Прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений

Прибор для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

(( (. с

) () аса 42m, 36, 1

ABTOPCkOE СВИДЕ(ТЕЛЬСТВО HA ИЗОБРЕТЕНИЕ

3й 36704

ОПИСАНИЕ прибора для решения системы линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений.

К авторскому свидетельству К. В. Самсонова, заявленному

2 июня 1933 года (спр. о перв. № 129729).

0 выдаче авторского свидетельства опубликовано 31 мак 1934 года.

А, х, + В т2+ С, жз+Д, = О.

Азz,+В z -+С zз+Л вЂ” О.

Лз х, + Вз х, + Сз хз + з = О

В ха+ - .а+Д1 ю

1 (5003

В многочисленных научных и технических задачах приходится иметь дело с решением системы линейных алгебраических уравнений, позволяющей вычислить и неизвестных из и соотношений, которым эти неизвестные удовлетворяют. Широкой обл стью применения этой системы является расчет статически неопределимых конструкций, при котором число неизвестных часто доходит до 1 — 2 десятков. Но и кроме расчета статически неопределимых конструкций система линейных алгебраических уравнений играет большую роль в теории точного и приближенного интегрирования диференциальных уравнений, в решении интегральных уравнений, в теоретической физике и др.

Несмотря на важную роль, которую играет вышеуказанная система в практических вычислениях, до сих пор не имеется достаточно простых методов ее решения Теория решения этой системы хорошо разработана, причем обнаруживается, что простых и быстрых способов решения не может быть.

Поэтому приобретают особенно важную роль различные приближенные и механические способы решения.

Одним из наиболее распространенных методов решения является метод последовательных приближений. Теория этого метода исчерпывающе изложена в статье: R. v. Mises und PUllaczeckGeiringer. Praktische Veriahr n der

Gleichungsauflosung. „Zeits hrift Иг angewandte M(thematik und Mechanik" 1929 г., Bd. 9, Seite 58 — 77 und 152 — !64.

Метод заключается в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений:

Задаются сначала некоторыми произвольными значениями неизвестных т, ж и т. д. Подставляют эти значения в первое уравнение. Это ура внение, вообще говоря, произвольными значениями неизвестных не удовлетворяется. Изменяют z до тех пор, пока первое уравнение удовлетворится.

Это будет, очевидно, при значении т„ вычисляемом из выражения:

Найденйбд значение x „а также значения х, хз и т. д., принятые первоначально, подставляют во 2-ое уравне, ние, Из него находят первое приближение для xz по формуле:

А2 1 + 2 " 3 + a2 х —

2 В

Первые приближения x x и принятые первоначально значения для х4 и т. д. подставляют в 3-е уравнение. Из него находят первое приближение для хз. Так продолжают до тех пор, пока не обойдут всю систему. В результате получают систему первых приближений для неизвестных

С этой системой повторяют то же самое, что и с первоначально принятой системой, т. е. опять,1 обходят все уравнения и получают вто- рые приближения для неизвестных: х, х з и т. A. С этими приближениями проделывают то же самое, что и с первыми получают третьи приближения x "„x", x" 3 и т. д.

Эту операцию продолжают до тех пор, пока поправки, вносимые в значения неизвестных, не сделаются достаточно малыми. Полученную систему приближенных значений для неизвестных принимают за решение заданной системы уравнений.

Таким путем, как показывает теория, можно всегда получить решение системы уравнений при обязательном, однако, условии: диагональные члены А„В„СЗ и т. д. должны быть больше остальных членов. Этому условию всегда удовлетворяют уравнения, имеющие место при расчете статически неопределимых конструкций. Кроме того, как показал., R. v. Nises в вышеуказанной статье,, и произвольную систему уравнений всегда можно превратить в систему, имеющую диагональные коэфициенты, превосходящие по величине остальные коэфициенты уравнений. Таким образом, этот метод, вообще говоря, оказывается приложимым к любой системе уравнений.

Предлагаемый прибор для решения, системы линейных алгебраических ура- I вненмй методам пойледоаательных приближений обоснован на соотношениях, имеющих место при распределении потенциала вдоль проводов при прохождении электрического тока.

На чертеже изображена схема прибора.

Пусть l, Z — провода, между которыми имеется разность потенциалов V А1, А, А и т. д., представляют собою катушки с большим сопровивлением, соединенные проводами, обладающими малым сопротивлением, с обоими подводящими ток проводами l — Z.

Очевидно, разность потенциалов на концах этих катушек также равна K Середина ка ждои из катушек соединена с одним концом катушки Е< соответветствую щей первому неизвестному, в то время как второй конец катушки Х1 может быть соединен с одним из подвижных контактов т, двигающихся по катушкам А„А, Аз и т. д. Пусть катушка Х, соединена с катушкой А, Если длина катушки А, равна а, а подвижной кон "акт сдвинут по отношению к середине катушки на величину а„то разность потенциалов между серединой катушки (неподвижным контактом) и подвижным контактом будет

Я1 равна T : —. Эта разность потенциалов и будет, очевидно, и на концах катушки Х,. Если длина этой катушки равна а, а подвижный контакт сдвинут по отношению к неподвижному на величину „то разность потенциалов между подвижным и неподвижным конV тактами будет равна —,, - (а„,) . Если подвижный и неподвижный кантакт катушки Л, соединить с гальванометром, то стрелка последнего отклонится на веV личину, пропорциональную †;; (а,,).

Пусть гальванометр имеет несколько параллельных обмоток Соединив катушку

В, с Х и отложив на первой катушке величину 3,, а на второй, получают разность потенциалов между подвижным и неподвижным контактами на каV тушке Х„равную „, (, ). Очевидно, если ми "нонМкты"соединить со второй параллельной обмоткой гальванометра,,. то стрелка последнего отклонится на ве-, личину, пропорциональную --; (, (,,).

V д 1А 2

Если проделать то же самое с катуш- ками С, и Х, то получат отклонение стрелки гальванометра на величину, пропорциональную —, (y $3)). Если пред-

V положить что подвижной контакт катушки Д, сдвинут по отношению к неподвижному на величину З„и оба эти контакта соединены с очередной параллельной обмоткой гальванометра непосредственно, то стрелка гальванометра должна отклониться на величину —,.

У,, Отклонение стрелки гальванометра, вызванное всеми вышеуказанными причинами, будет про. орционально выражению:

-Ф- (> 4,+К ". + 1 з+ )

Если подобрать », так, чтобы ток в гальванометре сделался равным нулю, то, очевидно, эти величины будут удовлетворять уравнению:, 4,+>|;.2+ò, "; +ао,=о.

Если отложить о.„ „„и о, так, чтобы они в некотором масштабе изображали коэфициенты и свободный член .4„В, С„Я, первого уравнения, то вели- чины, с будут соответствовать не- известным в заданной системе уравне- ! нии. При произвольных значениях ве-, личин с, можно, очевидно, добиться того, чтобы суммарный ток в гальванометре сделался равным нулю, путем перемещения контакта на катушке Х„ т. е. изменения,, Присоединяют, далее, катушки А „Х. Х к катушкам,ф, В, С,...., на которых отложены коэфициенты 2-го уравнения. Путем перемещения контакта катушки Х, добиваются того, чтобы ток в гальванометре сделался равным нулю. Это будет соответствовать соотношению: а, 3 +3 Е+-(, k.+« =î.

Эту операцию - повторяют до тех пор, по .а присоединение к гальванометру любого уравнения не дет вызывать никакого тока, т. е. стрелка будет оставаться в покое. Найденные таким образом величины, будут давать в некотором масштабе значения неизвестных, удовлетворяющие зада нной системе уравнений. Чтобы получит численную величину неизвестных z„x„z

Зт надо величины,, з умножить на некоторую постоянную, которая, очевидно, может быть для прибора определена за ранее.

Для успешности работы прибора необходимо, чтобы сопротивление проводов, подводящих ток к катушкам. было очень малым (доли процента от сопротивления катушек), сопротивление же каждой обмотки гальванометра должно быть достаточно большим — в несколько раз больше сопротивления катушек.

При несоблюдении второго из этих условий может случиться, что приключение гальванометра вызовет перераспределение потенциала на катушках Х„Х., Хз, что приведет к неверным показаниям Оба требуемые условия могут быть легко выполнены.

По опытам изобретателя в качестве сопротивления лучше брать не катушки, а голый провод, который можно согнуть в виде спирали, и подвижной контакт приводить в движение вдоль этой спирали вращением рукоятки. Такая катушка займет очень мало места и прибор можно будет сделать достаточно компактным.

Сопротивление же каждой обмотки гальванометра надо довести до 200—

250 ом. Гальванометр должен быть сделан с вращающимся магнитом и постоянными катушками, так как вращающаяся катушка в данном случае должна бы иметь несколько параллельных обмоток, что неудобно для конструктивного осуществления.

Предмет изобретения.

Прибор для реше ия системы линейных алгебраических урав ений методом последовательных приближений, 0TJINчан)щийся применением некоторого числа групп одинаковых, включенных

4 паралледька s вмытркчеакую сеть 1, 1 сопротивлений Ф„А„Аа..., В„В, Ва...-, ффСа..., средние точки которых в каждой группе присоединены к началу таких же сопротивлений

Х„Хв, Ха, концы коих через переключатели присоединены к подвижным контактам сопротивлений А„А,..., „ ..., С„С..., причем средние точки сопротивлений Х„Х„Ха..., в свою очередь, соединены каждая с началом соответствующей обмотки. гальванометра с несколькими обмотками, концы которых соединены с соответствующим контактом m сопротивлений Х„Х„Х ..., каковые сопроЭксперт Н. Н, Георгиевский

Редактор Н. И. Кузнецов,С„С С .., слуиа дм аыучениа на концах сопрбтивлений Х„ Х„ Ха... разностей потенциалов, пропорциональных коэфициентам при неизвестных, а со: ротивления Х„Х„Х ...— для отыскания величин разностей потенциалов, пропорциональных неизвестным уравнений, при пользовании добавочным рядом включенных параллельно же в сеть сопротивлений Д„дт, Да ° средние точки и подвижные контакты и которых соединены через переключатель с отдельной обмоткой того же гальванометра и которые служат для приложения к обмотке гальванометра разностей потенциалов, пропорциональных свободным членам уравнений.

Тип, «Промполиграф", Тамбовская, 12. Зак; 4717.