Прибор для решения систему линейных уравнений

Прибор для решения систему линейных уравнений

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Класс 42m, 36

М 37908

АВТОРСКОЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО . НА ИЗОБРЕТЕНИЕ

ОПИСАНИЕ прибора для решения систсмы линейных уравнений.

К авторскому свидетеяьству И. М. Рабиновича, заявленному

9 августа 1931 года (спр. о перв. М 92802).

О выдаче авторского с .идетельства опубликовано 31 июля 1934 года. (337} т1ри изучении технических вопросов очень часто возникает необходимость в решении системы линейных уравнений со многими неизвестными, как, например, в строительной механике, в которой всякая статически-неопределимая задача приводится к системе линейных уравнений; в особенности это относится к современным сложным рамным конструкциям, в которых число так называемых лишних неизвестных часто достигает нескольких десятков. Другим примером может служить теория уравновешивания ошибок по способу наименьших квадратов, находящая себе применение при всевозможных экспериментальных исследованиях, опытных наблюдениях и др.

Решение системы с большим числом неизвестных, нетрудное с теоретической точки зрения, на практике является крайне утомительной и трудной работой, требующей большого внимания, крайней осторожности в отношении допускаемых приближений, требующей непрерывного контроля на всем протяжении расчета, специальных приемов (метод Гаусса) и огромной затраты времени.

Графические методы невполне разрешают эту задачу, так как они пригодны только для трехчленных и пятичленных уравнений. С целью упрощения решений указанных систем уравнений известны приборы с применением кинематической цепи в виде системы многоугольников с устанавливаемыми параллельно сторонами. В подобных приборах предлагается вершины многоугольников устраивать принудительно передвижными по параллельным прямым, причем с такой степенью свободы, что, после перенесения на прибор всех коэфициентов и свободных членов данной системы уравнений, вся цепь принимает положение, дающее решение данной системы уравнений.

На чертеже фиг. 1 изображает схему плоского многоугольника; фиг. 2 — то же нескольких плоских многоугольников; фиг. 3 — вид плоской модели предлагаемого прибора; фиг. 4 и 5 — вид части пространственной модели прибора в двух проекциях.

Предлагаемый прибор основан на нижеследующем рассуждении. Если у плоского многоугольника ACEOUS (фиг. 1) точка Л неподвижна, а вершины С, E,,О, К могут скользить по неподвижным вертикальным прямым 1 — l, 2 — 2, 8 — 3 . то длины сторон многоугольника будут при этом изменяться. Гели обозначить углы наклона этих сторон к горизонтали через р„ „.... в„, а расстояния между осями — через а„, а„,... а,, то

CD = а„ tg р, = а„ctg,;

EF = a„ tg = a„ctg

OH=a„ tgy,=a„ctg

j = 11 i=n

КВ 1 -а,1 tg р 2: a,. cgt -,.... ° (1)

Ь=1 " 1=1

Обозначая

tg Р— Ctg д — Х1) 1Я < з СФЯ g = Хз ° ° °

tg e„= ctg =х„, можно уравненные (1) переписать в следующем виде а11 Х1+ а1з Х2+

+а,з xç+.... а,„х„=а„.... (2)

На этом основании можно сказать, что рассматриваемый многоугольник, имеющий и подвижных узлов, является кинематическим изображением линейного уравнения (2) с неизвестными х, х,... x„

KH j1åìàòè÷åñêàÿ цепь (или геометрическая фигура), АСЕ... К имеет и степеней свободы, так как ее положение определяется независимыми вертикальными перемещениями ее и узлов. Если считать длину RB (т. е. правую часть уравнений (2) постоянной, то степень свободы цепи снизится на единицу и будет равна и — 1.

На фиг. 2 изображены т аналогичных многоугольников; стороны каждого из них могут скользить по соответствующим заданным и вертикальным осям, расстояния между которыми обозначены вообще через а,.„. Если считать, что крайние правые концы всех этих многоугольников занимают заданные положения, то степень свободы всей этой кинематической цепи будет равна (n — 1) m. Если каким — либо способом устроить так, чтобы стороны всех многоугольников, обозначенные одними и теми же цифрами, оставались всегда параллельными между собою, как это и показано на фиг. 2, то при и = и система уравнений становится определенной. Этому соответствует и степень свободы кинематической цепи, равная и — т= О. Таким образом в случае определенной системы линейных уравнений кинематическая цепь превращается в неизменяемую фигуру. ф

Иллюстрирующая возможность практического применения прибора модель последнего (фиг. 3) состоит из рамы А, в которой расположены ползуны Б, снабженные параллельными щелями В и зажимаемые в требуемом на раме А положении барашками Г. В соответствующие щели вставлены штифты 21, которые служат шарнирами для сторон E кинематической цепи. Каждая сторона имеет на одном из своих концов круглое отверстие для штифта, и в средней своей части продольную щель,Ж, которая позволяет передвигаться в ней штифту сочлененной стороны. Благодаря этой щели, длины сторон кинематической цепи во время ее дни>кения могут измениться.

Шкалы 3 рамы предназначены для облегчения точного подбора коэфициенТоВ а11, а1з, азз, H T. д., а шкалы U— для отсчета длины вертикальных катетов

СД, EF и т. д. (фиг 1).

Для обеспечения параллелизма между одноименными сторонами многоугольников, между ними расположены связыв" ющие их дополнительные пятизвенйые шарнирные цепи К, каждая из которых, будучи шарнирно связана с дзумя сторонами основной цепи, образует с ними два параллелограма, имеющих одну общу1о сторону.

Помимо обеспечения параллелизма сторон, такая пятизвенная цепь налагает на движение основной цепи только одну связь: добавление среднего звена вносит три степени свободы, а шарнирное присоединение четырех боковых стержней вносит четыре связи; в итоге получается

4 — 3 = 1 связь. Эта связь и состоит в уничтожении взаимных угловых пере-. мещений обоих соединяемых стержней основной цепи; что же касается взаимных линейных перемещений, то они остаются свободными.

В пространственной модели фиг. 4 и 5 все многоугольники расположены не в одной, а в нескольких параллельных между собою плоскостях.

Стороны всех многоугольников,, изображающие неизвестную х„насажены наглухо на общую ось, так что их оси лежат в одной плоскости, причем так, чтобы при любом угле поворота оси все эти стороны повернулись на тотже угол.

Таким образом здесь не требуется никакой дополнительной кииематической цепи для сохранения параллелизма между аторонами. Для сохранения параллелизма между остальными сторонами служат соединительные детали в виде двух поступательных пар, состоящих из тела О, снабженного иа двух гранях взаимноперпендикулярными прорезами, в которые вставлены ползуны П, P. Ползуны, вставленные в одно и то же тело О, могут иметь друг относительно друга любое поступательное движение, а поворачиваться один относительно другого не могут. При помощи зажимов, снабженных винтом С, эти ползуны прикрепляются к соединяемым сторонам, заставляя

Нх сохранять взаимный параллелизм.

При таком устрбйстве- прибор может состоять из отдельных секций, каждая из которых предназначается для системы уравнений с числом неизвестных, не превышающим, например, 5 или б.

Увеличение числа неизвестных сверх предельного для данной секции числа

«требует увеличения: 1) числа многоугольников, 2) числа сторон в каждом из них.

Прибор допускает следующее обобщение. Прямолинейные параллельные траектории узлов многоугольников могут быть заменены наклонными непараллельными между собой прямыми или даже кривыми линиями. Для этого необходимо соответствующим образом перестроить щели В (фиг. 3), в которых скользят узловые штифты.

Для численного решения, например, системы п уравнений с п наизвестными, все ее коэфициенты и свободные члены, выраженные в числак, откладываются ползунками Б по шкалам 3 рамы А (фиг. 3). После установки ползунков по шкалам U отсчитываются длины катетов

СЯ, EF и т. д. (фиг. 1), а затем путем деления на основание АД, CF — находятся неизвестные. Автором имеется в виду решение также определенной системы линейных уравнений в случае, когда все или некоторые свободные члены даны в буквенном виде, определение фокусных отношений, нахождение условий обращения детерминанта в нуль, решение неопределенной системы линейных уравнений и т. д.

Предмет изобретения.

Прибор для решения системы линейных уравнений с применением кинематической цепи в виде системы многоугольников с устанавливаемыми параллельно сторонами, отличающийся тем, что вершины многоугольников устроены передвижными принудительно по параллельным прямым с такою степенью свободы, что после окончания операций, заключающихся в перенесении на прибор всех коэфициентов и свободных членов данной системы уравнений, вся цепь принимает положение, дающее решение системы уравнений.

К авторскому свидетельству И. М, Рабиновича % 37908

Эксперт Н. Н. Георгиевский

Редактор В. В. Казанцев

Тип.,Промполиграф . Тамбовская 12. Зак. об(О