Способ регулирования параметров закона механических колебаний силовых факторов в центробежном вибровозбудителе

Способ регулирования параметров закона механических колебаний силовых факторов в центробежном вибровозбудителе

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к вибрационной технике, в частности к технике агропромышленного комплекса, и может быть использовано на зерноперерабатывающих предприятиях в технологическом и транспортном оборудовании. Кроме того, изобретение может быть использовано в других отраслях промышленности, связанных с переработкой сыпучих материалов.

Цель изобретения - расширение функциональных возможностей центробежного вибровозбудителя при его использовании в вибрационном оборудовании для сепарирования и транспортирования зерна и других сыпучих материалов, путем сообщения рабочим органам машин колебаний с параметрами, обеспечивающими наиболее эффективное протекание осуществляемого в оборудовании процесса.

Известны способы возбуждения механических колебаний силовых факторов (силы и/или момента) с применением центробежных вибровозбудителей. При этом вибровозбудитель может содержать один или несколько дебалансов. Дебаланс представляет собой вращающееся неуравновешенное звено. Дисбалансом дебаланса называют произведение неуравновешенной массы m на ее эксцентриситет r относительно оси вращения.

Известен способ возбуждения негармонических (подчиняющихся несимметричному закону) колебаний силы [1] центробежным вибровозбудителем, содержащим четыре дебаланса, равномерно вращающихся вокруг параллельных осей (фиг. 1). Оси вращения дебалансов расположены на общем основании. Дебалансы попарно имеют одинаковые по величине угловые скорости противоположного направления. При этом величина угловой скорости первой пары дебалансов вдвое меньше величины угловой скорости второй пары дебалансов, то есть первая пара дебалансов вращается с угловой скоростью ω₁=ω, а вторая - с угловой скоростью ω₂=2ω. Дебалансы, вращающиеся с равными по величине угловыми скоростями, имеют одинаковые дисбалансы, то есть одинаковые по величине произведения неуравновешенной массы m на ее эксцентриситет r относительно оси вращения. Причем дисбалансы дебалансов, вращающихся с частотой 2ω, в четыре раза меньше величины дисбалансов дебалансов, вращающихся с частотой ω. Для упрощения дальнейших рассуждений условимся называть одноименными дебалансы, вращающиеся с равными по величине угловыми скоростями, а отрезок прямой, соединяющий оси вращения таких дебалансов, межосевым расстоянием одноименных дебалансов. Оси вращения одноименных дебалансов расположены симметрично относительно прямой, перпендикулярной их межосевому расстоянию. При этом оси вращения первой пары дебалансов и оси вращения второй пары дебалансов расположены симметрично относительно одной прямой.

Поясним принцип действия такого центробежного вибровозбудителя. При равномерном вращении дебалансов развиваются центробежные силы инерции: - центробежная сила инерции, развиваемая дебалансом первой пары; - центробежная сила инерции, развиваемая дебалансом второй пары. На рисунке (фиг. 2) показано некоторое произвольное положение дебалансов после поворота из начального положения первой пары дебалансов на угол δ₁=δ, второй пары - на угол δ₂=2δ. Как видно из рисунка, горизонтальные составляющие сил инерции одноименных дебалансов взаимно уравновешивают друг друга. Вертикальные составляющие сил инерции дебалансов, складываясь, образуют результирующую силу, зависимость которой от угла поворота дебалансов имеет вид

Таким образом, создается сила, меняющаяся по негармоническому закону, направленная вдоль прямой, представляющей собой ось симметрии расположения осей вращения дебалансов.

Зависимость результирующей силы от угла поворота дебалансов, описываемая уравнением (1), получена при условии, когда за начальное положение дебалансов принято такое их положение, при котором центробежные силы инерции первой и второй пар дебалансов одновременно создают максимальные по величине равнодействующие силы одинакового направления. Равнодействующие центробежных сил инерции первой и второй пар дебалансов в начальном положении соответственно равны P_P1=2m₁r₁ω² и P_P2=8m₂r₂ω². Очевидно, что при этом в начальном положении дебалансов вибровозбудитель возбуждает максимально возможную по величине силу.

Следует заметить, что развиваемая таким вибровозбудителем сила способна сообщить основанию и связанному с ним рабочему органу прямолинейные негармонические колебания в том случае, если сила проходит через центр масс колеблемой системы. Негармоничность закона колебаний в данном случае означает неравенство наибольшего положительного значения ускорения рабочего органа абсолютной величине наибольшего отрицательного значения ускорения.

Этот способ возбуждения колебаний силы реализован в конструкции машин с целью сообщения рабочему органу негармонических (несимметричных) прямолинейных колебаний.

Известен способ возбуждения негармонических колебаний момента [2] центробежным вибровозбудителем, содержащим четыре дебаланса, вращающихся вокруг параллельных осей (фиг. 3). Оси вращения дебалансов расположены на общем основании. Дебалансы вращаются равномерно, попарно имеют одинаковые по величине и направлению угловые скорости и одинаковые дисбалансы. Вращение дебалансов синхронизировано и согласовано по фазе так, чтобы одноименные дебалансы одновременно занимали положения, в которых развиваемые ими центробежные силы инерции были параллельны друг другу и направлены в противоположные стороны. Следовательно, центробежные силы инерции одноименных дебалансов создают пару сил, момент которой переменен по величине и направлению, а его величина и направление зависят от положения дебалансов.

На рисунке (фиг. 4) показано произвольное положение дебалансов: дебалансы первой пары, вращающиеся с угловой скоростью ω₁=ω, показаны при их повороте из начального положения на угол δ₁=δ; дебалансы второй пары, вращающиеся с угловой скоростью ω₂=2ω, показаны при их повороте из начального положения на угол δ₂=2δ. Будем считать момент, направленный против часовой стрелки, положительным. Как видно из рисунка (фиг. 4), в рассматриваемом положении силы инерции первой и второй пар дебалансов образуют пары сил, моменты которых положительны. Момент пары, создаваемой силами инерции медленно вращающихся дебалансов, равен . Момент пары, создаваемой силами инерции быстровращающихся дебалансов, равен . Результирующий момент, возбуждаемый вибровозбудителем, равен алгебраической сумме моментов, создаваемых центробежными силами инерции первой и второй пар дебалансов. Зависимость результирующего момента от угла поворота дебалансов имеет вид

Как видно, зависимость результирующего момента подчиняется негармоническому закону. Зависимость результирующего момента, описываемая уравнением (2), имеет место при условии: в начальном положении дебалансов центробежные силы инерции одноименных дебалансов создают максимальные по величине моменты одинакового (положительного) направления.

Возбуждаемый таким вибровозбудителем результирующий момент может сообщить основанию, а следовательно, и связанному с ним рабочему органу машины либо негармонические вращательные колебания, либо вращательно колебательное движение (вращение с наложенными на него вращательными колебаниями).

Наиболее близким по технической сущности и достигаемому результату является способ возбуждения механических колебаний силовых факторов с прогнозируемыми параметрами [3] центробежным вибровозбудителем, содержащим четыре дебаланса, вращающихся вокруг параллельных осей. Оси вращения дебалансов расположены на общем основании. Дебалансы вращаются равномерно и попарно имеют одинаковые по величине угловые скорости. При этом величина угловой скорости первой пары дебалансов меньше величины угловой скорости второй пары дебалансов. Первая пара дебалансов вращается с угловой скоростью ω₁=ω, а вторая - с угловой скоростью ω₂=nω, где n - передаточное отношение передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов, равное отношению угловой скорости быстровращающихся дебалансов к угловой скорости медленновращающихся . Дебалансы, вращающиеся с равными по величине угловыми скоростями, имеют одинаковые массы m и эксцентриситеты r относительно оси вращения. Оси вращения одноименных дебалансов, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями, расположены симметрично относительно прямой, перпендикулярной их межосевому расстоянию. При этом оси вращения первой пары дебалансов и оси вращения второй пары дебалансов расположены симметрично относительно одной и той же прямой.

На рисунке (фиг. 5) представлен вибровозбудитель, содержащий четыре дебаланса, предназначенный для возбуждения негармонических колебаний силы при условии: центробежные силы инерции первой и второй пар дебалансов в начальном положении развивают максимальные по величине силы одинакового направления.

Зависимость возбуждаемой таким вибровозбудителем силы имеет вид

Зависимость возбуждаемой силы в безразмерном выражении может быть представлена в виде

где - коэффициент, равный отношению максимального значения силы, создаваемой силами инерции медленновращающихся дебалансов, к максимальному значению силы, создаваемой силами инерции быстровращающихся дебалансов.

На рисунке (фиг. 6) представлен вибровозбудитель, содержащий четыре дебаланса, предназначенный для возбуждения негармонических колебаний момента при условии: центробежные силы инерции первой и второй пар дебалансов в начальном положении развивают максимальные по величине моменты одинакового направления.

Зависимость возбуждаемого этим вибровозбудителем момента имеет вид

Зависимость возбуждаемого момента в безразмерном выражении может быть представлена в виде

где - коэффициент, равный отношению максимального значения момента, создаваемого силами инерции медленновращающихся дебалансов, к максимальному значению момента, создаваемого силами инерции быстровращающихся дебалансов.

Как видно, правые части уравнений (4) и (6) полностью совпадают при равенстве коэффициентов а=b. Следовательно, законы колебаний силы и момента, возбуждаемые четырехдебалансным вибровозбудителем, имеют одинаковые характеристики при одинаковом соотношении максимальных значений силовых факторов, создаваемых силами инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов.

Такой четырехдебалансный вибровозбудитель в зависимости от начальной фазировки дебалансов и величины передаточного отношения передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов, может создавать колебания силовых факторов (силы или момента), подчиняющихся либо несимметричному, либо симметричному закону. Вибровозбудитель возбуждает несимметричные колебания силовых факторов (силы или момента) в том случае, если одновременно выполняются следующие условия. В начальном положении центробежные силы инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов создают максимальные силовые факторы. Сумма полных чисел оборотов дебалансов первой и второй пар при их одновременном возвращении в начальное положение, то есть за кинематический цикл механизма вибровозбудителя, является нечетным числом. Очевидно, что второе условие выполняется при определенных значениях передаточного отношения передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов. Если передаточное отношение является целым числом, то сумма полных чисел оборотов дебалансов при их одновременном возвращении в начальное положение является нечетным числом при условии - передаточное отношение является четным числом. Вибровозбудитель возбуждает симметричные колебания силовых факторов при выполнении одного из следующих условий. В начальном положении центробежные силы инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов создают силовые факторы, равные нулю. Сумма полных чисел оборотов дебалансов первой и второй пар за кинематический цикл является четным числом.

Реализация этого способа возбуждения механических колебаний силовых факторов с прогнозируемыми параметрами в приводах вибрационного технологического и транспортного оборудования для переработки зерна и других сыпучих материалов позволяет сообщать рабочим органам машин колебания с различными параметрами закона движения. То есть создать привод, позволяющий обеспечивать параметры закона колебаний рабочего органа в соответствии с осуществляемым в оборудовании процессом. Однако такой привод имеет один существенный недостаток: ограниченная область варьирования параметров закона колебаний силовых факторов.

Так, для обеспечения симметричного и несимметричного законов колебаний рабочего органа необходимо либо создавать два различных вибропривода, либо обеспечивать в конструкции вибропривода возможность регулировки параметров колебаний путем изменения начального положения медленно- и быстровращающихся дебалансов. Однако такая регулировка параметров (несимметрия или симметрия) закона колебаний в значительной степени усложняет конструкцию вибропривода и его обслуживание.

Следовательно, использование известных способов сообщения рабочим органам машин движения по законам, параметры которых соответствуют виду осуществляемого в оборудовании процесса, сопровождается усложнением конструкции привода, а также созданием различных конструкций приводных механизмов.

Реализация предлагаемого способа регулирования параметров закона колебаний силовых факторов в конструкциях оборудования для переработки зерна и других сыпучих материалов позволит создать унифицированный привод, в котором путем изменения начального положения медленновращающихся дебалансов может быть обеспечен либо симметричный, либо несимметричный закон колебаний рабочего органа.

Известно, что причиной направленного в среднем движения частиц сыпучего тела по горизонтальной однородно-шероховатой поверхности, совершающей горизонтальные колебания, является несимметрия закона колебаний поверхности, выражающаяся в том, что наибольшее значение ускорения опорной поверхности в одном из направлений отличается по абсолютной величине от наибольшего значения ускорения в противоположном направлении.

Средняя скорость виброперемещения является основным параметром, определяющим производительность транспортного оборудования, а в сепарирующем оборудовании - производительность и эффективность осуществляемого в этом оборудовании процесса. Средняя скорость виброперемещения влияет на эффективность процесса сепарирования через толщину слоя сыпучего материала и время его пребывания на рабочем органе. При неизменной длине рабочей поверхности (например, длина сита) увеличение средней скорости сыпучего тела уменьшает время протекания процесса сепарирования и толщину слоя. Уменьшение времени процесса сепарирования снижает его эффективность. Уменьшение толщины слоя сыпучего тела до определенного предела, как правило, повышает эффективность процесса сепарирования. Дальнейшее уменьшение толщины слоя ниже определенного значения приводит к снижению эффективности процесса.

Следовательно, в транспортном оборудовании для увеличения его производительности транспортирующему рабочему органу необходимо сообщать несимметричный закон колебаний.

В процессах сепарирования действие вибраций на сыпучее тело проявляется в разрыхлении и самосортировании этого тела, с одной стороны, и в подаче, обеспечивающей непрерывность процесса, - с другой. Иногда эффективность процесса сепарирования определяется преимущественно самосортированием. Примерами таких процессов могут служить: очистка зерна от равновеликой минеральной примеси в камнеотделительных машинах; процесс ситового сепарирования, в котором проходового компонента немного, а толщина сыпучего тела во много раз превышает размеры частиц, и через сито просеиваются лишь частицы, находящиеся в нижнем слое, в который они попадают вследствие самосортирования. Если концентрация проходового компонента в исходной смеси велика, как, например, при очистке зерна от крупных примесей в сепараторе или при ситовом сепарировании зерносмеси с большой концентрацией мелкой фракции, то самосортирование не оказывает большого влияния на результаты процесса в целом и решающее значение приобретает просеивание.

Согласно вышеизложенному в сепарирующих машинах параметры закона колебаний рабочего органа должны соответствовать виду осуществляемого в машине процесса. В случае необходимости, закон колебаний рабочего органа должен обеспечивать эффективное самосортирование зерносмеси. Эффективность самосортирования находится в прямой зависимости от продолжительности воздействия вибраций на сыпучее тело. При осуществлении процесса сепарирования, эффективность которого определяется эффективностью процесса просеивания, закон колебаний рабочего органа должен обеспечивать оптимальную для просеивания скорость частиц сыпучего тела относительно ситовой поверхности.

Следует заметить, что предлагаемый способ позволяет, в зависимости от настройки вибровозбудителя, обеспечивать возбуждение колебаний силовых факторов по несимметричному или симметричному закону.

Возможность настройки вибровозбудителя на возбуждение либо несимметричных колебаний, либо симметричных колебаний силовых факторов, в сочетании с наклоном рабочей поверхности к горизонтали и сообщением поверхности наклонных колебаний, позволяет значительно расширить диапазон варьирования скорости виброперемещения. Это позволяет сделать вывод о возможности использования такого вибропривода, в зависимости от его настройки, как в транспортном, так и в технологическом оборудовании.

Задача изобретения - совершенствование оборудования для транспортирования и сепарирования зерновых смесей путем сообщения рабочим органам машин движения по законам, параметры которых соответствуют осуществляемому в оборудовании процессу.

Поставленная задача решается предлагаемым способом возбуждения негармонических колебаний силовых факторов (силы или момента) по несимметричному закону центробежным вибровозбудителем, состоящим из четырех дебалансов, оси вращения которых расположены на общем основании, попарно имеющих одинаковые дисбалансы, и имеют начальное положение, в котором их центробежные силы инерции создают максимальные по величине силовые факторы, и вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями, что обеспечивается передачей, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов с передаточным отношением, равным отношению угловой скорости быстровращающихся дебалансов к угловой скорости медленновращающихся, в котором согласно изобретению, для обеспечения симметрии закона колебаний, означающей равенство наибольшего положительного значения силового фактора модулю его наибольшего отрицательного значения, меняют начальное положение быстровращающихся дебалансов путем их поворота в любом направлении на угол, равный 90°, при условии, что передаточное отношение является четным числом.

Техническим результатом является варьирование скорости транспортирования и повышение технологической эффективности процессов сепарирования зерновых смесей.

Для сообщения рабочим органам машин колебаний с параметрами, соответствующими осуществляемому процессу, применим центробежный вибровозбудитель с четырьмя дебалансами.

Дисбалансы, то есть произведения неуравновешенной массы m на ее эксцентриситет r относительно оси вращения, двух дебалансов одной пары должны быть равны друг другу. Эти дебалансы должны иметь одинаковые по величине частоты вращения ω. Дисбалансы второй пары дебалансов также должны быть равны друг другу и могут отличаться по величине от дисбалансов первой пары дебалансов. Дебалансы второй пары должны иметь одинаковые по величине частоты вращения, но отличающиеся от частоты вращения первой пары дебалансов. Сохраним ранее принятую нумерацию дебалансов. Будем считать первой парой дебалансов дебалансы, вращающиеся с частотой ω₁=ω, а второй парой - с частотой ω₂=nω, n - любое действительное число. Для определенности дальнейших рассуждений будем считать, что n>1, то есть вторая пара дебалансов вращается с большей частотой. Вращение дебалансов должно быть соответствующим образом синхронизировано и согласовано по фазе. Добиться этого можно посредством либо зубчатой (шестеренной) передачи, либо зубчатой ременной передачи, то есть передачи, исключающей проскальзывание ведущего и ведомого звеньев. Заметим, что отношение является передаточным отношением передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение первой и второй пар дебалансов.

Такой вибровозбудитель позволяет получать различные законы колебаний силовых факторов (силы или момента). Эти силовые факторы, в зависимости от конструктивного исполнения (расположения) вибровозбудителя, либо передаются непосредственно на рабочий орган машины, либо на выходное звено исполнительного механизма, связанное с рабочим органом.

Как отмечено выше, несимметрия закона колебаний силовых факторов означает - наибольшее положительное значение силового фактора не равно абсолютному значению его наибольшего отрицательного значения. Будем рассматривать такую начальную фазировку дебалансов, при которой вибровозбудитель возбуждает колебания силового фактора по несимметричному закону и передаточное отношение передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов, является четным числом. Как отмечено выше, при такой фазировке дебалансов силы инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов в начальном положении должны создавать максимальные по величине силовые факторы. Очевидно, что в таком начальном положении силы инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов могут создавать силовые факторы одинакового или противоположного направления. Для определенности дальнейших рассуждений будем считать, что в начальном положении силы инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов создают максимальные по величине силовые факторы одинакового направления. Примем это направление за положительное. Такие условия начального положения дебалансов приняты потому, что эти условия наиболее просто реализуются на практике, так как направление центробежной силы инерции совпадает с направлением эксцентриситета дебаланса. Силы инерции одноименных дебалансов создают максимальный по величине силовой фактор, если они (силы инерции), а значит, и эксцентриситеты, перпендикулярны прямой, соединяющей оси их вращения.

Следует заметить, что, как отмечено выше, такой вибровозбудитель, содержащий четыре дебаланса, в зависимости от условий фазировки дебалансов, может возбуждать либо колебания силы, либо колебания момента. При этом характеристики законов колебаний в безразмерном выражении совпадают при одинаковых значениях передаточного отношения , при одинаковых условиях начальной фазировки дебалансов и при одинаковых соотношениях максимального значения силового фактора, создаваемого силами инерции медленновращающихся дебалансов к максимальному значению силового фактора, создаваемого силами инерции быстровращающихся дебалансов. Выполнение последнего условия означает, что в уравнениях (4) и (6) коэффициенты а и b равны друг другу, то есть а=b. Поэтому в дальнейших рассуждениях зависимость возбуждаемого силового фактора будем обозначать в общем виде как . Очевидно, что выводы, полученные при исследовании рассматриваемых зависимостей, характеризуют параметры законов колебаний как силы, так и момента.

Определим условия начальной фазировки быстровращающихся дебалансов, при которых характер закона колебаний силовых факторов меняется с несимметричного на симметричный. Очевидно, что для такой оценки влияния начальной фазировки быстровращающихся дебалансов необходимо сохранять неизменными установочные параметры вибровозбудителя, оказывающие влияние на характеристики закона колебаний. Такими параметрами являются: начальная фазировка медленновращающихся дебалансов; передаточное отношение ; соотношение максимальных силовых факторов, создаваемых силами инерции медленно- и быстровращающихся дебалансов.

Как условлено выше, исследовать влияние начальной фазировки быстровращающихся дебалансов будем в вибровозбудителе, предназначенном для возбуждения несимметричных колебаний силовых факторов, при условии, что передаточное отношение является четным числом. Исходным начальным положением дебалансов является такое их положение, при котором силы инерции быстро- и медленновращающихся дебалансов создают силовые факторы, максимальные по величине одинакового направления (фиг. 5) и (фиг. 6). Следовательно, неизменным начальным положением медленновращающихся дебалансов является положение, в котором их центробежные силы инерции создают максимальный по величине силовой фактор в положительном направлении.

Изменим условия начальной фазировки быстровращающихся дебалансов путем их поворота из исходного начального положения на некоторый произвольный угол γ. На рисунке (фиг. 7) представлено новое начальное положение дебалансов в вибровозбудителе, предназначенном для возбуждения колебаний силы. Новое начальное положение дебалансов отличается от исходного начального положения тем, что быстровращающиеся дебалансы повернуты относительно исходного положения на произвольный угол γ в направлении их вращения.

Тогда зависимость возбуждаемого силового фактора в безразмерном выражении при новом начальном положении дебалансов может быть представлена в виде

где γ - угол отстройки быстровращающихся дебалансов от исходного начального положения, в котором их силы инерции создают максимальный по величине силовой фактор.

Определим значения угла γ, при которых такое изменение начального положения быстровращающихся дебалансов сопровождается изменением характера закона колебаний силового фактора с несимметричного на симметричный.

Следует отметить, что, если передаточное отношение n передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов, является целым числом, то кинематический цикл механизма вибровозбудителя, то есть время, по истечении которого дебалансы возвращаются в начальное положение, соответствует одному обороту медленновращающихся дебалансов. При этом число оборотов быстровращающихся дебалансов равно значению передаточного отношения n.

При определении значений угла γ следует иметь в виду, что, так как тригонометрическая функция косинус является периодической с периодом, равным 360°, то угол γ может принимать значения в пределах от 0° до 360°.

Вибровозбудитель возбуждает колебания силовых факторов по симметричному закону, если в течение кинематического цикла дебалансы смогут занять положение, в котором силы инерции быстро- и медленновращающихся дебалансов одновременно создают силовые факторы, равные нулю. В этом случае должна иметь решение следующая система уравнений:

Определим значения угла γ, при которых система уравнений (8) имеет решение.

Корнями первого уравнения системы (8) являются следующие значения угла:

и

Решение второго уравнения системы (8) имеет вид

где k=0,1,…,2n-1;

n - передаточное отношение передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов.

Определим значения угла γ при значении угла δ=90°, которое является первым корнем первого уравнения системы (8). Для этого подставим значение δ=90° из уравнения (9) в уравнение (11). После преобразований получим

Как видно из формулы (12), угол γ может быть определен как произведение двух сомножителей: первый сомножитель равен 90° и является величиной постоянной; второй сомножитель - выражение в круглых скобках является величиной переменной, вследствие переменности коэффициента k.

Для упрощения дальнейших рассуждений введем обозначение

В соответствии с принятым обозначением уравнение (12) может быть представлено в виде

Следует заметить, что угол γ считается положительным, если новое начальное положение быстровращающихся дебалансов получено путем поворота этой пары дебалансов в направлении, совпадающем с направлением их вращения. Угол γ отрицательный, если быстровращающиеся дебалансы поворачивают в новое начальное положение против направления их вращения.

Так как в рассматриваемом случае угол γ принимает положительные значения, то должно выполняться неравенство

Так как передаточное отношение n является четным числом, то его можно представить в виде

где i - натуральное число, равное .

Подставим выражение передаточного отношения n из уравнения (16) в неравенство (15) и после преобразований получим

Так как i и k - целые числа, то выражение в круглых скобках неравенства (17) не может принимать положительные значения, то есть должно выполняться условие

или

Из неравенства (19) следует, что минимальное значение коэффициента k равно

Для определения минимального значения переменного сомножителя С подставим в уравнение (13) значение k_min из уравнения (20). После преобразований получим

Максимальное значение переменного сомножителя С₁ получим, подставив в уравнение (13) максимальное значение коэффициента k, равное k_max=2n-1

Определим, какие значения может принимать переменный сомножитель С₁ на интервале значений от C_1min до C_1max.

Подставим выражение передаточного отношения n из уравнения (16) в уравнение (13) и после преобразований получим

Из уравнения (23) видно, что переменный сомножитель С₁ является нечетным числом. Следовательно, переменный сомножитель С₁ в уравнении (14) принимает значения из ряда нечетных чисел, лежащих в интервале значений от единицы до трехкратного значения передаточного отношения n передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов, минус единица.

Определим, при каких значениях угла γ имеет решение система уравнений (8), если корень первого уравнения системы равен δ=270°.

Подставим δ=270° в уравнение (11) и после преобразований получим

В рассматриваемом случае угол γ может быть определен как произведение постоянного сомножителя, равного 90°, на переменный сомножитель, который обозначим

В соответствии с принятым обозначением уравнение (24) запишем в виде

Так как угол γ положительный, то должно выполняться неравенство

Подставим в неравенство (27) выражение передаточного отношения n из уравнения (16). После преобразований получим

Так как i и k - целые числа, то для выполнения неравенства (28) должно выполняться условие

Из неравенства (29) следует, что

Следовательно, минимальное значение коэффициента k, при котором выполняется неравенство (28), равно k_min=1,5n. Как установлено выше, максимальное значение коэффициента k равно k_max=2n-1.

Тогда минимальное и максимальное значения переменного сомножителя С₂ соответственно равны

и

Легко убедиться, что переменный сомножитель С₂ является нечетным числом. Следовательно, в этом случае переменный сомножитель С₂ принимает значения из ряда нечетных чисел, лежащих в интервале значений от единицы до значения передаточного отношения n минус единица.

Из представленных рассуждений можно сделать следующее заключение. Интервал значений переменного сомножителя С₁ содержит в себе интервал значений переменного сомножителя С₂. Следовательно, система уравнений (8) имеет решение при значениях угла γ, которые можно определить как произведение двух сомножителей: постоянный сомножитель, равный 90°; переменный сомножитель, который принимает значения из ряда нечетных чисел, лежащих в интервале от единицы до утроенного значения передаточного отношения n передачи, синхронизирующей и согласовывающей по фазе вращение дебалансов, минус единица.

Следует заметить, что представленные выше рассуждения относятся к случаю, когда новое начальное положение быстровращающихся дебалансов получают путем их поворота из исходного начального положения на угол γ в направлении их вращения. В этом случае угол γ принимает положительные значения.

Угол γ принимает отрицательные значения, если для получения нового начального положения быстровращающихся дебалансов их поворачивают из исходного начального положения против направления вращения. Тогда для определения отрицательных значений угла γ необходимо рассмотреть решение системы уравнений

Не будем подробно останавливаться на решении системы уравнений (33). Рассмотрим некоторые особенности ее решения.

Решение второго уравнения системы (33) имеет вид

где k=0,1,2,…,2n-1.

Из уравнения (34) при δ=90° следует, что

Для упрощения дальнейших рассуждений обозначим переменный сомножитель уравнения (35)

В рассматриваемом случае должно выполняться неравенство

Неравенство (37) выполняется при условии

или