Устройство и способ определения геологических границ

Устройство и способ определения геологических границ

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Область техники

В процессе бурения и добычи углеводородов в попытке обнаружения источников нефти под землей определяют различные свойства толщ пород путем спуска измерительных приборов в пробуренный ствол скважины. Например, с целью определения таких свойств, как плотность породы пласта, в стволах скважин измеряют гравитационное поле. С геофизической точки зрения успех мониторинга толщ пород определяется высокой точностью и повторяемостью результатов скважинных исследований.

Уровень техники

Одним из применений результатов скважинных гравиметрических исследований при определении параметров продуктивного пласта является оценка объемной плотности и определение пористости и насыщенности флюидом. Скважинные гравиметры способны осуществлять измерения через перфорированную обсадную колонну и на удалении от ствола скважины. Тем не менее, для таких измерений требуются сложные технологии (точные датчики, точное определение местоположения прибора и т.п.). В результате, возникают ошибки при определении положения прибора и/или глубины, например, из-за перемещения прибора, вызывающего колебания глубины на протяжении многократных измерений. Возникают дополнительные сложности, связанные с инверсией данных скважинных гравиметрических исследований. При использовании традиционных методов инверсии определяют так называемую кажущуюся плотность, которая может значительно отличаться от истинной объемной плотности, в особенности, когда собранные данные загрязнены шумом.

Краткое изложение сущности изобретения

Предложен способ определения геологии толщи пород, включающий: прием данных гравиметрических исследований от каждого из множества гравиметрических датчиков , упорядоченно сгруппированных по длине ствола скважины в толще пород, генерирующих данные g_j гравиметрического исследования, соответствующие местоположению , и разделенных интервалом h,

генерирование модели толщи пород, содержащей приблизительные геологические границы N_m, имеющие приблизительную глубину и определяющие число слоев в геологическом разрезе между ними,

допущение (принятие) того, что каждая геологическая граница представлена минимальным изменением плотности, а каждый из слоев в геологическом разрезе имеет толщину, охватываемую двумя или более из множества датчиков , и

определение местоположения и изменения Δρ плотности геологической границы z между местоположениями и , исходя из данных g_j гравиметрических исследований и интервала h.

Предложен компьютерный программный продукт, содержащий машиночитаемые команды, хранящиеся на машиночитаемом носителе и служащие для определения свойства толщи пород путем реализации способа, включающего:

прием данных гравиметрических исследований от каждого из множества гравиметрических датчиков , сгруппированных по длине ствола скважины в толще пород, генерирующих данные g_j гравиметрического исследования, соответствующие местоположению , и разделенных интервалом h,

генерирование модели толщи пород, содержащей приблизительные геологические границы N_m, имеющие приблизительную глубину и определяющие число слоев в геологическом разрезе между ними,

допущение того, что каждая геологическая граница представлена минимальным изменением плотности, а каждый из слоев в геологическом разрезе имеет толщину, охватываемую двумя или более из множества датчиков , и

определение местоположения и изменения Δρ плотности геологической границы z между местоположениями и , исходя из данных g_j гравиметрических исследований и интервала h.

Краткое описание чертежей

Описанные далее чертежи не следует считать ограничивающими изобретение каким-либо образом. На сопровождающих описание чертежах одинаковые элементы обозначены одинаковыми позициями, и:

на фиг. 1 проиллюстрирован один из вариантов осуществления системы каротажа и/или бурения,

на фиг. 2 - один из примеров компоновки измерительных приборов проиллюстрированной на фиг. 1 системы, содержащей группу гравиметрических датчиков,

на фиг. 3 - один из примеров модели толщи пород,

на фиг. 4 - блок-схема, представляющая один из примеров способа определения свойств толщи пород, включая плотность и местоположение геологических границ,

на фиг. 5 - один из примеров графика данных, генерированных на основании гравиметрических исследований,

на фиг. 6 - часть способа определения геологической границы относительно местоположения скважинного датчика,

на фиг. 7 - один из примеров графика данных плотности, иллюстрирующих сравнение способа инверсии данных гравиметрических исследований и известного способа определения кажущейся плотности,

на фиг. 8 - один из примеров графика данных плотности, иллюстрирующих сравнение способа инверсии данных гравиметрических исследований и известного способа определения кажущейся плотности,

на фиг. 9 - один из примеров графика данных плотности, иллюстрирующих сравнение способа инверсии данных гравиметрических исследований и известного способа определения кажущейся плотности, и

на фиг. 10 - один из примеров графика данных плотности, иллюстрирующих сравнение способа инверсии данных гравиметрических исследований и известного способа определения кажущейся плотности.

Подробное описание

В изобретении предложены системы и способы определения параметров плотности в толще пород. Способ включает анализ данных гравиметрических исследований, полученных от группы скважинных гравиметрических датчиков, с целью определения местоположений геологических границ в толще пород, исходя из расчетных местоположений изменений или "скачков" плотности. В одном из вариантов осуществления способ включает генерирование модели, содержащей одну или несколько приблизительных границ. Могут делаться различные априорные допущения, такие как допущение того, что скачок плотности на границе является высоким и что слои в геологическом разрезе являются толстыми относительно распределения датчиков (например, по меньшей мере по три датчика на слой). Способ позволяет точно определять границы, указывающие слои в геологическом разрезе, а также отличать пики данных, соответствующие слоям в геологическом разрезе, от пиков вследствие погрешностей измерений.

Как показано на фиг. 1, в систему 10 каротажа, добычи и/или бурения согласно одному из примеров осуществления входит колонна 11 труб, находящаяся в стволе 12 скважины по меньшей мере в одной толще 14 пород в процессе бурения, каротажа и/или добычи углеводородов. В одном из вариантов осуществления колонна 11 содержит бурильную трубу, которая может представлять собой трубу из одной или нескольких секций или спиральные насосно-компрессорные трубы. В одном из вариантов осуществления в систему 10 также входит компоновка 18 низа бурильной колонны (КНБК). Скважинный флюид 16, такой как раствор для бурения или заканчивания скважины или буровой раствор, может закачиваться через бурильную колонну 11, КНБК 18 и/или ствол 12 скважины.

КНБК 18 или другая часть колонны 11 труб содержит компоновку 20 измерительных приборов, сконфигурированную на определение по меньшей мере одного свойства толщи 14 пород и/или ствола 12 скважины. В одном из вариантов осуществления в компоновку 20 входит устройство 22 обработки данных для обработки и/или представления данных, касающихся по меньшей мере одного свойства. В одном из вариантов осуществления устройство 22 обработки данных и/или компоновка 20 измерительных приборов входит в наземное устройство 24 обработки или поддерживает с ним связь. В КНБК 18 и/или компоновку 20 измерительных приборов входят любые из различных передающих сред и соединений, такие как проводные соединения, оптоволоконные соединения, беспроводные соединения и телеметрия по гидроимпульсному каналу связи.

В одном из вариантов осуществления устройство 22 обработки данных и/или наземное устройство 24 обработки содержит компоненты, необходимые для обеспечения хранения и/или обработки данных, поступающих от компоновки 20. примеры компонентов включают без ограничения по меньшей мере один процессор, запоминающее устройство, память, устройства ввода, устройства вывода и т.п. В одном из вариантов осуществления устройство 22 обработки данных и/или наземное устройство 24 обработки сконфигурировано как блок управления работой компоновки измерительных приборов и/или других компонентов системы 10.

Как показано на фиг. 2, в компоновку 20 измерительных приборов входит множество датчиков 26, сгруппированных по длине колонны 11 и/или ствола 12 скважины, при этом каждый датчик них смещен на фиксированный интервал "h" от другого датчика. В одном из вариантов осуществления датчики 26 сконфигурированы как гравиметры для измерения ускорения силы тяжести, которое равно градиенту гравитационного потенциала. Гравиметры часто используются для двухмерного отображения ускорения при гравитационной съемке. Могут использоваться любые применимые гравиметры, включая различные пружинные гравиметры и сверхпроводящие гравиметры. Гравиметры могут включать абсолютные гравиметры и относительные элементные гравиметры, которые используются в сочетании с одним или несколькими эталонными гравиметрами, расположенными на удалении от относительного гравиметра.

В одном из вариантов осуществления компоновка 20 измерительных приборов сконфигурирована как скважинный абсолютный гравиметр с множеством датчиков (САГМД), сгруппированных по длине ствола 12 скважины, который также именуется g-колонной или g-группой. В g-группу входят два или более абсолютных гравиметрических датчика, разнесенных на фиксированный интервал h друг от друга.

Описанные способы обработки данных могут применяться в сочетании с моделью толщи пород, в которой могут содержаться различные допущения, а также предварительные или приблизительные местоположения границ слоев в геологическом разрезе. На фиг. 3 представлен один из примеров модели 30, описываемой как модель горизонтально-слоистой среды. В этой модели z_k, k=1,…,N означают глубины залегания границ 32, определяющих моделируемые слои 34 в геологическом разрезе, а ρ_k, k=1,…,N-1 означают плотности слоев; т.е. плотность ρ=ρ(z) является кусочно постоянной функцией, при этом ρ(z)=ρ_k при z_k≤z<z_k+1. Геологическая граница может определяться как глубина, на которой происходит скачок плотности ρ, т.е. ее увеличение или уменьшение на выбранную величину в выбранном интервале глубин. Одним из примеров границы является местоположение пары или между парой соседних датчиков, в котором происходит скачок или изменение измеренной плотности на выбранную величину.

В этой модели гравитационное поле g(z) (более точно, его абсолютная величина, которая также равна вертикальной составляющей) измеряется в вертикальном стволе скважины с использованием сгруппированных гравиметрических датчиков 26 на глубинах , j=1,…,N_s, равномерно расположенных с шагом . Соответственно, собранные данные гравиметрических исследований каждого датчика 26, могут быть отображены уравнением , в котором δ_j означает погрешность позиционирования датчика (т.е. погрешность в определении местоположения датчика), а ξ_j означает погрешность измерений датчика (т.е. погрешность данных гравиметрических исследований датчиков 26). В этой модели не учитывается влияние, связанное с размером ствола скважины.

Для определения плотности ρ=ρ(z) для z между первой и последней точками измерений на основании данных скважинных гравиметрических исследований , j=1,…,N_s используется обработка данных. Описанные местоположения или точки определяются как глубины, на которых находятся датчики 26 или осуществляются измерения. Подразумевается, что глубиной необязательно является истинная вертикальная глубина или глубина, соотносимая с вертикальным стволом скважины. В некоторых вариантах осуществления глубиной может считаться осевое местоположение по длине ствола скважины, который может являться вертикальным и/или иметь траектории, отклоняющиеся от вертикали.

Гравитационное поле g(z) в модели 30 слоистой среды может быть задано следующим уравнением:

в котором:

означает гравитационное поле блока горной породы или геологического объема (например, слоя в геологическом разрезе) между z_k и z_k+1 в определенной точке или на определенной глубине z, a G означает универсальную гравитационную постоянную. Линейная функция Fz+С определяется географическим положением (долготой, широтой и высотой над уровнем моря) ствола скважины и является известной. Величина F называется нормальным градиентом и изменяется примерно на 308,6 мкГал/м.

С помощью уравнения (2) можно доказать, что в точках z≠z_k, k=1,…,N

при этом штрихом (′) обозначено производное. Это означает, что, если бы гравитационное поле было с абсолютной точностью известно во всех точках по оси ствола скважины, задача определения ρ(z) на основании g(z) имела бы тривиальное решение. Тем не менее, эта задача имеет ряд особенностей, исключающих такие тривиальные решения.

Во-первых, поле g(z) измеряется в отдельных точках , разнесенных на определенный шаг или интервал h, сравнимый с толщиной слоя или даже превышающий ее. В известных измерительных системах обычно используется шаг h порядка 30 футов или 10 метров или даже 10 футов или 3 метров.

Во-вторых, измерительные точки никак не связаны с границами z_k слоев, что означает, что упомянутый подход обеспечивает определение только так называемой кажущейся плотности (КП).

В-третьих, данные измерений гравитационного поля в стволе скважины содержат погрешности измерений датчиков и определения положения датчиков, т.е. , где δ_j означает погрешность в определении местоположения датчиков, а ξ_j означает погрешность измерений датчиков.

Существующие гравиметры обеспечивают определение местоположения датчика с точностью около 10 см, а точность измерений датчика обычно составляет до 5 мкГал. Кроме того, погрешность в определении местоположения влияет на общую полную погрешность измерений, например, погрешность 10 см в определении местоположения соответствует полной погрешности измерений около 10 мкГал. Соответственно, в ξ_j может учитываться погрешность в определении местоположения, и требуется лишь одна константа погрешности (т.е. пусть δ_j=0). Можно допустить, что погрешности ξ_j являются независимыми и имеют нормальное распределение при нулевом среднем и отклонении ε.

Эти особенности подразумевают, что задача определения ρ(z) на основании данных измерений гравитационного поля в целом не имеет единственного решения. В действительности, если плотность ρ(z) между точками и изменяется, а интеграл остается таким же, это не оказывает влияния на данные гравиметрических исследований во всех точках.

Поскольку истинные местоположения геологических границ неизвестны, при определении таких границ используются модельные границы. Соответственно, определение таких границ включает нахождение приблизительного решения задачи инверсии измеренной в скважине силы тяжести в классе кусочно постоянных функций ρ^m-ρ^m(z) в форме при , где , k=1,…,N_m, (N_m≥N_s,N) означают точки скачков плотности или модельные границы.

Из уровня техники известны два стандартных варианта нахождения этого приблизительного решения. В первом случае предполагается, что точки , а также значения плотности могут изменяться, и ставится задача нахождения границ слоев вместе со значениями плотности. Этот подход предусматривает решение нелинейной задачи методами оптимизации, для чего требуется хорошее начальное приближение.

Второй известный из уровня техники вариант называется методом определения кажущейся плотности (КП). Этот метод предусматривает выбор и фиксацию модельных границ и тем самым сужение класса для поиска решения, а затем нахождение соответствующих значений . После фиксации границ задача становится линейной для . При выборе различных модельных границ используются различные методы инверсии. Интерпретация данных скважинных гравиметрических исследований по традиции осуществляется с использованием этого второго варианта, в котором модельные границы соответствуют точкам датчиков. Соответственно, получают хорошо известное уравнение инверсии:

Определенная таким методом плотность является кажущейся плотностью, которая обозначается как ρ^app(z).

В идеальном случае, когда датчики находятся на истинных границах слоев, и данные не содержат погрешностей, кажущаяся плотность ρ^app(z) совпадает с истинной плотностью ρ(z). Тем не менее, кажущаяся плотность может значительно отличаться от истинной плотности, но при этом обеспечивать точное соответствие промысловых данных и модельных данных гравиметрических исследований, вычисленных с использованием кажущей плотности. Поскольку плотность связана с гравитационным полем посредством дифференциации, задача инверсии измеренной в скважине силы тяжести является некорректно поставленной в том смысле, что незначительные погрешности результатов измерений могут приводить к значительным погрешностям определения плотности. Это видно уже при определении кажущейся плотности. В результате деления приращения данных гравиметрических исследований со значительными погрешностями на малую величину h получают значительные погрешности определения плотности. Для решения некорректно поставленных задач требуется определенная регуляризация, т.е. использование априорной информации.

На фиг. 4 проиллюстрирован один из вариантов осуществления метода 40 определения геологии толщи пород, например, определения местоположения и параметров плотности границ и слоев в геологическом разрезе. Метод 40 применяется в сочетании, например, с множеством гравиметрических датчиков, таких как компоновка 20 измерительных приборов и/или датчики 26, устройством 22 обработки данных и/или наземным устройством 24 обработки. Тем не менее, метод 40 может применяться в сочетании любой применимой комбинацией процессоров и датчиков. Метод 40 включает одну или несколько стадий 41-45. В одном из вариантов осуществления метод 40 предусматривает выполнение всех стадий 41-45 в описанном порядке. Тем не менее, некоторые стадии могут быть исключены, стадии могут быть добавлены, или порядок следования стадий может быть изменен.

Метод 40 и алгоритмы, описанные в связи со методом 30, используются для определения приблизительных местоположений геологических границ z_k при наличии данных скважинных гравиметрических исследований. В одном из вариантов осуществления местоположение геологической границы определяется как местоположение, в котором происходит скачок истинной плотности ρ от первого значения ко второму значению. "Скачок" может определяться как изменение плотности между местоположениями двух соседних датчиков, которое соответствует выбранной пороговой величине, или превышает ее. Одним из примеров такого скачка является изменение плотности, составляющее около 0,2 г/куб. см.

На первой стадии 41 размещают в стволе 12 скважины измерительную аппаратуру, такую как компоновка 20 измерительных приборов. Аппаратура может спускаться в ствол скважины посредством любого применимого средства доставки, такого как колонна 11 труб или кабель. В одном из вариантов осуществления датчиками 26 являются абсолютные гравиметрические датчики.

На второй стадии 42 осуществляют множество измерений на протяжении выбранного периода времени. Каждое измерение . включает измерение, выполняемое одним из множества датчиков 26 в выбранный момент времени. Например, в компоновку 20 измерительных приборов входит N_s гравиметрических датчиков 26, расположенных с фиксированными сдвигами на интервал h. Процессор, такой как наземное устройство 24 обработки, генерирует или принимает данные, отображающие измерения .

В одном из вариантов осуществления на третьей стадии 43 делаются допущения о предполагаемой плотности, которые используются в качестве априорной информации. Например, допускается, что сопутствующий границе скачок Δρ плотности является высоким (например, от около 0,2 г/куб. см до около 0,3 г/куб. см), а слои в геологическом разрезе являются довольно толстыми применительно к шагу сбора данных, например, в пределах слоя расположено множество датчиков. В одном из вариантов осуществления допускается, что на каждый слой приходится по меньшей мере три датчика. Соответственно, в этом варианте осуществления метода 30 определяются геологические границы между толстыми слоями с высоким контрастом по плотности и пропускаются границы между тонкими слоями или слоями с низким контрастом по плотности.

В одном из вариантов осуществления метода 30 предусмотрен ряд дополнительных допущений в отношении зашумленных данных измерений, т.е. данных с погрешностями в определении местоположения и/или погрешностями измерений.

Во-первых, может допускаться, что погрешность ξ_j измерений датчика имеет нормальное распределение с нулевым средним, а не превышает определенной величины ε^b с вероятностью Р, близкой к единице. Например, если ε^b равна умноженному на 3 отклонению ξ_j то согласно правилу трех сигм с вероятностью Р=0,997. Например, если ε^b принимается за малую величину, это указывает на то, что данные являются мало зашумленными, и алгоритм становится более чувствительным, позволяя обнаруживать больше границ. Тем не менее, если данные являются в действительности зашумленными, эти границы могут являться паразитными, и может использоваться большая величина ε^b.

Во-вторых, могут делаться допущения в отношении колебания плотности и предполагаемой толщины слоев. Путем регуляризации сглаживается вектор G_j (описанный далее), в результате чего вдоль соответствующих границ на определенном расстоянии начинают ощущаться другие границы. Соответственно, нахождение определенной геологической границы включает использование расчетов скачка плотности на соседних границах и расстояния до них. Эта информация задана колебанием R плотности и предполагаемой минимальной толщиной Т слоя. Может допускаться, что общее колебание плотности в каждом сегменте не превышает R, т.е. истинная плотность удовлетворяет неравенству при всех k=1,…,N. Величина Т и интервал h, также именуемый шагом h сбора данных, определяют предполагаемое число датчиков на слой р=[T/h]. В одном из вариантов осуществления в качестве предполагаемого числа датчиков на слой выбирается по меньшей мере три датчика. В данном случае, [] означает целую часть числа р.

Описанные алгоритмы определяют присутствие границ между парой датчиков путем проверки выполнения определенного условия. В силу погрешности данных и влияния соседних границ это условие может выполняться не для выбранной пары датчиков, а для соседней или даже еще более отдаленной пары. Это отклонение возрастает при небольшом скачке Δρ_k плотности, больших погрешностях ξ_j или близости соседних границ. Соответственно, указывается близлежащая область поиска, т.е. максимальное расстояние В между истинным местоположением z_k границы и искомой приблизительной границей . Если расстояние В является небольшим, алгоритм может не позволять видеть границы с низким скачком плотности. Напротив, если расстояние В является большим, вследствие шума могут возникать паразитные границы. Величина В и шаг h сбора данных определяют имеющий натуральное значение параметр s=[B/h], используемый в алгоритме.

На четвертой стадии 44 используются алгоритмы для анализа данных гравиметрических исследований и определения местоположения одной или нескольких границ и сопутствующего им изменения плотности. Далее описан один из вариантов осуществления алгоритма при условии, что данные гравиметрических исследований не содержат погрешностей, или погрешности являются минимальными.

В этом варианте осуществления метода 40 для гравитационного поля (без нормального градиента) используется следующее выражение:

в котором:

и:

В этом представлении акцентируется, что g(z) является кусочно линейной функцией, разрывы которой зависят от изменений или скачков Δρ_k плотности. В случае содержащих погрешности промысловых данных это означает, что

Присутствие границы (в случае точных не содержащих погрешностей данных) становится очевидным, если для последовательности измерений g_j определена разность D²g второго порядка:

Эта разность второго порядка обозначается как G_j. В алгоритме допускается, что глубина z_k залегания границы проходит между датчиками (при наличии датчиков n_k и n_k+1), находящимися на глубинах и , и имеет относительное местоположение λ_k между и , при этом . Если каждый слой содержит по меньшей мере три датчика, т.е. n_k+2<n_k+1, то

ненулевые элементы G_j, соответствующие присутствию границ, разделены нулевыми элементами. Соответственно, z_k и Δρ_k могут определяться следующим образом. Если G_j+G_j+1≠0, a G_j-1=G_j+2=0, то между z_j и z_j+1 находится граница z, которая может быть найдена согласно формуле:

а скачок плотности быть найден согласно формуле:

На фиг. 5 проиллюстрирован один из примеров разности G_j второго порядка для имитированных не содержащих погрешностей данных гравиметрических исследований. Данные генерированы на основании модели плотности, а вычисления осуществлены с использованием группы гравиметрических датчиков, разнесенные на интервал (h) в один метр. Представленные на фиг. 5 данные демонстрируют, с использованием описанных алгоритмов могут ясно определяться границы толщ пород. Например, приведенный выше алгоритм используется для обнаружения границ, которые расположены и показаны в виде пиков вблизи датчиков с номерами 4, 27, 44, при условии, что слои вокруг каждой обнаруженной границы являются достаточно толстыми для осуществления трех гравиметрических исследований внутри слоя.

Далее описан другой вариант осуществления метода 40 применительно к общему случаю, когда данные измерений, содержат погрешности. Алгоритм выводят путем регуляризации, например, путем использования свертки G_j с определенной дельтообразной последовательностью и осуществления анализа с целью определения того, какие контрасты по плотности (Δρ) можно отличить от паразитных данных, получаемых вследствие погрешностей (например, погрешностей измерений и определения глубины). Геологические границы определяют итерационно, начиная с границы с наибольшим скачком Δρ_k плотности и заканчивая границами, отличимыми от паразитных явлений вследствие шума.

Данные, используемые в этом варианте осуществления, считаются зашумленными данными, при этом данные каждого гравиметрического исследования содержат определенные погрешности и могут быть представлены в виде означает погрешность измерений и/или погрешности в определении местоположений гравиметрических датчиков 26.

В этом варианте осуществления вектор G_j разности второго порядка содержит определенную погрешность и обозначен как . К разности второго порядка для последовательности данных гравиметрических исследований применяется определенная регуляризация. Разность второго порядка может быть представлена как:

В одном из вариантов осуществления сглаживается путем использования свертки с двусторонней последовательностью K(q), содержащей элементы , при этом 0≤q<1, j=0,±1,±2,…, а значение Q=(1-q)/(1+q) выбрано из условия . Свертка разности второго порядка обозначается как C_j, а приблизительное изменение V_j плотности может быть выведено из следующих уравнений:

в которых "q" означает параметр регуляризации, a N_s означает число датчиков. Как видно из приведенных уравнений, когда q=0, .

Согласно условию линейности С может быть представлено следующим уравнением:

в котором G^k означает вектор с элементами , где j=1,…,N_s, а означает разность второго порядка на определенной границе "k", которая обозначается как n_k. Вектор С^k=K(q)∗G^k соответствует границе k-го порядка и содержит компоненты:

Может быть выведен вектор Е=K(q)∗(D²ξ), который содержит компоненты:

Для определенной фиксированной границы n_K, имеющей местоположение z_K, компоненты С и V с близкими к n_К номерами могут быть представлены как:

В этом варианте осуществления λ_K=(z_K-z_j)/h для приблизительной границы n_K, находящейся между датчиками на глубинах и . На основании приведенных выше уравнений могут быть определены следующие обозначения

С помощью приведенных выше уравнений может быть выведена следующая формула изменения плотности:

Видно, что при ε=0 и q=0 функция ошибок e_K,l(q)=0, и для определения местоположения границы и скачка плотности могут использоваться такие формулы, как и в случае точных или не содержащих погрешностей данных.

В случае зашумленных данных алгоритм предусматривает сведение к минимуму остаточного члена е_K,l(q) путем надлежащего выбора параметра q регуляризации, исходя из описанных выше допущений. С этой целью по отдельности оценивается каждый член в e_K,l(q). Оценка e_K,l(q) в алгоритме начинается с последнего члена, относящегося к погрешности измерения датчик (т.е. с последнего члена уравнения (24)). Из ξ_j путем свертки получают случайную переменную Е_j+E_j+1:

Если ε означает отклонение ξ_j, то отклонение E_j+E_j+1 равно . Путем вычисления:

получают следующую оценку:

с вероятностью Р,

и, соответственно, оценку последнего члена уравнения для е_K,l(q):

с вероятностью Р.

Выполнение алгоритм продолжается путем оценки первых членов в e_K,l(q). С использованием тождества Абеля для последовательностей можно вывести следующее уравнение:

Аналогичным образом, . Затем оценка для e_K,l(q) может быть отображена следующим уравнением (справедливым с вероятностью Р):

На фиг. 6 представлена наглядная иллюстрация 50 значений V_j, которые иллюстрируют применение алгоритма для сведения к минимуму остаточного члена e_K,l(q) с целью локализации геологических границ, т.е. нахождения пары датчиков, между которыми проходит граница. Для каждого значения l показана диаграмма 52 Δρ_Kf_K,l(q) в зависимости от λ_K, а также диаграммы 54 и 56, иллюстрирующие функцию, увеличенную на и уменьшенную на , соответственно.

Пара (λ_K, ) всегда находится на соответствующей полосе, ограниченной диаграммами 54 и 56. В случае не содержащих погрешностей данных ε^b=0, q=0, , а остальные , с малым значением l равны нулю. Соответственно, достигает максимума при j=n_K.

В случае присутствия погрешностей алгоритм предусматривает уменьшен