Устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных

Устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

ОП ИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Союз Советских

Социалистических

Республик (ii 69 l 86 ll (61) Дополнительное к авт. саид-вуг (22) Заявлено 12.09,77 $21 ) 2523950/18-24 с присоединением заявки .%(23) Приоритет— (5! )М. Кл.

G 06 F 15132

Государственный комнтет

СССР но делам изооретеннй н открытий

Опубликовано 15.10.79. Бюллетень М д8 (53) УДК681,14 (088.8 ) Дата опубликования описа 20,10.79

B. Г. Фрадкин (72) Автор изобретения

СР(. ."ь" >,.

1, ". :"-итут ъ „,ф;" .„с . „ —:, ;.н, Y ;: ь —,...

Таганрогский радиотехнический им, В. Д. Калмыкова (7!) Заявитель (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЪ|Х ПРОИЗВОДНЫХ

Предлагаемое изобретение относится к области вычислительной техники и может быть использовано при конструировании и разработке специализированных устройств, предназначенных для решения

5 дифференциальных уравнений в частных производных.

Известно устройство для решения дифференпиальных уравнений в частных производных для и пространственных координат, предстваляющее собой 2П резисторов, один из.выводов которых подключен к общей точке, узлу сетки, а другой служит информационным входом для пос!

5 тупления потенциалов соседних узлов.

Для моделирования зависимостей по вре» менной координате к узлу сетки подключается одним выводом в P -сетках резистор, в RG -сетках емкость, второй вывод которых заземлен. Система уравнения Кирхгофа, описывающая функционирование такого устройства, соответствует конечно-разностной системе для дифференцнального уравнения, и потенциал в узле соответствует искомому решению (11, Недостатками подобных устройств являются: ограниченная точность решения, определяемая точность сопротивлений и конденсаторов; трудности автоматизации процесса решения, связанные с установкой номиналов сопротивлений и емкостей и организацией объема информацией между сеткой и IlBN; трудности в разработке математического обеспечения, связанные с проблемами получения системы машинных уравнений, отличающейся от исходной конечно-разностной системы .

Наиболее близким по технической сущности к предложенному является устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных, содержащее блок ввода, блок умножения, выход которого соединен с суматором, первый и второй регистры, первые входы которых подключены к информационному входу устройства, вторые входы регист20 где К вЂ” номер итерации;

9 - итерационный параметр. Приатом итерационный процесс сходится, если 3 принимает значения в определенном диапазоне, характериэирующем

25 область устойчивого решения. Недостатком устройства является относительно невысокое быстродействие, обусловленное сравнительно медленной сходимостью итерационного метода.

Белью предлагаемого изобретения является повышение быстродействия.

Это достигается тем, что в устройство введены блок возведения в квадрат и

"1 блок деления, выход которого подключен к третьему входу первого регистра, выход которого соединен со входом блока вбэведения в квадрат, выход которого подключен к первому входу блока деления, со вторым входом которого соеди- 40 нен выход сумматора, выход блока ввода соединен с третьим" входом блока умножения.

Блок-схема устройства представлена на чертеже. Устройство содержит пер- 45 вый регистр 1, второй регистр 2, блок 3 ввода, блок 4 умножения, сумматор 5, блок 6 деления, блок 7 воз .ъ е ведения в квадрат. Выход 8 пцзвого регистра 1 является выходом устройства, 50 вход блока 3 ввсда является входом 9 устройства. На вход 10 подаются начальные условия, на вход 11 — управляющий сигнал.

Первый регистр 1 предназначен для хранения и выдачи на к-тг."1 итерации работы устройства текущего решения

U и записи полученного решения U к к 1

3 6918 ров соединены с управляющим входом устройства, выход первого регистра подключен к первому входу блока умноже ния и к третьему входу второго регист- . ра, выход которого соединен со вторым

5 входом блока умножения (21 .

Указанное устройство содержит блоки, которые позволяют решать уравнение стационарной или нестационарной теплопроводности Ltj = О, где 1О

: L соответственно равно Ь или д-Ь 1 где Ь - оператор Лапласа, итерационным методом, применяемым к разностной схеме Яи О, где iL -разностный аналог оператора 4, В частности, известное устройство реализует метод простой итерации

U "=U Hilu, 61 4

Второй регистр 2 предназначен для хранения- и выдачи начального условия при итерировании на каждом временном слое при решении уравнения нестационарной теплопроводности и для записи решения

0 по окончании итерационного процесса. Блок 3 служит для ввода в устройство информации о решении в соседних узлах сетки (соседних устройствах). Блок

4 умножения служит для получения произведений текущего решения Ц на соот- .

К ветствующие коэффициенты итерационной формулы, реализуемой устройством, Сумматор 5 предназначен для получения суммы произведений, поступающих иэ блока

4 ум ноже ния. Блок 7 возведения в квадрат предназначен для получения квадрата текущего решения U в соответствии

К с итерационной формулой, реализуемой устройством, Блок 6 деления предназначен для получения на к-той итерации решения Ц в соответствии с итерационной формулой, реализуемой устройством.

Алгоритм устройства имеет вид

К 2. кФ{» (V)

Q - ОАи" Q)

Обозначения в итерационной формуле (2) соответствуют. обозначениям формулы (1). Рассмотрим итерационный процесс (2) более подробно для уравнения стационарной теплопроводности, т.э. когда ) = А . Йля случая одномерной задачи Д,» При переходе к разностной д схеме непрерывный аргумент Х заме1 няется дискретным к„ так >что шаг по координате х И 1 " X Ф 1 - Х,с 7

1 1 тогда разностная схема имеет вид 141"" " -%Il1 1 h о,ь(ь ; ) о (3) Подставив (3) в (2) и сгрупировав подобные члены в знаменателе, имеем 1 итерационную формулу, реализуемую устройством кИ (> )

,1Ö„» о ; Ц 4 ;1U,, (q) где а(— cîîòâåòñòâóþøèå коэффициенты, определенные видом формулы (2) и (3).

Устройство работает следующим образом. В регистры 1, 2 по управляющему сигналу на входе 11 с входа 10 записы5

Формула изобретения

5 . 691 вяются начальные условия. Значение У

3 поступает с выхода регистра 1 на вход блока 4 умножения на остальные входы о о которого поступают значения У, U

Н4 1 1-1 с выхода блока 3 ввода и, если решается нестационарное уравнение, то начальное условие поступает с выхода регистра 2. Укаэанные величины умножаются в блоке 4 умножения на соответствующие коэффициенты согласно формуле (4), 1О после чего поступают на вход сумматора 5, где суммируются, образуя знаменатель правой части формулы (4). Кроо ме того, U; с выхода регистра 1 поступает на вход блока 7 возведение в о 14 квадрат с выхода которого величина(0 у являющаяся числителем дроби, стоящей в правой части формулы (4), поступает на вход. блока 6 деления, на другой вход которого с выходя сумматора 5 поступает знаменатель этой дроби.. Частное от деления в соответствии с алгоритмом работы устройства является значе1 нием U текущего решения, найденного

1 25 на первой итерации, и поступает с выхода блока 6 деления в первый регистр 1, после чего итерация работы устройства повторяется при этом определяется зна2 1 чение 3, и т.д. до тех пор, пока итера.1 зо ционный процесс не сойдется с заданной точностью. После чего, если решается нестационарное уравнение, найденное на временном слое решение l7 по управляющему сигналу на входе 11 перепишет35 ся с выхода регистра 1 в регистр 2 в качестве начального условия для следующего временного слоя, на котором вновь повторяется итерационный процесс нахождения решения.

Использование в устройстве блока возведение в квадрат и блока деления поз86,1 б воляет осуществить более устойчивый ите-. рационный процесс {2) по сравнению с итерационным процессом (1 ), Устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных, содержащее блок ввода, блок умножения, выход которого соединен с сумматором, первый и второй регистры, первые входы которых подключены к информационному входу устройства, вторые входы регистров соединены с управляющим входом устройства, выход первого регистра подключен к первому входу блока умножения и к третьему входу второго регистра, выход которого соединен со вторым входом блока умножения, о т л и ч а ющ е е с я тем, что, с целью повышения быстродействия, в устройство введены блок возведения в квадрат и блок деления, выход которого подключен к третьему входу первого регистра, выход которого соединен со входом блока возведения в квадрат, выход которого п6дключен к первому входу блока деления, со вторым входом которого сеединен выход сумматора, выход блока ввода соединен с третьим входом блока умножения.

Источники информации, " принятые во внимание при экспертизе

1. Козлов Э. С., Сергеев Н. П., Николаев H. С. Автоматизация процессов решения краевых задач с помощью сеточных АУВМ, М., Энергия, 1974.

2. Авторское свидетельство СССР № 373735, кл. 06 Q 7/56, 1973 (прототип).

БНИИПИ Заказ 6218/40 Тираж 780 Подписное

Филиал ППП "Патент», r, Ужгород, óë. Проектная, 4