Прибор для решения системы линейных уравнений

Прибор для решения системы линейных уравнений

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

-i а

Идаое 42 m, 36

Я 36706 ф:» с ° °

АВТОРСКОЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО НА ИЗОБРЕТЕНИЕ

ОПИСАНИЕ прибора для решения системы линейных уравнений.

К авторск му свидетельству В. С. Морозова, заявленному

28 февраля 1933 года (спр, о перв. ¹ 124708).

О выдаче авторского свидетельства опкбаякова. :о 31 ьяа 1934 года. а„х, +а„х +а,,х.,+.....

1 —: — а» х -г-.....+а„х,, а»» х + а э тг + ага х.-+ аи xt .. +авп хи а,х,+а, х,+а,х,,+,... -1+ а х»+ ° ° ° ° + a»a „= pt (502) Предлагаемый прибор предназначен для решения системы линейных уравнений со многими неизвестными по методу последовательного приближения, осуществляемому механическими приспособлениями.

На чертеже фиг. 1 изображает общий внешний вид прибора; фиг.2-- р çðåç по линии аа фиг. ), и фиг. 3 — разрез по линии И фиг. 1.

Метематически метод последовательного приближения заключается в следующем. Пусть дана система уравнений с п неизвестными: а,„, х + а„х„+ а,,в х. +..... + а» t . "аи n — Ра . олагаем все коэфициенты первой строки, за исключением а„, равными О.

Делим р на а„; получаем первое приР» ближение х = —. Подставляем значеа ние х, во второе уравнение и считаем козфициенты в этом уравнения, начиная с а,, и т. д;, равными О. Получаем первое

Р,— а,, с, приближение х.,= - — — — - - — --. под) аы ставляем значение х, и х, » треьте уравнерв — а,х — а,х» ние, получим значение х, = — — з и т. д. дойдем до первого приближения х, .

Таким образом, получим первое приближение всех неизвестных. После этого делаем второй круг. Подставляем полученное значение неизвестных в первое уравнение, за исключением х„, которое является искомым и, решая уравнение относительно х„получим второе прир„ — а х — а х .... а „х„ ближение х,—

a„, и т. д. Три — четыре круговых подстановки дают практически достаточную точность полученных значений неизвестных. Этот прием дает быстрое решение, и особенно в случае большой разницы между диагональными и побочными коэфициентами, ио все же требует большого количества арифметических действий.

Предлагаемый прибор построен на этом простом математическом принципе решения уравнений. Каждый член ура внения можно рассматривать, как нексторый „ объем газа или жидкости; тогда сумма членов уравнения даст объем, равный свободному члену. Если примем величину коэфициента при неизвестном за площадь круга сечения цилиндра соответствующего диаметра, то высота этого . цилиндра будет равна величине неизвестной.

Представим себе ящик (фиг. 3), разделенный вертикальными перегородками на части, отделяющие как бы строчки равнения одну от другой — I, П, Ш и т. д.

По горизонтальному направлению каждой сгрочки по количесгву неизвестных на крышке ящика имеются отверстия s, плотно закрываемые крышкой (фиг. 1).

Каждое из отверстий соответствует, таким образом, одному члену уравнения а„х„а„х, и т. д.

11мея запас соответствующих крышек с уже вделанными в них цилиндрами о и поршнями со штоком с, на котором имеется резьба, мы можем набрать наше уравнение по заданной схеме, т. е. вставить соответствующие номера крышек с цилиндрами. Практически, если считать отношение коэфициентов уравнения равным 50-ти, то достаточно иметь 50 разновидностей крышек, с разницей в площадях О, 1 я; шток к поршню цилиндра прикреплен эксцентрично, Набрав уравнение, впускаем в каждое отделение коробк l, ll, 11I и т. д. через трубки 0 или газ или жидкость. С правой стороны прибора из каждого деления ящика выходят трубки f, оканчивающиеся, в случае применения газа, манометром d, а в случае жидкости— трубкой е с делениями и двумя уширителями (сборниками). Уровень жидкости должен быть доведен в трубке до отчетного нуля, а в случае газа — манометры должны показать одно и то же давление. Свободные члены ставим добавлением в соотвегствующие воронки жидкости по объе лу, равному свободному члену, или увеличиваем на соответствующее давление, тождественное свободному члену, показание манометра путем введения добавочного газа в коробку.

Каждый из штоков с поршня соединяется резьбой с общим винтом к, идущим по направлению столбцов. Этих винтов будет сголько, сколько столбцов уравнения 1, 2, 8, 4, 5 и т. д. Каждый винт имеет на фасаде коробки систему колес л с циферблатами. Вращение винта дает показание высоты опускания или поднимания в-ех поршней цилиндров соответствующего столбца, При вращении винта вправо, в случае, если шток стоит справа по отношению к винту, поршень будет опускаться, если же шток стоит слева по отношению к винту, то поршень будет подниматься.

Это соответствует знакам коэфлциенгов при неизвестных, и крышки с цилиндрами и поршнями устанавливаются согласно этому правилу. Вращение винта вызовет опускание одних и поднятие других поршней, что изменит объем или жидкости или газа в коробках, и жидкость в соответствующих трубках займет положение или выше или ни ке условного нуля; в случае газа манометры дадут отклонение.

По установке прибора начинается решение. Вращаем первый винт в ту или другую сторону так, чтобы манометр первой коробки дал показание условного нуля.

После этого вращаем второй винт так, чтобы показатель второй коробки, который изменился вследствие вращения первого винта, дал опять принятую условную отметку и т. д. до и-ro винта. Показатели циферблатов (счетчики) дают первое приближение значения неизвестных. Переходя опять к первому винту и продолжая тот же прием до последнего, получим на циферблатах вторые значения неизвестных и т. д. Достаточно три - четыре приближения, чтобы уравнять показания манометров или трубок (в случае жидкости), и тогда отсчеты на циферблатах дадут окончательное значение неизвестных.

Этот прибор может быть с успехом применен для расчета статически неопределимых систем в рамных конструкциях.

Необходимая степень точности может быть получена в зависимости от конструктивного оформления прибора и его назначения в соответствии с выбором надлежащей жидкости или газа и точности показаний. Не исключена возможность применения изложенного принципа на изменении количества электроэнергии, Предмет изобретения.

Прибор для решения системы линейный уравнений со многими неизвестными по способ после овательного и ибли- д р помощи выходящих наружу трубок f, женин, отличающийся применением в случае заполнения газом, с манометпрямоугольного сечения резервуара, раз- рами d, в случае заполнения жидкости— деленного вертикальными перегород- с трубкой е со сборником и делениями ками на полости I, II, Ш...,соответствую- на ней. фиг

Эксперт и редактор Н. Н. Георгиевский

Гиа..1!рояяовиграф". Тамбоввкая, 12. Зак 4717.

Прибор может быть изготовлен для решения системы уравнений с любым числом неизвестных.

Не исключена возможность применения прибора в других областях. техники, физики, астрономии и т. д. (щие строкам уравненяй и прикрываемые крышками с поршнями, имеющими сечения, пропорциональные коэфициентам при неизвестных и расположенными соответственно столбцам уравнений, снабженные же зубчатыми рейками штоки с поршней каждого столбца сцеплены с винтовым валом к, для отсчета числа оборотов которого применены счетчики а, причем полости I, II, III... заполнены газом или жидкостью и соединены при