Устройство для моделирования уравнения лапласа для бесконечных областей

Устройство для моделирования уравнения лапласа для бесконечных областей

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Союз Советских

Социалистических

Республик

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ (61) Дополнительное к авт, саид-ву (22) Заявлено 221278 (21) 2702630/18-24 (ii)781841 (51)М К, 3

G G 7/46 с присоединением заявки М

Государственный комитет

СССР

Ао делам изобретений н открытий (23) Приоритет

Опубликовано 231180, Бюллетень М 43 (5З) УДК 681. з з 3 (088. 8) Дата опубликования описания 251180 (72) Авторы изобретения

В.Е. Бухман, Н.Н. Макаренко, А.P. Федоров и Н.Д. Бережная

Московский ордена Трудового Красного Знамени горный институт (71) Заявитель (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ JIAIIJIACA

ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Изобретение относится к аналоговой вычислительной технике.

Известны устройства для моделирования уравнений Лапласа в бесконечно протяженных областях, содержащие постоянные или переменные резисторы: периферийные зоны моделей ЭМ-7, ЭМ-8, ЭП- 41. В этих моделях для аппроксима-, ции бесконечной области применяются к-сетки, содержащие большое, но конечное число элементов 1 .

Недостатком этих моделей является то, что остается погрешность аппроксимации, так как число элементов модели конечно. 15

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является устройство для моделирования уравнения Лапласа в,бесконечно протяженных областях. В этом устройстве моделью 20 основной области служат известные типы моделирующих устройств — электролитические ванны, сеточные электроинтеграторы и т.д., а периферийные области моделируются реостатной сет- 2з кой, набранной из постоянных или переменных резисторов со стоками на бесконечность. Реостатная сетка имеет число измерений на единицу меньше, .чем s основной области Я. 30

Однако это устройство не позволяет проводить измерения по периферии, а так как аппроксимация производится довольно грубо, решение обладает значительной погрешностью.

Цель изобретения — повышение точности решения.

Указанная цель достигается тем, что в устройство, содержащее R-сетку, дополнительно введены масштабные резисторы и и суммирующих операционных усилителей, входы которых через соответствующие масштабные резисторы соединены с BHjjTpBHHHMH узловыми точками R-сетки, а выходы суммирующих операционных усилителей подключены к соответствующим граничным узловым точкам R-сетки.

На фиг. 1 схематически поясняется принцип предлагаемого изобретения; на фиг. 2 представлено устройство для моделирования уравнения Лапласа.

Пусть в бесконечной области S тре,буется решить уравнение Лапласа

hy = oт (1) причем граничные условия для этого уравнения .заданы на бесконечности.

Искомое решение требуется определить в некоторой конечной области 5О. Эту

781841 область можно окружить контуром 1

Известно, что для контура L можно записать интегральное уравнейие

У (Ь)- 5 (, Ь) y< „4< „iO(P »<2)

Cga,. где М (P ) — функция, являющаяся ног

30 (3а) k 1 ° 2е3 ° i где 14 (Р ) — сеточная функция по- 35

М тенциала двойного слоя; Р (Р ) — дискретная сеточная

К функция, являющаяся приблйженным решением 4р уравнения (1);

G„ (P ;Р ). — матрица, вычисляемая

М по функции;

G (Р ;Р ) — матрица, вычисляемая

Я, 1, К по функции;

n — число точек на контуре и — число точек на контуре L2, внешнем по отношению к

Иэ уравнений (2а) и (3а) можно ис- 5О

:ключить вспомогательную функцию р (1 )

М и записать уравнение (4) М h 6Ь

Ь Ф м, ф 55

k 1,2,3,...N, (4) где 0.,(Р.;Р, ) — известная фуйкция, матрица которой вычисляется по матрицам 60 функций С (Р;;Р ) и 6 (P ;Ð )

Если область Sq, ограниченную кон- . туром Lg, разбить сеткой, то для каждой внутренней узловой точки этой сет5 решением интеграль с уравнения (потенциал двойного слоя);

С (Р Р ) — ядро интегрального 1 э уравнения, известная )Q

Функция координат Р> и Pj;, P и Р— точки, принадлежащие

Ь контуру б,1, Р (Р ) — фуйкйия, являющаяся .решением уравнения(1).

По функции pA(P ) может быть найдено решение в любой точке РК, лежащей

"снаружи от контчоа <.q . .по формуле

Ф(РК) 5 G (P„;Pg ) + )1 (P „), (3)

, (р„; р. ) — известная функция от координат точек Р и P1< .

Заменяя интегралы, входящие в формулы (2) и (3), конечными суммами, можно получить формулы

„%(. ) 1 в (Р,. Р, ), «P.),Р%(Р. )

1,ъ)

J . 1,2,3,...п (2а) ки, включая точки контура Lg записывается соответствУющая система разностных уравнений где А; — коэффициенты, определяемые по геометрии сетки.

Системы .уравнений (4) и (S) однозначно определяют искомое решение уравнения (2).

Система уравнений (5) моделируется на обычной реэистивной сетке.

Система уравнений (4) моделируется на суммирующих операционных усилителях.

Устройство для моделирования уравнения Лапласа для бесконечных областей содержит основное решающее устройство †резистивную сетку 1, с граничными узловыми точками 2 и внутренними узловыми точками 3, масштабные резисторы 4 и суммирующий операционный усилитель 5.

Входы суммирующего операционного усилителя 5,через масштабные резисторы 4, рассчитанные в соответствии с матрицей G, присоединяются к внутренним узловым точкам 3 реэистивной сетки 1, граничащим с граничными узловыми точками 2, а выход усилителя

5 присоединяется к соответствующей граничной узловой точке 2 резистивной сетки.

Предлагаемое устройство работает следующим образом.

На основном решающем устройстве— резиетивной сетке 1, набирается поле, моделирующее систему уравнений (5), Внутренние узловые точки 3 резистивной сетки через масштабные резисторы

4 подсоединяются ко входам суммирующих операционных усилителей 5. Число работающих операционных усилителей должно равняться числу граничных узловых точек реэистивной сетки, т.е. равняетСя N. Выход каждого суммирующего операционного усилителя 5 присоединяется к своей граничной узловой точке 2 резистивной сетки. Напряжение на выходе ic oro суммирующего операционного усилителя устанавливается пропорциональным сумме произведений входных напряжений на соответствующие проводимости масштабных резисторов 4.

За счет обратной связи, осуществляемой присоединением выходов операционных усилителей к граничным точкам сетки, напряжения -на выходах операционных усилителей устанавливаются в соответствии -c уравнением (4), т.е. вся система суйййруМ@йх операционных усилителей моделирует уравнение (4).

Уравнение (4), эквивалентное уравнение (2) и (3), "учитывает граничные условия, заданные на бесконечности, и тем самым аппроксимирует непосредственно"эти граничные условия.

781841

Формула изобретения аэ 8143/56 писное фи@2

По сравнению с известным, предложенное устройство для моделирования уравнения Лапласа для бесконечных областей дает возможность получить решение в любой точке области, в том числе и на периферии и повысить точность решения, так как погрешность будет возникать лишь за счет замены интеграла конечной суммой и может быть сделана сколь угодно малой.

Устройство для моделирования уравнения Лапласа для бесконечных областей, содержащее R-сетку, о т л и — 5 а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности решения, в него дополнительно введены масштабные резисторы и N суммирующих операционных усилителей, входы которых через соответствующие масштабные резисторы соединены с внутренними узловыми точками R-сетки, а выходы суммирующих операционных усилителей подключены к соответствующим граничным узловым точкам R-сетки.

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1. Волынский Б.A., Бухман В.Е, Модели для решения краевых задач. М., "Физматгиз", 1960, с. 58.

2. Авторское свидетельство СССР

Р 146978, кл. G 06 G 7/46, 1962 (прототип).

Патент",,г.ужгород,ул.Проектная,4