публикация заявки на патент США 2010/0286971 А1 (11 ноября 2010), авторы изобретения Middya и др.

- Заявка на патент Великобритании GB 2434235 А (18 июля 2007), заявитель Schlumberger Technology Corporation.

- Заявка на Европейский патент ЕР 2192507 А1 (2 июня 2010), заявитель Maersk Olie OG Gas A/S.

- Заявка PCT WO 2006/020952 A2 (23 февраля 2006), заявители Saudi Arabian Oil Company и ARAMCO Services Company.

- H. Kazemi, "Numerical Simulation of Water-Oil Flow in Naturally Fractured Reservoirs" (Численное моделирование потока вода-нефть в естественно-трещиноватых коллекторах), издание Society of Petroleum Engineers Journal, Декабрь 1976, страницы 317-326.

- Rafael Bru et al., "Overlapping additive and multiplicative Schwarz iterations for H-matrices" (Перекрывающиеся аддитивные и мультипликативные итерации Шварца для Н-матриц), издание Linear Algebra and its Applications, Elsevier, 2003.

Раскрытие изобретения

В данном разделе кратко излагаются некоторые признаки изобретения. Другие признаки могут быть раскрыты в последующих разделах. Изобретение определяется прилагаемой формулой изобретения, которая включена в настоящий раздел путем ссылки.

Авторами изобретения было обнаружено, что для достижения лучшей связи между коллектором и поверхностной сетью может быть желательным включение в перекрытие скважин 120W. В некоторых вариантах осуществления, тем не менее, из перекрытия удалены «перфорационные» ячейки 320 (то есть ячейки с перфорациями 134). Меньшее перекрытие сокращает сложность вычислений. В других вариантах осуществления перфорационные ячейки в перекрытие включены.

В соответствии с другим аспектом изобретения уравнения для узлов скважины и ствола обрабатываются для исключения некоторых не относящихся к давлению переменных. Поэтому, когда эти переменные рассматриваются непосредственно, то уменьшается ошибка, вызванная непосредственным рассмотрением, поэтому решение давления является более точным. Во многих случаях точность решения давления по коллектору и поверхностной сети определяет рабочие характеристики глобального линейного решателя для уравнений (4), то есть определяет способность получения точного решения для всех переменных при минимальных вычислительных затратах.

Изобретение не ограничено вышеперечисленными признаками и преимуществами, за исключением того, что определено приложенной формулой изобретения.

Краткое описание чертежей

На фиг. 1 показан вертикальный разрез нефтяного или газового месторождения с эксплуатационным оборудованием в соответствии с уровнем техники.

На фиг. 2 показана блок-схема компьютерной системы, которую можно использовать для моделирования нефтяных или газовых месторождений и эксплуатационного оборудования в соответствии с уровнем техники и некоторыми вариантами осуществления настоящего изобретения.

На фиг. 3 показана схема модели нефтяного или газового месторождения и поверхностной сети в соответствии с уровнем техники.

На фиг. 4 показана диаграмма метода Ньютона-Рафсона, применяемого для моделирования нефтяного или газового месторождения и эксплуатационного оборудования в соответствии с уровнем техники.

На фиг. 5 показана диаграмма метода Шварца, применяемого для моделирования нефтяного или газового месторождения и эксплуатационного оборудования в соответствии с уровнем техники.

На фиг. 6 показаны схемы тех моделей нефтяных или газовых месторождений и поверхностных сетей, которые используются для иллюстрации компьютерного моделирования в соответствии с некоторыми вариантами осуществления настоящего изобретения.

На фиг. 7 показан пример якобиана на стороне скважинного ствола и поверхностной сети перед исключением расходов потока в перфорациях и суммарных расходов потока в соединениях.

На фиг. 8 показан пример якобиана на стороне скважинного ствола и поверхностной сети после исключения расходов потока в перфорациях и суммарных расходов потока в соединениях.

На фиг. 9 показан пример якобиана на стороне скважинного ствола и поверхностной сети после добавления уравнений для перфорационного узла (такого как 325) к уравнениями в устьевом узле, служащем базисным узлом.

На фиг. 10 показан пример якобиана на стороне скважинного ствола и поверхностной сети после исключения составов в уравнении суммарного баланса массы для устьевого узла, служащего базисным узлом.

На фиг. 11 показан пример якобиана на стороне скважинного ствола и поверхностной сети для сеточной модели скважины с ограничением по расходу.

На фиг. 12 показан пример матрицы коэффициентов в базисном узле после того, как уравнения баланса массы для не являющихся базисными узлов были добавлены к базисному узлу.

На фиг. 13 показан пример матрицы коэффициентов в базисном узле после отбрасывания относящихся к гидравлике производных относительно составов.

На фиг. 14 показан пример матрицы коэффициентов в базисном узле после исключения связывающих членов состава в базисном узле.

На фиг. 15 показан пример глобальной матричной структуры для неявного построения с неявными скважинами и поверхностной сетью.

На фиг. 16 показан пример глобальной матричной структуры без поверхностной сети после исключения связывающих членов массы в соединениях добывающих перфораций.

Фиг. 17 иллюстрирует пример структуры матрицы давления.

На фиг. 18, 19 показаны диаграммы способов моделирования в соответствии с некоторыми вариантами осуществления настоящего изобретения.

Осуществление изобретения

Описанные в данном разделе варианты осуществления иллюстрируют, но не ограничивают изобретение. Изобретение определяется прилагаемой формулой изобретения.

Далее рассматриваются некоторые варианты осуществления настоящего изобретения на примере мультипликативного метода Шварца согласно фиг. 5. Тем не менее, изобретение включает в себя аддитивный метод Шварца, и может быть скомбинировано со многими существующими технологиями моделирования. Следует отметить, что методы Шварца являются частью класса методов, которые могут быть описаны следующим образом:

- Присвоение некоторым из переменных постоянных значений и решение некоторых или всех уравнений для остальных переменных;

- Последующее присвоение постоянных значений некоторым или всем из этих остальных переменных и нахождение решения для некоторых или всех переменных, которые были постоянными на предшествующем этапе.

В моделировании нефтяных и газовых систем одним из типов таких способов является способ IMPES (implicit pressure explicit saturation, неявное давление с явным насыщением): для решения уравнений (1) для каждого времени t_i при имеющемся решении для времени t_i-1 (где t₀ означает изначальные значения), не относящимся к давлению переменным присваиваются значения при t_i-1, и решаются уравнения для нахождения значений давления в моменты времени t_i; затем давлениям присваиваются значения, которые были в моменты времени t_i, и решаются уравнения для нахождения значений, не относящихся к давлению переменных для моментов времени t_i. Некоторые из этих и других способов описаны в следующих публикациях, включенных в настоящую заявку посредством ссылки:

- Yuanlin Jiang, "Techniques for Modeling Complex Reservoirs and Advanced Wells" (Технологии моделирования сложных коллекторов и усовершенствованных скважин), Диссертация, Department of Energy Resources Engineering and the Committee on Graduate Studies, Университет Стэнфорд, Декабрь 2007.

- Wing Hong Felix Kwok, "Scalable Linear and Nonlinear Algorithms for Multiphase Flow in Porous Media" (Масштабируемые линейные и нелинейные алгоритмы для многофазного потока в пористой среде), Диссертация, Program in scientific computing and computational mathematics and the committee on graduate studies, Университет Стэнфорд, Декабрь 2007.

- Denis José Schiozer, "Simultaneous Simulation of Reservoir and Surface Facilities" (Одновременное моделирование коллекторного и наземного оборудования), Диссертация, Department of Petroleum Engineering and the committee on graduate studies, Университет Стэнфорд, Март 1994.

- Eero Vainikko, "Robust Additive Schwarz Methods - Parallel Implementations and Applications" (Устойчивые аддитивные методы Шварца - Параллельные реализации и применения), Диссертация на получение степени доктора наук, Department of Informatics, университет Бергена, Март 1997 года.

Другие подобные технологии включают использование предобуславливателя CPR (Constrained Pressure Residual - Ограниченная невязка давления).

Некоторые из вариантов осуществления совместимы с адаптивным неявным способом AIM (Adaptive Implicit Method) и с другими способами, описанными в документах, указанных в предшествующем параграфе. Некоторые варианты осуществления также совместимы с полностью неявным способом FIM (Fully Implicit method), то есть когда все переменные рассматриваются неявно (ни одну из них не заменяют константой), кроме метода Шварца на этапе по фиг. 5. Однако, как указано выше, изобретение включает производные от матрицы давления, которые не ограничиваются использованием метода Шварца.

Далее для моделей, показанных на фиг. 3 и фиг. 6 (описывается ниже) будут раскрыты некоторые варианты осуществления мультипликативного метода Шварца только с двумя группами переменных, G1 и G2. В некоторых из этих вариантов осуществления группа G1 соответствует коллекторным и перфорационным ячейкам 320, узлам 325 ствола и сегментам 331 и узлам 324 скважины и сегментам 330 скважин 120W. Группа G2 соответствует всем скважинам 120W, скважинным стволам, перфорационным ячейкам 320 и поверхностной сети 130. Перекрывающимися областями являются узлы 324 и сегменты 330 скважин 120W, узлы 325 ствола и сегменты 331, и перфорационные ячейки 320.

Глобальная линейная система (4) в матричном преставлении выглядит как:

Здесь нижние индексы r, w, f обозначают коллектор, скважину и поверхностную сеть 130 соответственно. Для нижнего индекса r, коллектор включает ячейки с перфорациями 134. Вектор [b_r, b_w, b_f] с правой стороны является тем же самым, что и b в уравнении (4). Вектор [х_r, x_w, x_f] является те же самым, что и Var_j,k,I.

В матрице с левой стороны строки с А_rr соответствуют коллекторной части уравнений (4), включая перфорационные ячейки 320. Строки с A_wr соответствуют уравнениям скважины, которые включают уравнения потока от каждой перфорационной ячейки 320 в соответствующий узел 325 ствола. Строки A_fw с соответствуют уравнениям эксплуатационного оборудования. Столбцы с А_rr соответствуют переменным коллектора (включая перфорационные ячейки 320). Столбцы с А_rw соответствуют переменным скважины. Столбцы с А_wf соответствуют переменным эксплуатационного оборудования. Пустые поля в матрице являются нулями.

Группа G1 состоит из переменных х_r, x_w, и уравнения G1' могут быть записаны как:

Эти уравнения получаются присвоением x_f постоянных значений согласно вышеприведенному описанию. Значения b_w в (8) не обязательно такие же, как в (7).

Группа G2 состоит из переменных x_w, x_f, и уравнения G2' могут быть записаны как:

Значения b в (9) не обязательно такие же, как в (7).

Система (9) не может существовать, если поверхностная сеть 130 отсутствует, или если ее не моделируют. Если в системе моделирования поверхностная сеть существует, то систему (9) можно решить известными способами, например, разреженным прямым решателем (sparse direct solver) или итерационным решателем типа ILU (Incomplete Lower/Upper). Мы обратим основное внимание на решение системы (8), которое является более сложным в некоторых вариантах осуществления.

Для FIM нам необходимо создать CPR уравнение для давления для коллектора. Для FIM и IMPES необходимо создание приближенной матрицы давления для узлов ствола, так как в обоих случаях используется неявное моделирование скважины.

На фиг. 6 показаны примерные модели 680, 690, 694 скважин, которые будут использованы в дополнение к показанной на фиг. 3 модели для иллюстрирования некоторых вариантов осуществления настоящего изобретения. Показанные модели являются неограничивающими примерами. Все из этих моделей предназначены для добычных скважин (для выкачивания нефти или газа из коллектора), но аналогичные технологии применяются и для нагнетательных скважин (предназначенных для нагнетания воды или других веществ в коллектор). Модель 680 включает перфорационную ячейку 320, соединенную перфорацией 134 с узлом 325 ствола (также обозначенным как «узел 1»), «устьевой узел 2», также обозначенный как 324 ВН (первый узел скважины 120W ниже по потоку от перфорации), и поверхностную сеть 130. Переменные «q» обозначают массовый расход при передаче (масса за определенное время) в различных соединениях 330.

Модель 690 включает многосегментную скважину, разделяющуюся в узле 324.1 на два сегмента. В каждом сегменте соответствующий устьевой узел 324ВН соединен с соответствующим узлом 325 ствола, соединенным с перфорационными ячейками 320. Выше общего узла 324.1 имеются два других узла 324.2 и 324.3. Узел 324.3 соединен с поверхностной сетью 130. Показанные на фиг. 3 и фиг. 6 модели являются моделями «объединенной скважины» (lumped well model), то есть поток из перфорационных ячеек в каждом скважинном стволе моделируется как поток из этих ячеек в единый узел 325.

Модель 694 (сеточная модель скважины, то есть модель со множеством узлов 325) содержит три перфорационных узла 325, обозначенных снизу вверх как узлы 1, 2, 3. Узел 3 соединен с устьевым узлом 4 (обозначенным как 324ВН). Каждый из узлов 1, 2, 3 соединен с соответствующей перфорационной ячейкой 320. Узел 324ВН соединен с поверхностной сетью 130.

Глобальная матрица для неявного построения (FIM) модели 694 показана на фиг. 11. Далее мы рассмотрим то, как можно аппроксимировать решение давления на стороне скважины (уравнения (8)) простой моделью объединенной скважины.

Падение давления на соединении между верхним по потоку узлом и следующим нижним по потоку узлом (например от узла 1 до узла 2 в модели 680) может быть определено гидравлическим уравнением следующим образом:

Здесь нижние индексы up и dw обозначают нижние и верхние по потоку узлы (например, узлы 1 и 2 в модели 680) в соединении 330 или 331 по потоку;

- Р_uр и P_dw являются давлениями в этих узлах;

- nс является количеством компонентов флюида, протекающего через соединение;

- для каждого компонента k, значение q_k является массовым расходом потока этого компонента;

- f является функцией гидравлического уравнения (например, основанной на корреляции падения давления, табличном значении падении давления, законе Дарси или какой-либо другой модели).

Мы определяем состав компонента k как

где q_T является суммарным массовым расходом потока через соединение (то есть суммой q_k). (Обозначение х для составов не следует путать с символом х в уравнениях (7), (8) and (9)).

Следовательно:

где

Комбинирование уравнений (е6) и (е7) дает:

Дифференцирование уравнения (е6) дает:

Подстановка уравнений (е8) и (е9) в уравнение (е4) дает:

Таким образом, производные якобиана (частные производные) относительно первичных неизвестных будут выглядеть следующим образом:

Следует отметить, что буква R здесь соответствует F в уравнениях (1). Одинаковый символ R используется для различных скалярных уравнений (1).

На фиг. 7 приведен пример якобиана. Производные (е11)-(е14) показаны в четвертой строке, отмеченной "(е4)" в правом столбце (относящемся к уравнениям (е4)). Фиг. 7 предполагает, что производны е и равны нулю. Это истинно, если f рассматривается явным образом (то есть заменяется значением с предыдущей итерации), но также может быть истинным при рассмотрении f неявным образом. Некоторые производные (е13), (е14) показаны символами h и ε.

Для устьевого узла может быть применено ограничение давления:

где P_spec является предварительно заданной константой. В качестве альтернативы, на соединении может быть активировано ограничение по расходу потока фазы, то есть:

Здесь nр является количеством фаз (во многих задачах имеется три фазы: газ, нефть и вода). Для каждой фазы n, Q_n является соответствующим объемным расходом потока; а_n является соответствующей предварительно заданной константой. Q_spec является максимально допустимым объемным расходом потока, который может протекать в соединении.

В альтернативном варианте может быть определено следующее ограничение:

Подстановка уравнений (е8) и (е9) в уравнение (е17) дает:

Обычно ограничение расхода задано для условий поверхности, поэтому член производной давления может быть опущен, хотя здесь он показан для более общего случая. Производные якобиана относительно первичных неизвестных получают следующим образом:

Приведенные выше уравнения получены рассмотрением потока через соединение 330.

Для каждого узла 324 и 325 используются уравнения баланса массы. В частности (см. для примера узлы 2 и 3 модели 694), для каждого узла ствола общий массовый расход потока каждого компонента в узел равен сумме массовых расходов потока этого же компонента из каждого входного соединения и каждой перфорации. Каждый из этих узлов может иметь или не иметь перфораций, и обозначим как perf количество перфораций во взятом для примера узле "r". Узел r может иметь множество входных соединений. Обозначим как "inc" количество входных соединений 330; обозначим как "out количество выходных соединений. Флюид втекает в узел через перфорации и соединения, поэтому общий массовый расход потока в узел будет:

где q_Tjr является суммарным массовым расходом потока из соединения j в узел r, a q_pkr является массовым расходом потока компонента к из перфорации р в узел.

Обозначим как x_ijr состав компонента i во входном потоке в узел r через соединение j; и обозначим как х_ir состав компонента i в суммарном входном потоке в узел r. Для компонента i массовый расход потока компонента из узла будет:

Входной массовый расход потока компонента i:

Уравнение баланса массы для компонента i тогда будет выглядеть как:

А соответствующие производные якобиана:

Уравнения (1) будут включать уравнения баланса массы для компонентов i=1,…nс-1.

Пример на фиг. 7 показывает якобиан для двух узлов, как в модели 680. Одним из узлов является узел 325, также показанный как узел 1, уравнения для которого соответствуют строкам, помеченным (е21), (е21), и (е27). Соответствующие переменные показаны в заглавной строке как q_T1 (суммарный массовый расход потока от узла 1 к узлу 2), х₁₁ (состав компонента 1 в узле 1), х₂₁ (состав компонента 2 в узле 1).

Другим узлом является устьевой узел 2, соответствующий последним трем строкам. Соответствующими переменными являются q_T2 (суммарный массовый расход потока из узла 2), х₂₁ (состав компонента 1 в узле 2), х₂₂ (состав компонента 2 в узле 2). Фиг. 7 в применимости не ограничена моделью 680.

Уравнение баланса массы может быть проще, если имеется только одно входное соединение и одно выходное соединение, и если узел не имеет перфораций; в этом случае уравнение примет вид:

где х_up является составом компонента i в верхнем по потоку узле входного соединения в узел r, а x_dw является составом компонента i в узле r. Например, см. строки, отмеченные (е26) в нижней части фиг. 7.

Уравнение суммарно