Устройство для решения систем алгебраических уравнений

Устройство для решения систем алгебраических уравнений

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

,1 . 4

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

Сфвэ Сааотеиыж

Сецыаиыетычееиым

Реепубаыи

579633

К ABTOPCKOMY СВИДЕТЕЛЬСТВУ (61) Доиолнительиое и авт. свил-ву (ЙВ) Заавлеио 30.01.7б (21) 2321071/18-24 (51) N. Кл.< е врнеоеааввеиеы эаеваи Ю

О Об & 7/34

ЙЩафйЭЭЮЙ %Nfl

ONoN ВевтРее NII

OO 3IOOI IOOlPOVROI

I NI@ITN (23) Приоритет (4Э} Ои бликоваио05.11.77. Бюллетеиь Ю 41 (63) УДК 681. 333 (088.8) (45) Дата оаублаиееаниа ееисаюн 2511.77

Г.Е. Пухов, И.H. Кулик, В.Д. Бакуменко, A.A. Аминов, В.В.Дринь н B.Н. Чумаков (72) Авторы изобретений (71) Зайвитель институт электродинамики Ан Украинской ссР (54) ус1РОЙстВО для Решения систе14

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике и может быть использовано как в составе гибридных вычислительных систем, так и автономно для решения систем линейных алгебраических уравнений с произвольными неособенными матрицами коэффици- ентов.

Известно устройство для решения систем линейных алгебраических уравнений, содержащее трансформаторы и блок суммирования (1).

Наиболее близким по технической сущности к изобретению является устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее операционные усилители, выходы которых подключены ко входу вспомогательной матрицы резисторов, а входы через основную матрицу, резисторов соединены с источниками напряжения (2).

Однако эти устройства сложны и громоздки °

Целью изобретения является упрощение устройства для решения систем алгебраических уравнений.

Для этого в устройство для решения систем алгебраических уравнений введены дифференциальные усилители, неинвертирующие входы которых соединены

2 с выходами вспомогательной матрицы резисторов, инвертирующие входы дифференциальных усилителей через резисто" ры подключены к шине нулевого потенциала, в цепь обратной свФЬи дифференциальных усилителей подключены конденсаторы, На чертеже схематически изображено устройство для решения систем алгебраических уравнений.

Устройство состоит иэ операционных усилителей 1, дифференциальных усилителей 2 с неинвертирующими 3 и инвертирующими 4 входами, основной 5 и вспомогательный б матриц резисторов для набора коэффициентов решаемой систеьая уравнений и источников напряжения 7 для моделирования вектора праэ0 вых частей. Выходы дифференциальных усилителей цепями обратной связи, содержащими конденсаторы 8, соединены с инвертирующими входами, а последние через резисторы 9 подключены к

25 шине нулевого потенциала.

Для устройства справедливы следующие уравнения, записанные с учетом паразнтных емкостей C., между входами и выходами операционных усилителей 1

3Q и емкостей С между инвертирующими

579633 входами и выходами дифференциальных усилителей 2.

В узлах подключения ко входам усилителей 1

d

° ° ° ° ° ° ° °,.......,...., (y) (а1 д (х - Чя) (>

Для усилителей 1 у,--Кч,, (g )

Цв»-КМ

Для усилителей 2 х "K(f - г)

4 (i e (g)

35 „ -к ((rn - „), где а(и Ь1) - постоянные коэффициенты основной и вспомогательной

j матриц проводимостей (обычно Ъ() а(1);

V,lf - напряжение на входах и вы- 4р ходах усилителей; P,f,Õ вЂ” напряжения на инвертирующих и неинвертирующих входах, а также выходах усилителей 2>

- токи схем задания правых частей

М вЂ” коэффициент усиления усилителей 1 и 2 д" 9% ф — входные проводимости усиЬ» в бм лителей 1 и 2 50

g<- gn — проводимости резисторов 9 (обычно принимается Я1g< ".=Яп=g);

С вЂ” емкость конденсаторов 8.

В матричном представлении системы уравнений (1) †(5) принимают вид

i1 (Ч -V) )4Ч 1, д у >

d (X-Г)

А Y МЬ„Ф+С 1 = М Г, ы r.ñ d(x-ф).к ф, Ьм Д1 ч (ь2

Y---КЧ, Х -К(Г-Ф), где _#_q,Ny, N — диагональные матрицы 65

-(и;1 " 01и КЬ„,).Ч1+(ч И) ni X +... +a с1(Ч -V ) ъп и (п»+- Onn+q )g +( и п

В узлах цОцключения к неинвертируЮщим входам усилителей 2

15 . + b ». 1з1».» а(х»-ц»)

Ь„ 1 2

- (Ь; .„Ъ„, g ) -",, (2)

И) d (х я 4Гр) 1в 3» .„bnn 9n 9 g n п+Сх

И) (bin "° +bnn» Chary) п

В узлах подключения к инвертирующим входам усилителей 2 й(х»- i) х>

9 Ь« »+ „ (t

МЬх — ДиагональнаЯ матРиЦа вхоДных проводимостей усилителей 2

А - матрица коэффициента решаемой системы уравнений;

- X,V,Ч,Ф,ГиХ- векторы узловых напряженйй и токов правых частей.

В установившемся режиме, когда () Равны О, для устройства справедливз система уравнений вида

AXN Ч+1 А У+ХЬ„Ф»Н Г

ИЬ„Г М Ф, (7)

Y» -KV, Х -К(Г-Ф).

Иэ первого уравнения системы (7) видно, что при условии Ч»0, всегда соблюдается благодаря очень большой величине коэффициента К (К » 50000200000). Устройство является моделью системы линейных алгебраических уравНений вида АХ»1 . Преобразованием

2-4 уравнений системы (7) можно получить выражение, связывающее векторы Х и

„ - 01)-l(Й и И „-Я)Х, (8) где Их- Кà — Йбх Му у gЬ„; единичная матрица.

Из выражения (8) видно, что в силу выполнения условия К - Q норма вектора Y будет малой даже при большой норме вектора Х, и вектор Ч не станет ограничивающим фактором использования полной шкалы рабочих напряжений, применяемых в устройстве °

Исследуем однородное дифференциальное уравнение относительно вектора V,.напученное методом исключения из системы уравнений (6), которое при выполнении условий применения реальных усилителей постоянного тока, т.е. К »Q и малости величин

С, Съъ (» и N<» Кф имеет вид

Для устойчивой работы устройства необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения

d <+AR АЕ (i 1АА» 1 = (), (щ) соответствующего дифференциальному уравнению (9), имели отрицательные вещественные части. В уравнении (10)

С и С1 - положительные числа, Я диагональная матрица с положительными элементами матрицы АА и AN A

Ф положительные определенные при произвольной неособенной матрице А. В этом случае все корни уравнения (10) имеют отрицательные вещественные части 10. Поэтому независимо от начальных условий вектор Ч при t стремится к нулю, что характеризует устройство как абсолютно устойчивое

579633

Формула изобретения

Составитель И. Дубинина

Ко акко Е Папп

Заказ 4397/46 Тираж 818 Подписное

ЦПИИПИ Государственного комитета Совета Министров СССР по делам изобретений н открытий

11303с Москва Е-35 Pa è(ñêàÿ наб. и. 4 5

Филиал ППП Патент, г. Ужгород, ул. Проектная, 4 является условием его работоспособности, Использование новых элементов дифференциальных усилителей в качестве активной развязки основной и вспомо5 гательной матриц резисторов исключило необходимость применения управляемых источников тока с дифференциальными входами, что привело к значительному упрощению устройства за счет сокращения количества активных и пассивных элементов и использования технологичных серийно выпускаемых элементов, не требующих специальной.настройки.

Устройство для решения систем алгебраических уравнений, содержащее операционные усилители, выходы которых подключены ко входу вспомогательной матрицы резисторов, а входы через основную матрицу резисторов соединены с источниками напряжения, от ли ч ающе е с я тем, что, с целью упрощения устройства, в него введены дифференциальные усилители, неинвертирующие входы которых соединены с выходами вспомогательной ма" трицы резисторов, инвертирующие входы дифференциальных усилителей через резисторы подключены к шине нулевого потенциала, ч цепь обратной связи дифференциальных усилителей подключены конденсаторы.

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1. Авторское свидетельство СССР

Р 218517, Мкл G 06 9 7/34, 1965, 2. Авторское свидетельство СССР

9 317076, Мкл G 06 9 7/34, 1970.