Прибор для вычисления определенных интегралов типа |ab f(у) dх

Прибор для вычисления определенных интегралов типа |ab f(у) dх

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Я 30707

12,с,.1 ..ь), 1

АВТОРСКОЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО ИА ИЗО6РЕТЕИИЕ

О П ИСАНИЕ прибора для вычисленния определенных интегралов типа 1 (и) dz. а

К авторскому свидетельству С. Д. Понамарева, заявленноьу

1 июня 19:3 года (спр. о перв. Л 129625).

О i.ûäà÷å аьторского сьиаетельства опубликовано 31 мак 1934 го...а. х + и д

fр па ргtfx а ф, дх @2Й а ь у У! г 2

В технике при решении целого ряда практических задач встречается необходимость брать определенные интегралы типа ь

f (y) Ch, ãäå y = q (х). а

Например, при определении стати-, ческого момента Я или момента инер ции t какой-либо площади относительно оси хх (фиг. 1 и 2) приходится вычислять интегралы: .

Если функция у=с (х) задана аналитически, то, во бще говоря, интегрирование может быть выполнено, но обычно это связано с большими математическими выкладками, что требует много времени и умственного напряжения, тем более, что очень часто отдельные участки кривой выражаются разными уравнениями. Не менее часто встречаются фигуры, очерченные линиями, полученными из конструктивных соображений или экспериментально; в этих случаях у = q (х) остается аналитически неизвестной, и тогда можно применять только графические способы, которые также требуюг много времени и кропотливой работы.

Уже с давних пор все проектные организации и научные учреждения снабжены планиметрами, — приборами, позволяющими определять площади фигур, ограниченных любыми линиями.

С математической точки зрения можно сказать, что планиметр есть прибор, позволяющий брать определенные интеь грады типа пах, гда и= а (х).. :,.„, ; „„„

4" ъ

Ф . 43Д(; " м ф " ФЦ >, Г1редлагаемый.:, прибор имеет целью расширить область применения плани метра и позволяет не только брать указанные выше, интегралы, но да.-т воз. можность механическим путем вычислять, например, интеграл Мора ж2

3f М„dz, которйй, как известно, il

„,х> играет громадную роль в теории сооружений, так как с помощью его находятся деформации различных систем.

Возможность брать этот интеграл механическим способом значительно упрощает технику расчетов и позволяет внедрить формулу Мора в ряд отделов строительной механики, где до сих пор она применялась лишь в очень слабой степени, в виду сло><ности аналитических выкладок, например, в расчет кривого бруса большой кривизны ит. д.

На чертеже фиг 1 и 2 поясняют графически определение статического момента Ь „или момента инерции l какой-либо плошади относительно оси zz; фиг. 3 — вид прибора сверху; фиг. 4— вид сбоку; фиг. 5 — 7 д таль движка в различных проекциях; фиг. 8 — схема, поясняющая пользование прибором, фиг. 9 и 10 — графики, относящиеся к нахождению статического момента -, и центра тяжес1и фигуры относительно оси хж и к определению прогиба балки в некоторой точке ее.

Пред>тагаемый прибор имеет следующее устройство. Вдоль планшайбы А (фиг. 3, 4) может поступательно двигаться движок В, с шаблоном S, на котором сделан прорез 0 NN по кривой

a=f(y), шириною около1 мм. Шаблон устроен сменным для того, чтобы можно было применять прибор при различных функциях в =) (y).

Ось уу у кривой прореза z.-- f (y) должна совпадать с осью zz заданной кривой и поэтому наиболее удобно, чтобы она помещалась на краю движка (ось ы yy, начало координат точка 0).

Относительно движка перемещается пластинка С с нанесенным на ней угольником аМ (угол при вершине и равен 45 ) Одна из сторон угольника abc, представляющая прямой прорез шириною в 1 — 1,5 мм, всегда „перпендикулярна к ребру планшайбы А, а следовательно, и к краю движка В и взаимно совмещенным осям тж и уу кривой. а=/(у). -,Другая сторона угольника abc всегда проходит через начало коордйнат О кривой з =/(у), в каком бы положении движок В и угольник С йи находились. Для осуществления такой связи между угольником и движком на последнем имеется прямолинейная направляющая НН, проходящая через начало координат О, а сторона угольника . пЬг представляет собою прорез; таким образом, угольник будет скользить по направляющим относительно дв,".жка с соблюдением указанных выше условий.

В вершине угольника а (фиг. 3) поме щается игла, которая для удобства может быть вынесена в сторону параллельно оси Х или L . Это будет лишь смещать заданную кривую относительно прибора. Установив неподвижно планшайбу так, чтобы orb yy, совпадающая с краем движка, совмещалась с осью тх заданной кривой, обводят иглой L или Х заданную кривую по стрелке часов и ось жж справа налево (или наоборот). При э ам пластинка С и движок Б перемещаются вдоль планшайоы А, а шпиль планиметра, помещенный в точке а пересечения двух прорезов NA и ab, увлекаемый первым и направляемый последним, будет описывать кривую г=) (у).

Счетчик планиметра даст нам

b ь гдж = f(y) dz.

Действительно (фиг. 8) ab=y. Если р=45, то ah= 0b=y; если >ке сделать угол р не 45, а любой, то

0b=ytgy; иногда это будет лишь менять масштаб и может быть удобно использовано; bd=ã=f(у).- Шпиль планиметра, связанный с точкой d, будет описывать кривую г= f(y), а его счетчик даст нам интересующий нас интеграл.

На фиг. 8 указано применение прибора, заключающееся в том, что с помощью угольника и шаблона возможно перемешать шпиль планиметра по требуемой кривой без построения этой кривой, и таким образом получать

f (y) dz, если графически задано у = р (х).

Пример 1. Найти статический мо мент E и центр тяжести фигуры (фиг 9) относительно оси хх.

Имеем:

oh= у; 0b = y tgр=уу, где р=tg<р.

2 2 2 2

Установив иглу а в точке А фигуры, записываем отсчет по счетчику планиметра, затем обводим иглу а по контуру фигуры по часовой стрелке; возвратившись в точку А, вновь записываем показания счетчика; разность конечного и начального показаний дает нам площадь F фигуры, у которой ординаты всех точек равны Лр y .

2 2

Я

S,.= г ° ° ° ° ° у=

2Лу

5, у

f2,Л -р f

Помошью планиметра легко находим f — плошадь заданной фигуры.

Для того, чтобы найти момент инерции этой фигуры 9тносительно оси хх, надо воспользоваться другим шаблоном, з =F для которого = — у, тогда l = з р

Таким образом мы видим, что определение центра тяжести и момента инерции любых фигур, т. е. решение двух больших задач требует всего лишь двух шаблонов.

П ри м е р 2. Особое значение, как уже указывалось выше, прибор приобретает в решении интеграла Мора ЯММ, dx, где Л= — f(z) и М,=р(х) заданы эп юрами изгибающих моментов, например,- требуется определить прогиб балки в некоторой точке С (фиг. 10). хг х7

) уу, ух = — ({у+ у, ) -— у — у, 1 шх = х1 Х1 хг (у+у,) дх— х х2 хг — y,Их — уЫх

2 Г 2 х1 Х1 т. е. х2 х2

ММ, dz = (y+y,)2dz— х х1 х2 х2

2 Г 2 — y dx — I y dx х1 х1

Каждый из интегралов, стоящих в квадратных скобках, берется как статический момент с помощью шаблона хг

2 Г г в = Угу, так что у дх = — -„- где

E площадь эпюры, ординаты которой

2 2 равны kp у, т. е. у О., р

21 р

r > ЗЩ de= х1 о а3

2kp

Движение иглы L прибора показано стрелками, 1) Строим балку в масштаба Мм— а См.

2) Строим эпюру от единичной нагрузки 1 им — р см, т. е. 3I,=y, З.

3) Строим эпюру изгибающих моментов, откладывая ординаты от оси хх и от единичной эпюры одновременно в масштабе 1 имг — см, т. е. М=уу., - 2 хг л Щ х=а, 1 уд, х, х1 х1 но

Сперва, перемещением иглы по часо- I вой стрелке, обводится кривая (y+y,} =

= V (h), затем кривая y =f (x), против стрелки часов, затем ось х слева на-.: право и, наконец, y, = u> (x) .и отив стрелки часов. Счетчик планиметра, шпиль которого помещен в криволинейном прорезе, сразу даст нам 2. про1

2 3 " гиб f — -,- + = q 2 (le и р могут, 2йр EJ равняться )).

Таким образом, достаточно, не отрывая руки, обвести иглой прибора кривые y + y, y и у и уможить получившуюся плошадь, подсчитанную по планиметру, на и прогиб найден при эпюрах любой сложности, т. е. даже в тех случаях, когда применение общеизвестного правила Верещагина является затруднительным.

Совершенно так же решается вопрос об определении деформаций кривого бруса; здесь интеграл Мора имеет вид х1

ММ, сЬ и он берется механически, ы1 только что описанным способом. Необходимо лишь эпюры построить на развертке оси бруса, т. е. дать графически М = a (8) и ЗГ, = ф (s).

Приведенные примеры показывают, каким образом решаются с помощью предлагаемого прибора довольно сложные задачи, которые приходится решать в подседневной инженерной практике. Полная механизация решения .це только сократит математические выкладки и съэкономит. много рабочих часов, но прибор позволит передать решение этих вопросов работникам средней квалификации и освободит инженеров от сложных и утомительных подсчетов, которые приходится делать

Предмет и зоб ретен ия.

Прибор для вычисления определень ных интегралов типа f (у) Ch по заданA ному графически у = р (h), ОтличаюШййся применением ходящего по планшайбе А движка 8 со сменным шаблоном Я, на котором имеется прорез N1V по кривой а =/(y) и поверх которого может перемещаться пластинка С с нанесенными на ней в виде угольника прорезами ab и ас, из которых прорез аЬ перпендикулярен к ребру планшайбы r1, и место его пересечения И с прорезом ХЖ на шаблоне предназначено для помещения шпиля планиметра, а прорез ас всегда проходит через начало О координат кривой а = f (y) на шаблоне 8, причем пластинка C снабжена иглой Ь, помещенной в одной из точек прямой, проходящей через вершину а угольника аЬс параллельно ребру планшайбы А и служащей для обвода заданной графически кривой.

Ф

Е авторскому свидетельству С, Д. Пономарера N %707

Эксперт Н. Н. Георгиевский

Редактор Н. И. Кузнецов tyn „Промиолигоаф. Тамбо свая, 12. ?ni. 4717