Устройство для решения задачи многих тел

Устройство для решения задачи многих тел

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

¹ 451ll

Класс 42 m, 36

АВТОРСКОЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО НА ИЗОБРЕТЕНИЕ

ОПИСАНИЕ устройства для решения задачи многих тел.

K авторскому свидетельству M. А. Городского, заявленному 31 июля

1934 года (спр. о перв. № 151770).

О выдаче авторского свидетельства опубликовано 30 ноября 1935 года.

cl-х, gyeye2 (x2 — zy) + g2eye3 (х, — х,) 3 зв, 4зАз. (lа) И2Х2 g3e2e2 (Х3 — Х2) +дзЕ2Е, (Х, — Ха) Д2 зв.з

22 23 г12ха - д2еает (х, — х,) g3e3e2 (х2 — х3) — +—

4з.4з звз -4Ф3 йР зиа (164) Поставленная астрономией в XVII веке задача многих тел, сводящаяся к определению в зависимости от времени координат ряда материальных точек, тяготеющих друг к другу па закону Ньютона, в настоящее время вновь выдвигается теоретической физикой при изучении движений внутриатомных и внутримолекулярных частиц, как задача об определении в зависимости от времени координат ряда заряженных точек, взаииодействующих друг с другом по закону

Кулона и с массами вообще изменяющимися со скоростью (Розерфорд, Бор, Зомиерфельд).

При решении этой задачи многими математиками (Эйлер, Лагранж, Пуанкаре, Зундман, Брунс) применялся аналитический метод, не позволявший, однако, получить полного практически пригодного решения и оттолкнувший своей сложностью математиков от поисков решения задачи в общем виде.

Насущность решения задачи многих тел и неудача аналитического метода ее решения заставляют разрабатывать новые методы, в частности механический, заключающийся в построении определенного механизма, отображающего изменением своих элементов искомые зависимости.

Легко доказать возможность построения механизма, основанного на электро-, магнитных и оптических началах, позволяющего получить искомые значения координат в задаче многих тел с точностью регистрации величин тех элементов механизма, которые соответствуют указанным координатам.

С целью упрощения изложения основной мысли можно рассмотреть плоскую задачу трех тел, пренебрегая изменением масс этих тел с изменением скоростей.

Обозначая прямоугольные координаты трех точек А,, взаииодействующих друг с другом по закону Ньютона или

Кулона, через х,.; у (где Й=l, 2, 3), через m — инертные массы точек, через е — их тяготеющие массы в случае астрономической задачи или заряды в случае -физической задачи, через время, легко вывести следующие диференциальные уравнения движения:

dty, д,e,et (y., — у,) + д,е1е3 (у3 — у,) з2з- з>з) а

А)Аз

m,, .Я1,43

dQ3 . дзезез (уз у ) +д)е3е (У1 — у3) . (1Ъ) ), А)А3 з

-АЗА3 г)з3

d- Уз дее3е1

)гз3 (y) Уз) +g3ete3 (У> — У3) з, А2А3 з

А)А3

А,А„= V(>,, — х,) +(у,. — у,)3 и /г = 1, 2, 3; г =1, 2, 3 где т,х,+т,х,+т,х3=Х+М

m)ó)+m )2,+тзу3= Y+ 1 7 J (2) Для упрощения и не изменяя общности в дальнейшем можно считать, что начало выбранной системы координат совпадает с центром тяжести трех точек А,, то-есть

Х= — Y= Г= v=О. (3) Ф.

Составив всевозможные разности из из уравнений (1b), получают исходную уравнений (1а) и всевозможные разности систему уравнений

d3";)

dt - (1 1> — g е,е (— -+-— - 2) - > >3 г» ) - з

>143 д,,е,ез

-"-з дз Е >Е3. (4а) ти з

А1А3 аг., з

АЗА3

g,e,å> 1

ДЗЕ)Е, 3

1 с.> д>e3e3 3

А А

2 3. (4Ь) -.)„, А1А3 г2 9 е2>3

d- -". с23"Ф- >2з3. (4с) А,А3

d-;, еЮ д3е,е3 дзегез

)3 (4Д)

АЗА3 е4

dt3 — — —, — е.,е,е, (— + — ) дхе3е3 я з

АЗА3. (4е) е2->" > (и- е)

>. (4f) dt -

dt3 где

=) — хе> x)> -., — х, — х)> -, — х3 — х., ч — у> — у), г)3 — уз y)> )3 — уз у, (4y) Здесь уравнения (4с) и (4f) суть след- Найдя в функциях времени велиствия остальных и могут быть заменены чины ),. <3: >,; )„, удовлетворяющие уравуравнениями (2) и (3). нениям (4), без труда можно найти из — 8

Здесь g, = б,á74.10 для астрономи - ческой задачи или g,=+1 для физической задачи, при выражении всех величин в системе CGS; йри этом знак g, в последнем случае берется обратным знаку соответственного произведения е,е, Так как центр тяжести трех точек

А,, должен двигаться равномерно и ! прямолинейно, то система диференциаль! ных уравнений (1а и 1b) должна иметь следующие интегралы:

I — 3 уравнений (2), (3), (4g) и искомые велиBHHbl,; х,; Xg, jli, У ; у,.

Для решения системы уравнений (4) можно сконструировать механизм так, чтобы его определенные элементы, соответствующие переменным,; -,.; 1, изменялись согласно уравнениям (4).

Тогда очевидно, при соблюдении начальных условий, величины этих элементов будут изменяться со временем так же, как и искомые величины .-,; =.,;,; .

Зарегистрировав для ряда близких друг к другу моментов времени величины указанных элементов, можно таким образом получить искомое решение системы (4).

Один из конструктивных узлов, соответствующий, например, переменной, предлагаемого устройства для решения системы уравнений (4), изображен на приложенном чертеже.

Электрический ток от источника 1, сила которого определяется выражением

i = < + а, проходит через обмотку 2 зеркального тангенс-гальванометра 3.

Здесь параметр а, с целью упрощения конструкции механизма, выбирается настолько большим, чтобы сила тока i, оставалась положительной при всех имеющих место значениях величины»-1.

Гальванометр 3 снабжен многогранным зеркальцем с магнитом 4, подвешенным на тонкой нити и устанавливаемым в определенное положение соответственно величине силы тока г,= =", + а, а следовательно и величине,.

Отражение шкалы 5 в одной из граней зеркальца 4 с нанесенной на ней вертикальной чертой фотографируется через равные промежутки времени аппаратом б, построенным по системе кинематографа. При этом шкала 5 градуируется так, что проекция указанной черты на отражение шкалы 5 сразу определяет величину „которой соответствует положение зеркальца 4.

Луч света от электрической лампочки 7, не изменяющей со временем силы света, отразившись от соответствующей грани зеркальца 4, проходит через светофильтр 8, отражается от вогнутого эллиптического зеркала 9 с фокусами в точках 4 и 10 и падает на фотоэлемент 10. Ток от фотоэлемента 10 проходит через плоскую обмотку 11 зеркального гальванометра 12, закрытого сна ружи железным кожухом 13, который вместе с рядом постоянных магнитов (не указанных на чертеже) нейтрализует магнитное поле земли вблизи зеркальца и магнита 14. При этом светофильтр 8 затушевывается полупрозрачным лаком так, что соответственно каждому положению луча 4 — 9, а следовательно и значению величины =.1, сила тока в обмотке 11 устанавливается равной i» — — /гДз, где А,— некоторый малый коэфициент. Луч от лампочки 7, отразившись от соответствующей грани зеркальца 4, проходит через светофильтр 15, отражается от эллиптического зеркала 76 с фокусами в точках 4, 17 и падает на два рядом стоящие фотоэлемента 18, 19, соединенные последовательно и присоединенные к плоской обмотке 20 гальванометра 12. При этом плоскости обмоток 12, 20 располагаются перпендикулярно одна к другой, а линия их пересечения совмещается с ссью вращения зеркальца 14. Светофильтр 15 затушевывается лаком так, что соответственно каждому положению луча 4, 1б, а следовательно и значению величины - .„ сила тока в обмотке 20 устанавливается равной

+ >i(b) со знаком, тождественным знаку величины -"1. Ток силой i.„„==/г,, от узла устройства, соответствующего переменной » проходит через обмотку 21, совпадающую практически с обмоткой 17, но изолированную от нее.

На основании теории тангенс-гальванометра следует, что описанный гальванометр 72 следует отрегулировать так, что каждому значению дроби

+(;1) з

< + ....... (5)

1 Wi будет соответствовать вполне определенное положение магнита и зеркальца 14.

Пусть указанная отрегулировка выполнена. Луч от лампочки 7, отразившись от зеркальца 74, проходит через светофильтр 22, отражается от эллиптического зеркала 23 с фокусами в точках 14, 24 и падает на два рядом стоящих фотоэлемента 25, 2б, соединенные последовательно и прксоединенные к цепи, со/1 11 4

«2 .2е (» +«; )3

° (7) — 1С>g.Е,Е,> 3 — 3

А A

+ L«>g3e>< 3 д3

8, m.>

А.,А3. (8) стоящей из двух ветвей. Первая из этих ветвей состоит из обмотки 27 тангенсгальванометра 28 с зеркальцем 29, обмотки 30 индукционной катушки 30, 37, и регулируемого сопротивления 31; вторая же ветвь состоит из регулируемого сопротивления 32.

Светофильтр 22 затушевывается лаком так, что соответственно каждому положению луча 14, 23, а следовательно и каждому значению величины (5) сумма (требуемый знак- при правой части равенства (7) устанавливается ласредствон l соответствующего включения обмотки 27).

С обмотками 27, 30 практически со- i впадают, но остаются изолированными от I

Благодаря самоиндукции цепей и инертности зеркалец 4, 14 силы тоHo8 „, i33> г34 в обмотках 27, 33, 34 гальванометра 28 будут отставать по времени от своих значений (7), (8), вычисляемых исходя из величин „,, 1„ 4, регистрируемых фотоаппаратом 6. При этом эти отставания, обусловленные указанными факторами, с довольно большой точностью можно считать пропорциональными производным по времени от соответствующих сил 1:-Д i3 i34 токов, Обмотка 37 индукционной катушки

30, 37, соединенная с обмоткой 38 гальванометра 28, практически совпадает с обмоткой 27 и изолирована от нее.

При прохождении тока по обмоткам 30, 35; 36 в обмотке 37, возникает электродвижущая сила индукции, пропорциональная довольно точно производной по времени от суммы (i3«+ i33 + i34) силе токов (7) и (8). Индукции и самоиндукции обмоток 30, 35, 36, 37, а также сопротивление связанных с ними цепей подбираются так, чтобы в наибольшей степени нейтрализовать отставание суммы (i +i33+334) сил токов в обмотках 27, 33, 34 током, идущим в обмотке 38.

К обмотке 2 гальванометра 3 при,соединены обмотка 39 индукционной касил токов в обмотке 2? и ответвлении 32 устанавливается равной д2 «

i== — — — —, .... (6) (;+ «ДФ где А3 — постоянный малый коэфициент.

При этом сопротивления 31, 32 устанавливаются так, чтобы общее сопротивление внешней цепи фотоэлементов

25, 26 оставалось постоянным, а сила тока в обмотке 27 оказалась равной них две следующие пары обмоток 33, 35 и 34, Зб, по которым последовательно от узлов устройства, соответствующих переменным д.„ =3 идут токи с силами: тушки (без сердечника) 39, 40, пластинка 41 из плохо проводящего ток материала и ванна со ртутью 42, в которую опущена пластинка 41. Пластинка 41 поднимается и опускается помощью винта 43, связанного с маховичком 44 и электродвигателем 45. Регулировка движений пластинки 41, а следовательно и регулировка изменений вместе с силой тока i3 = »-1+ а и. изменений величины ="1 осуществляется посредством индукционных цепей 46, 47, 48, 49 следующим образом. Цепь 46 состоит из обмоток 40, 50, 52 индукционных катушек 39, 40; 50, 51; 52, 53. Цепь 47 состоит из обмоток 51, 55 индукционных .катушек 50, 51; 54, 55, Цепь 48 состоит из обмоток 53, 54, 56, 58 индукционных катушек 52, 53; 54, 55; 56, 57 и гальванометра 28, Цепь 49 состоит из обмоток 57, 59 индукционной катушки 56, 57 и гальванометра 28. При этом указанные индукционные катушки не имеют сердечников и, следовательно, обладают постоянными коэфициентами индукции, обмотки же 58, 59 гальванометра 28 практически совпадают с обмоткой 27, оставаясь изолированными от нее.

Силы токов, возникающих в цепях 46, 47, 48 и 49 под влиянием изменений силы тока в обмотке 39, будут 43 4»

999 = 92 (o(49 ) + 2o(49 )+ 99(49 )+ 92 (,И )

992=.» (— 9-99(,9 )+ 99(И )+ 9("99 ) ) ==. ., (- (" ")+"-(" ")+ (-" "-)+- " (-"" -) )

999 (99(49 )+$9999(» ) Отсюда можно получить сумму сил токов, идущих по обмоткам 58, 59, ии46 499 и 48 и 46 48 ии4-, . ш2 2

-;-;."-.)(— "" - )+(;.";,. + ..";, ) ("" ) i«+ i46 ——

+ 252

9248

+ (-52 .40

И 48 . W46. (10) Индукции, самоиндукции и сопроти- 1 ваемых цепей подбираются так, чтобы ления (всего 13 величин) рассматри- I имели место соотношения

< L56958 L@8 1 4 56258 и 48 12 48 И 48 (— 899 <5658) 48 0

22 48 . 92 48 52

А36 — = /г2

И 46

2 48 "48

L5oL4G L54L5o - 56 58. (11) И,2»,2 9»9298,-, +(W,.

+ 52 50

>481 84 g

2248 "48

?84Й47 + (+296288 48 47 И248 48 4 И

2 2

+52 Х54 "1 L"-+ ("+ L- »5 258 = 0

8848 / "и48 4 9" 98 И"48 / 46

< 4256,58

Г4

И 48 9246 2248 9 47

При этих условиях равенство (10) обратится в следующее:

Юг 2, d -:, i48+ 4, = k „,,- = k. (12) i48, г42 соответственно. Обозначая через

W4G W47 8 48, W49 сопротивления указанных цепей и через L46, L47, L, . L42 их коэфициенты самоиндукции, через L88, L5p4 L» L54 коэфициенты индукции каОбмотки гальванометра 28 отрегулировываются так, что в случае равенства суммы (12) сумме сил остальных токов, идущих по обмоткам, зеркальце с магнитом 29 под влиянием. магнитного поля земли устанавливается в положение, при котором луч света от лампочки 7, отразившись в зеркальце 29, проходит между двумя фотоэлементами 60, 61. Фотоэлементы 60, 61 соединены последоватушек 39, 40; 50, 51; 52, 53; 54, 55 и через L,6Ä-7 коэфициент индукции совокупности обмоток 56,58 и 57, 59, можно написать следующие уравнения, определяющие силы токов в цепях 46, 47; 48, 49, тельно и, при указанном нормальном положении зеркальца 29 и луча 29 — 60, 61, не дают тока. При отклонении же луча 29 — 60, 61 от нормального положения ток, возникающий во внешней цепи фотоэлементов 60, б1, поступает в усилитель 62, состоящий из ряда катодных ламп, питаемых от источника 1, и затеи служит для приведения в движение электродвигателя 45. Электродви. (13) Проинтегрировав последнее уравнение, помножив обе части его предварительно

И=" на вЂ,, получают уравнение (-;, -) = Elf, + 2С,С, + C., . (14) . отсюда после второго интегрирования получают

+С, + С + +С, + .

Пусть по условию задачи в начальный момент t= to должно быть. (1б) Пусть, кроме того, в некоторый предыдущий момент — момент пуска, для которого t= t — 1, скорость маховика 44 равна нулю. г

Тогда в этот момент должно быть при --> — — "=., . (17) гатель устанавливается так, что, приводя в действие реостат, он изменяет вторую производную силы тока t, = -- . + а до тех пор, пока ток от фотоэлементов

60, 61 не прекратится; одновременно с этим окажется удовлетворенным уравнение (4а). Электрод 41 подбирается такой формы, чтобы при равномерном вращении электродвигателя 45 сила тока

i., = --, + а в .обмотке 39 изменялась пропорционально квадрату времени, благодаря чему сумма сил токов в обмотках

58, 59 оставалась постоянной. При таком устройстве электрода 41 регулировка работы реостата 41, 42 будет осуществляться при минимальном отклонении зеркальца 29 от своего нормального положения. йналогичным способом строятся узлы устройства, соответствующие переменным ь „,. Узлы же, соответствующие переменным „, на основании уравнения (4g), могут быть упрощены.

Так например, узел, соответствующей переменной ".", строится следующим образом: обмотка гальванометра 3 составляется из двух проводов, практически совпадающих, но изолированных друг от друга, По этим проводам от узлов, соответствующих переменным „-.„ пропускаются в разных направлениях токи с силамиi, = "-" + а; i, = " + а, благодаря чему общая сила токов в обмотках гальванометра 3 окажется равной

i =, — -"; = з. Так как отпадает необходимость регулировать последние токи, то в рассматриваемом узле отбрасываются гальванометр, соответствующий 28, цепи 46, 47, 48, 49, усилитель 62, реостат 41, 42 и источник тока 1. Кроме того отбрасываются. шкала, соответствующая 5, и фотоаппарат 6, так как значения переменной -"-., могут быть получены из уравнений (4g) простыми вы числениями.

Порядок пуска устройства в ход следующий. Обмотки 11, 21 гальванометра

12 выключаются и в обмотку 11 пускается ток от дополнительного фотоэлемента силы гп — — /гД, -> а в обмотку 21 — ток силы г„= /гт, „где =О„, — значения переменных Э „Р в начальный момент.

Обмотки 33, 34 выключаются и в одну из них пускается ток силой i =k С от дополнительного фотоэлемента, не указанного на чертеже. Сопротивления 31, 32 устанавливаются так, чтобы в обмотке 27 шел ток силы 4> =A IM4. Тогда вторая производная по времени от силы тока i =, +а или вторая производная по времени от величины --"., будет всегда в устройстве равна выражению:

Уравнения (16), (17) на основании уравнений (13), (14), (15) после преобразований приводятся к следующим

ИР и (ыс)o. (18) =0 о — /Ning. (19) . (20) М, -+ 2C +Сг=0.......... (21) отображаются в каждом узле силою некоторого тока, регулируемого помощью электромагнитных и оптических устройств так, что упомянутые силы токов изме няются во времени согласно системе диференциальных уравнений второго порядка для движения заданной системы тел.

2. Форма выполнения устройства по и. 1, отличающаяся теМ, что в каждом узле применены три тангенс-гальваноответствующих переменных, а также токами, индуктируемыми в соответствующих обмотках током, проходящим по обмотке 2 тангенс-гальванометра 3, идут по обмоткам тангенс-гальванометра 28, магнит 29 с зеркальцем которого служит для направления луча лампы 7 на фотоэлемент б0, б1, токи которого по их усилении усилителем 62 служат для пиПредмет изобретения.

1. Устройство для решения задачи многих тел, отличающееся применением ряда узлов, соответствующих координатам заданных тел, каковые координаты

Можно задаться промежутком времени (to — c,), что окажет влияние только на конструкцию устройства; тогда окажется возможным вычислить таблицу величин М в зависимости от величин отношений ., ):1 — по уравнению (18), из которой возможно будет получать значения iN.

Получив же М, из уравнений (19), (20), (21) легко можно найти величины .(— >)

С,; C; =,, определяющие вместе с величиной М состояние устройства в пусковой период от момента пуска до начального момента. В начальный момент согласно уравнениям (13), (14).... (21) начальные условия (16) должны оказаться выполненными, после чего вся проводка узла включается нормально. аналогичным способом производится пуск остальных узлов механизма.

Для задач более сложных, нежели рассматриваемая плоская задача трех тел, способ построения устройства остается прежним. Конструктивные узлы могут осложниться только в отношении увеличения числа обмоток гальванометров, соответствующих 12, 28, самое же устройство может усложниться в отношении увеличения числа конструктивных узлов. Порядок пуска механизма в ход остается прежним. метра 3, 12 и 28, из которых через обмотку 2 тангенс-гальванометра 3 проходит ток, пропорциональный первой степени переменной, и магнит 4 с многогранным зеркалом служит для направления лучей лампы 7 через соответственно подобранные фильтры 8 и 15 после отражения от соответственным образом ориентированных эллиптических зеркал

9 и N на фотоэлементы 10 и 18, 19, токи которых совместно с током от второго узла проходят по обмоткам 11, 21 и 20 тангенс-гальванометра /2, магнит

14 которого с зеркальцем служит для направления луча лампы 7 через светофильтр 22 при помощи эллиптического зеркала 23 на фотоэлемент 25, 26, токи которого совместно с током индукционной катушки 30, 37 и токами узлов со— 8 тания электродвигателя 45, управляющего включением жидкостного сопротивления 41, 42 в цепь обмотки 2 тангенс-гальванометра 3.

3. В устройстве по п. 2 применение шкалы 5 и кинематографа б для регистрации через равные промежутки времени сил токов в обмотке 2.

Тип. „Печатный Труд". Зак. 1617 — 400