Устройство для гармонического анализа и синтеза периодических функций

Устройство для гармонического анализа и синтеза периодических функций

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Клясс 42m, 36

СССР

Л1 6М56

ОПИСАН ИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Зарегистрировапо в Б)оро ивобретенш) Госплана СССР

1О. Г. Толстов и А. Л. Гофлин

Ус.гройство для гармонического анализа и синтеза периодических функций занвлсио 2 сс)пнор» 1!)44 гога и Нароаный )комисса)и)ат о))сктропромкиилоиности СССР

«а № 5б9 (334473) Опубликовано 3О апрели 1047 ) ола

Предлагаемое устройство предназначено для гармонического анализа и синтеза периодических кривых, т. е. для нахождения коэфициентов ряда

Фурье, в который раскладывается заданная функция f(x), или нахождения значения функции по заданным коэфициентам ряда Фурье.

Если f(x) может быть представлена в виде ряда

f(x) — Л, + Л, яп х+ Л. я и "x+

+Л3 1 )3x+ ... +В со х+

-)- В. соз 2х+ В., сов *х+ ... -1- ..., 3 то коэфициенты Л„Л„Л, . В„

В„... сразу находятся предлагаемым устройством, как только f(x) набрана.

Устройство выполнено в виде ряда потенциометров, число которых соответствует числу членов разложения функций. Потенциометры соединены

- своими движками с делителями напряжени», имеющими выводы, подобранные так, чтобы снимаемые с делителей напряжения были пропорциональны синусам и косинусам кратных углов

1ли коэфициентам ряда Фурье. Эти делители включены последовательно, с учетом знаков, в цепь электроизмерительного прибора, служащего указателем коэфициентов ряда Фурье или результирующего значения функции.

На фиг. 1 изображена основная часть устройства — мультипликатор, на фиг. 2 — график разложения нериодической функции, на фиг. 3— схема переключателя устройства, на фиг. 4 — схема включения мультипликаторов, на фиг. 5 — схема включения сопротивлений делителя напряжений.

Основной деталью устройства является мультипликатор, принципиальная схема которого показана на фиг. 1.

Первичная обмотка 1 трансформатора Т (зажимы М и N) включена в сеть переменного тока.

Напряжение U, вторичной оомотки П подается на потенциометр ЛВ.

Передвигая движок О по обмотке потенциометр:), можно подать любую

- )и часть напряжения Г., на делитель напр жени.. СВ. ! !Отецциометр 1В градуирован, что позволяет устшгавливать на делителе

СГ> заданную гасть U непосредственно по шкале потецциометра.

Количество мультипликаторов рапи» количеству с рдинат, которыми анализируемая кривая делится на ряд участков.

Н>>эке для примера описано устройство, рассчитанное на 36 ординат и

18 гармоник. Устройство по;>тому принципу может быть построено для л>обог > числа ординат и гармоник.

1ля Описываемого устройства необх димо 36 мультипликаторов.

Предположим, что мультипликатор, изображенный на фиг. 1, соответствует ц-цой ордицате. В:>том случае де.>итель напр, >жения CD должен иметь выводы, подобранные таким ,>бразом, чтобы: !

) Между точками 0 и 1 (фиг. 1) д йствовала часть приложенного к CD напр >жени >, равная

Гin =(сi> sin (!Оп";

2) между точками 0 и 2

U = Uco, sin (2 !Оп) ( ц межд3 точками 0 и т (,„„= (;.г>,я и (т 0Ц)

Как видно из:>тих формул, межд : точкои 0 и любым ВыВОдом должна действовать лишь часть напряжения

Г,, так как абсолютное значение синуса л>обого аргумента всегда либо равно, либо меньше единицы.

Это обстоятельство дает возможность осуществл ть делитель в виде обычного сопротивления с отводами, не применяя более сложных средств.

Число 10, вход»щее всюду множителем аргумента, имеет следующее происхождение: весь период анализируемой кривой, предполагаемый равным 360, разбит в данном случае тридцатью шестью ординатами (фиг. 2) на равные части, отстоящие одна от другой в градусном исчислении на

360 —,. = 10 следовательно, число граЗо дусов от начала до п-ной ординаты будет равно 10.

25>5

Число выводов делителя должно быть равно числу членов ряда (в данном случае 18).

Если, кроме разложения Н0 синусам, предполагается еще и разложение по косинусам, то кроме указанных выводов, делитель должен иметь дополнительные выводы. Напряжения между этими выводами и нулевой точкой должны быть соответственно равны:

Г;„=- (д, соs (10n) f

Г„=СУсд с(>s(2 10n)

C-!mn UcD (соя(т IOn!"

Таким образом, для разложения ц«которой функции в ряд Фурье, содержащий 18 гармоник и имеющий воиии слагаемыми как синусы, так и косинусы, каждый делитель должен оыть выполнен с тридцатью шестью выводами. Так как многие значения siп (т. 10ц) / и, сов (m. 10n) f совпадают, то действительное число выводов делителя значительно меньше этой величины и, как будет показано ниже, не превышает десяти.

В самом деле, так как т и n— целые числа, то произведение т п также может быть только целым положительным числом; поэтому аргументы всех синусов и косинусов будут всегда кратны десяти.

Не трудно видеть, что абсолютные значения синусов и косинусов не будут повторяться только при изменении т и от 0 до 9; при т.n = 10

sin (10 10) = fsin 100 j — — sin 8 IO f=

= fsin 80 sin 110 (=-. sin 70 f

f si;! 120 =- ) sin 60 и т. д.

Таким образом, максимальное число выводов у делителя, делящего напряжения на величины, пропорциональные абсолютным значениям синусов углов, кратным десяти, равно десяти.

Сопротивления между нулевой точкой и соответствующими выводами № 68356 должны быть пропорциональны следующим величинам:

Ro1 = I sin 10 = 0,174

Ro, =csin 20 =0,342

R = )sin 30 1=0,500

R„= )sin 40 = 0,643

Ro3- = ) sin 50 I = 0,766

R« — — sin 60 (=0,866

Ро/= йп 70 =0,940

R„= sin 80 (= 0,985

R„=,sin 90 = 1,00

Совершенно аналогичную зависимость можно получить для косинусов.

Таким образом, для деления напряжения (/ на числа, пропорциональные cos (mn) ), необходимо иметь между нулевой точкой делителя и соответствующими выводами сопротивления, пропорциональные

R„=, cos 10 = 0,985

К, = jcos20 =0,940

Ro3=) cos30 =- 0,866

Я4 — — cos40 =0,766 й;,=)cos50 )=0,643

R06 — — j cos 60 (=0,500

R = ) cos 70 ) = 0 342

К 3 = cos80 i=0,174

R0g — —, cos 90 = 0,000

Из сопоставления этих двух таблиц видно, что:

Ro(= Ros; Ro3 = Roti Ro3 = Ro6s

R0k = ИОЬ) ЙОЬ = И04ю RÎ i х1 031 1 07 Rogs ROS R01y т. е. для разложения по косинусам могут быть использованы те же выводы, что и для разложения по синусам.

Рассмотрим теперь, как происходит определение коэфициентов ряда

Фурье.

Предположим, что необходимо определить коэфициент при k-той гармонике синуса. Как известно из теории рядов

2 / . / 2п

А/, — — — f j (x) sin (k — х ) dx, (1)

/ где 1 — период функции.

17 свод в. О.

В приближенном виде соотношение (1) записывается в виде: и

Ан= —, н/(x)sin(k, x)s)x (2) о или, в градусном исчислении, и

А»: — —, /(х) sin (k — х) Лх. (2а) о

В нашем случае весь период разбивается на 36 равных частей, поэтому !

3x= — и х — i3x, 36 где i — номер ординаты, а п = 36.

Таким образом

1 = 36Ах, х =1Ах, и формула (2а) преобразуется:

36

Ан ж —; „— Qf (x) sin (k Ых),)х.

Так как Ах = const, то его можно вынести за знак суммы, и

З6

Ан= — Q/(is(x)sin(k.)0i) (в)

1 и аналогично

36

„===- — 18 5 t(i 3x)cos (k 10i). (4)

Пусть кривая, изображенная на фиг. 2, подлежит разложению в ряде

Фурье.

Для этой цели разобьем весь период кривой, как это показано, на 36 равных частей и измерим все ординаты от у, до у„, соответствующие точкам деления периода от 1 до 36. Пусть максимальная ордината кривой равна у.

Положим напряжение на вторичной обмотке трансформатора Т (фиг. 1) равным U, тогда из соотношения

Um = с1Уп) (5) определим константу подобия

Um с,= (5а) /т (Предполагается, что на вторичных обмотках трансформаторов Т всех мультипликаторов действуют одина257 № 68356 ковые напряжения Um, а первичные обмотки соединены параллельно и подключены к сети).

Установим теперь с помощью потенциометров АВ по градуированной шкале следующие напряжения на делителях:

1) на делителе мультипликатора

Uca1 = clyl, делителе мультипликатора

2) на № 2 (с1э2 — clygi делителе мультипликатора

m) на № т

Ucam = с у)п

36) на делителе мультипликатора № 36

Мультипликатор № 1

U»g — — с,у, яп (1И), Мультипликатор № 2

U». —— c,y, sin (2. 10k) J

Мультипликатор № 3

U»3 = с,уз sin(3.10k) (6) ° °

Мультипликатор № i —

U„; = с,у; (sin (i 10k)

Мультипликатор № 36—

U»çe = с,yse sin (36 10k)

258 (- свзв = c>yse

Так как ординаты у могут иметь и отрицательные значения, то для установки их предусматриваются переключающие устройства, меняющие направление тока в потенциометре мультипликатора.

Схема такого переключателя показана на фиг. 3.

Если у имеет положительное значение, то переключатель S нужно устанавливать в положение «плюс» (+), при отрицательном у — в положение «минус» (— ).

После установки в указанные выше положения всех потенциометров между точками О и К делителей мультипликаторов будут действовать следующие напряжения:

Если теперь все мультипликаторы соединить последовательно с учетом знаков синусов (как учитывается знак синусов будет указано ниже), тогда в выражениях (6) можно опустить прямые черточки, означающие абсолютные значения, а общее напряжение, действующее между началом делителя первого мультипликатора и концом делителя последнего мультипликатора, будет равно

i=ee

UR =c gy„sin(i 10k) (7)

На фиг. 4 показана схема соединений мультипликаторов при определении коэфициента при k-той гармонике синуса; каждому коэфициенту А и В ряда Фурье будет соответствовать своя схема соединений.

Так как для получения соотношения (7) необходимо соединить последовательно выводы только данного номера гармоники с учетом знака синуса независимо от значений у, то все соединения выполняются заранее на контроллерах аппарата и для включения соответствующего соединения необходим только поворот переключателя контроллерного типа в заданное положение.

На фиг. 4 третий мультипликатор включен в обратном направлении, что делается в том случае, если

sin (3 10k) имеет отрицательное значение. Этим простым способом учитывается знак гармоники.

Разделим выражение (3) на величину результирующего напряжения

U (соотношение (7)), получающегося между зажимами P u Q (фиг. 4)

А» 1 ц 18с, откуда

А» = UR. (8)

Таким образом, для определения коэфициента А» необходимо измерить результирующее напряжение UR и

1 умножить его на коэфициент

18с)

Аналогичным путем могут быть найцены и коэфициенты В». Разумеется, для каждого коэфициента соединения мультипликаторов должны быть соответствующими. Для этой цели имеется переключатель контроллерного типа.

Несколько особое место занимает определение коэфициента А .

Согласно теории рядов Фурье, l

А. = — //(x) Шх, о или, приближенно, 1 г

А, -- ) f(x)gx.

=- 1 1

Для нашего случая (х) = /(1 Ах) =

=y;, l =36 Ах и Ах = const, откуда

se

А о ЗВ я я у

1 и так как у, = — то

+co с>

36

А = збс

1 (9) т. е. для определения А, необходимо последовательно соединить потенциометры и, замерив суммарное напряжевв ние UR = Q Uco;, умножить его на

1 коэфициент

36c>

Использовать делители для этого случая нет необходимости.

Основным элементом устройства для гармонического синтеза является тот же мультипликатор, схема которого приведена на фиг. 1.

Отличие этого устройства от предыдущего заключается в том, что для гармонического синтеза мультипликаторы должны соответствовать отдельным гармоникам. Так как в данном случае число слагаемых ряда

Фурье равно 36 (18 синусов и 18 косинусов, не считая А,), то общее число мультипликаторов остается тем же, равным 36.

Выводы па целителе мультипликатора должны соответствовать определенным ординатам. Для пояснения

) я № 68366 действия аппарата предположим, что мультипликатор, изображенный на фиг. 1, соответствует i-той гармонике синуса. В этом случае делитель мультипликатора должен иметь выводы

1 делящие приложенные напряжения

U следующим образом:

1) напряжение между точкой 0 и 1... Un — — Uc r sin(10i)1

2) напряжение между точкой 0 и 2... U;s = Уев sin(2 10/)

3) .

m) напряжение между точкой 0 и и... U; =Uco) sin(m 10i) l

18) напряжение между точкой 0 и 18 . У;1в = (втсп йп(18.10!)

Из этой таблицы не трудно заметить, что выводы делителя i-ro мультипликатора синтеза должны быть такими же, как и у делителя мультипликатора анализа для i-той гармоники.

Число выводов должно быть равно восемнадцати (для 18 гармоник синуса), однако, пользуясь приведенным выше рассуждением, можно и в этом случае показать, что многие выводы будут совпадать между собой и что максимальное число несовпадающих выводов равно десяти.

Так как общее число слагаемых ряда Фурье равно 36, то аппарат должен иметь тридцать шесть мультипликаторов, т. е. то же самое число, что и для анализа.

Оцинаковое число мультипликаторов и одинаковые выводы на делителях делают возможным использование одного и того же аппарата как для анализа, так и для синтеза.

Однако схема последовательного соединения мультипликаторов при синтезе будет отличаться от схемы, применяемой при анализе. Это обстоятельство заставляет иметь для синтезов отдельный контроллер, который должен находиться в выключенном положении при работе с контроллером для анализа, и наоборот.

Делители для гармоник косинусов ничем не отличаются от делителей синусов, за исключением нумерации выводов.

259 № 68356

Для гармонического синтеза должны оыть заданы коэфициенты при гармониках ряда Фурье: A„A„Аз, А18, В„Вз Вз>... В1в

Пусть коэфициент А имеет наибс)лысее значение. Зная величину напряжения на зажимах вторичных обмоток трансформаторов мультипликаторов U, определим константу подобия из соотношения

Um =с,А, т с,— (10а)

m и установим с помощью потенциометров на делителях следующие напряжения:

1) на Делителе № 1... Ucc)1=c,À, . 2) на делителе № 2 .. с) свею=с,А, 18) на делителе № 18... Uco(8 —= с.А„

19) на Делителе № 19... Усо(в —— c,Â, 10) на делителе № 20... (/с1)зв = с,Вз

3 ) на делителе № 36.. (/ савв=с,В„

Предположим теперь, что нам необходимо получить значение результирующей кривой в точке, соответствующей k-той ординате. Для этой цели соединим последовательно все

k-тые выводы делителей мультипликаторов с учетом знаков синусов и косинусов по схеме, аналогичной приведенной на фиг. 4.

Общее напряжение между зажимами Р и Q будет

1= 18

U (,= U,D; sin(k 10i)+ — с

i=1 (=ЗВ

-/- Q U.., n (/c (О()8)), (ll) или, подставляя значение U,D;, получим:

18

Uss = e A; sin (/c !О/) /1 зв

+gB и cns(// 10(/ — l//i)I(lla)

19

Ордината кривой /(х), соответствуюЗз)) щая абсциссе — — с = {10k), как известно, выражается зависимость(о

1В у/, — — A; sin {/." 10i) +

18

+) В; cos(k 10i).

Сравнивая соотношения (1!) и (12), найдем: у(= ю (13) с

Соединяя последовательно различные выводы делителей мультипликаторов, можно получить непосредственным измерением напряжения UR/„ пропорциональные всем ординатам результирующей кривой

У1 Уз/ Уз. Узв.

Аппарат для гармонического анализа и синтеза, построенный на изложенном выше принципе, может быть выполнен без контроллеров, применяемых для получения коэфициентов различных гармоник или (в случае синтеза) ординат.

Для этой цели на каждую вторичную обмотку II трансформатора Т должно быть параллельно включено такое число отдельных делителей, сколько гармоник желательно получить. При этом от каждого делителя должен быть сделан всего один вывод, который отделял бы часть напряжения, поданного на делитель, пропорциональную синусу или косинусу соответствующего аргумента.

Соединения выводов одного номера гармоники в этом случае выполняются фиксированными по схемам, соответствующим различным положениям контроллера.

При этом значительно возрастет число применяемых делителей, однако для малого числа гармоник такое выполнение аппарата может оказаться предпочтительным.

Для измерения результирующих напряжений, дающих значения коэфициентов ряда Фурье или ординат кривой при синтезе, лучше всего использовать компенсационный метод, значительно снижающий погрешности измерения.

¹ 6836

Измерительный потенциометр может быть отградуирован так, чтобы значения коэфициентов ряда или величины ординат читались непосредственно на шкале.

В качестве нулевого индикатора может служить магнито-электрический гальванометр, соединенный последовательно с вибрационным выпрямителем.

Так как аппарат и измерительное устройство питаются от одной сети и результаты измерений получаются в относительных величинах, то измеренные значения не зависят от колебаний напряжения питающей сети.

Таким образом, устройство для гармонического анализа и синтеза должно состоять из многообмоточного трансформатора, панели ординат, контроллеров и ключа.

Многообмоточный трансформатор выполняется с первичной обмоткой, рассчитанной для включения в сеть

120 или 220 в. Вторичных обмоток делается 36 — по числу ординат анализируемой кривой. Все вторичные обмотки выполняются на одно и то же напряжение (c одинаковым числом витков) и монтируются на одном стержне. Концы вторичных обмоток постоянно включены на делители напряжения.

Панель ординат представляет собой изоляционную панель, на которой смонтировано 36 делителей напряжения.

Каждый делитель напряжения имеет вертикальный ряд гнезд, отверстия которых расположены на лицевой стороне панели. Ряд подразделяется ца две части: верхнюю, дающую число десятков требующегося деления ординат, и нижнюю,— дающую число единиц. С обратной стороны панели между каждой парой соседних по вертикали гнезд подпаяны сопротивления. Для верхней части ряда сопротивления выполнены в 10 раз большими, чем сопротивления нижней части ряда.

Все сопротивления одного вертикального ряда (верхней и нижней части его) включены последовательно, как это показано на фиг. 5.

Концы каждой такой цепочки из сопротивлений присоединены к одной из вторичных обмоток трансформатора.

Между верхней и нижней группал и гнезд целителей расположены еще два гнезда (+) и (— ), из которых выпущены гибкие проводники (с однополюсными вилками на концах их) такой длины, чтобы вилки можно было включать в любые гнезда своего делителя. С оборотной стороны панели каждая пара таких гнезд подключена к концам одного потенциометра.

Делители перенумерованы от 1 до

36 соответственно номерам ординат анализируемой кривой.

Если вилка + (плюс) какого-либо делителя вставлена в одно из гнезд десятков, а вилка — (минус) в одно из гнезд единиц, то этим самым «набрано» необходимое положительное значение ординаты соответствующего номера. Для задания отрицательных ординат в гнездо десятков должна бь|ть вставлена вилка — (минус), а в гнездо единиц — вилка + (плюс).

Кроме делителей, на правом краю панели ординат имеются четыре гнезда для четырехконтактной вилки со шнуром, соединяющим аппарат с измерительным устройством. По одной паре проводов шнура подводится напряжение сети к трансформатору, другая пара служит для измерений.

Во избежание неправильных включений эти гнезда и соответственно контакты вилки расположены несимметрично.

При выполнении синтеза значения коэфициентов А» задаются на делителях № 1 — 18, а значения коэфициентов Р, — на делителях № 19—

36.

Контроллер состоит из панели, в которой смонтированы контактные пружины, выполненные в виде игл, один конец которых закреплен в панели, а другой свободен.

По краям панели установлены угольники. Боковые стенки угольников засверлены и в отверстия входят наконечники валиков.

Валики выполнены из изоляционного материала и имеют прямоугольное сечение. На узкой стороне валика, 261 параллельно его оси, закреплены контактные скобки. Контактные пружины размещены по обе стороны валика так, что при повороте валика на 90" в ту или другую сторону каждая контактная скобка замыкает пару пружин соответствующего ряда. Этим осуществляется необходимая комбинация соединений концов потенциометра, присоединенных под панелью к контактным иглам. Для того чтобы пружины изгибались в параллельных плоскостях и этим самым строго определялось замыкание скобкой только своей пары пружин, концы их входят в прорези гребенок. В каждом ряду по одну сторону валика устанавливается Зб пар пружин, соответственно числу ординат анализируемой кривой.

Поворотом валика в одну сторону осуществляется соединение концов потенциометров для получения значений, пропорциональных косинусам, поворот этого же валика в другую сторону дает значения, пропорциональные синусам одной из гармоник.

Так как число гармоник выбрано 18, то и валиков применено столько же.

Чтобы облегчить сборку и монтаж сопротивлений, на каждой контроллерной панели устанавливаются три валика с шестью рядами пружин.

Всего таких панелей для анализа выполняется шесть. Кроме того, еще шесть панелей устанавливаются для синтеза.

Все панели контроллеров монтируются на каркасе в одной плоскости, параллельной плоскости панели ординат. Оборотная сторона KoHTpMIле рных панелей используется для присоединения к контактным пружинам выводов потенциометров, которые располагаются над контроллерами.

Поворот валика контроллера в рабочее положение в ту или другую сторону осуществляется с помощью ключа, вставляемого в отверстие наконечника контроллера. Бородки ключа выполнены неодинаковыми, так что ключ может быть вставлен в отверстие наконечника через щель накладки в одном определенном положении. На головке ключа выгравированы надписи «sin» и «cos». При повороте валика ключом в одно из рабочих положений надпись на ключе обозначит получаемые значения.

Номер гармоники при этом определяется номером щели накладки.

Ключ нельзя вынуть из аппарата до тех пор, пока валик не будет повернут в исходное положение. Так как ключ всего один, то этим исключена возможность одновременного включения двух контроллеров.

Предмет изобретения

Устройство для гармонического анализа и синтеза периодических функций, о тли ч а ющ е е с я тем, что для определения коэфициентов ряда Фурье разложения функции по значениям этих коэфициентов оно выполнено в виде ряда потенциометров, число которых соответствует числу членов разложения функций и которые соединены своими движками с делителями напряжения, имеющими выводы, подобранные так, чтобы снимаемые с делителей напряжения были пропорциональны синусам и косинусам кратных углов или коэфициентам ряда Фурье, и включенными последовательно с учетом знаков в цепь электроизмерительного прибора, служащего указателем значения коэфициентов ряда Фурье или результирующего значения функции.

262 № 68356 — 1О—

-У8

Редактор П. П. Гурьпнев

Отв. редактор М. М. Акишин ась

Свод в. В.

3амеченная опечатка: íà стр. 7, прав. колонка, строка l4 сн., напечатано „Р ", саедует читать „13 ".