Устройство для решения диффе-ренциальных уравнений b частныхпроизводных

Устройство для решения диффе-ренциальных уравнений b частныхпроизводных

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

ОП ИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИ ЕТЕЛЬСТВУ

Союз Советскнк

Соцналнстнческнх

Респубпнк

< >842858 (61) Дополнительное к авт. саид-ву (22) Заявлено 130779 (21) 2798791/18-24

<я)м. кл.

G 06 G 7/46 с присоединением заявки Йо

Государственный комитет

СССР по делам изобретений и открмтий (23) Приоритет

Опубликовано 300681. Бюллетень М 24

Дата опубликования описания 3006,81 (53) УДК 681.333 (088.8) (72) Авторы изобретения ь. и. зенков, A. т. лукьянов н A. т. Пюбушкнб >>ð ;. в . ls "в k, з-у,кь в зв0 (71) Заявитель

Казахский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. С. М. Кирова : Л ! (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Изобретение относится к аналого вой вычислительной технике и предназначено для решения дифференциальных уравнений -в частных производных.

Известно устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производных, содержащее RC-сетку, блок задания граничных и начальных. условий f13

Однако известное устройство имеет большую погрешность моделирования, поскольку для интегрирования в этом устройстве используются конденсаторы.

Кроме того, известное устройство позволяет решать задачи только одного типа.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому изобретению является устройство, содержащее n обратимых операционйых усилителей, блоки заданий граничных и начальных. условий.Для получения решения на такой модели исходное дифференци-, альное уравнение заменяется конечноразностным уравнением, которое реализуется на параллельно соединенных обратимых операционных усилителях. Ори этом в каждом обратимом операционном усилителе число плеч равно числу пе= ременных и, а каждое плечо состоит из двух последовательно соединенных резисторов, точка соединения которых служит входной или выходной клеммой данного .обратимого операционного усилителя j2).

Однако известное устройство позво- ляет реализовать только положительно определенные матрицы коэффициентов конечно-разностной аппроксимации исходного уравнения, что снижает класс решаемых задач. тз Кроме того, для получения меньшей погрешности аппроксимации, число переменных в берется как можно больше, что приводит к увеличению числа плеч и соответственно числа ре29 зисторов в обративвах операционных ;усилителях. Увеличение числа резисторов неизбежно приводит к увеличению ошибки преобразования каждым обратимам операционным усилителем,так как при этом эквивалентное входное сойротивление усилителя уменьшается.

; Увеличение ошибки преобразования обратимыми операционными усилителями приводит к увеличению ошибки peme30 ния.

842858

Цель изобретения — расширение класса решаемых задач и повышение точности решения.

Поставленная цель достигается тем, что в известное устройство, содержащее "и- обратимых операционных: усилителей, блоки задания начальных и граничных условий, дополнительно введено и-1 интегрирующих операционных усилителей, причем и обратимых операционных усйлителей включены последовательно друг с другом, первый 10 выход блока задания граничных условий подключен ко входу первого обра тимого операционного усилителя, второй выход блока задания граничных условий соединен с выходом и-ого 15 обратимого операционного усилителя, а и-1 выходов блока задания начальных условий подключены соответственно к первым входам и-1 интегрирующих операционных усилителей, второй вход каждого интегрирующего операционного усилителя подключен к выходу одноименного обратимого операционного усилителя, выходы и-1 интегрирующих операционных усилителей являются выходами устройства.

На Фиг. 1 приведено устройство, блок-схема; на фиг. 2 — принципиальная электрическая схема внутреннего узла.

Устройство для решения дифферен- 30 циальных уравнений в частных производных содержит обратимые операционные усилители 1, интегрирующие операционные усилителя 2, блок 3 задания граничных условий и блок 4 зада- 35 ния начальных условий.

Работает устройство следующим образом.

На первом и втором выходах блока задания граничных условий заданы со- .

Ь ответственно напряжения Vo и Ч +., тогда на выходах каждого иэ последовательно включенных обратимых операционных усилителей устанавливаются напряжения V, где i = 1,2,...,N - Q5

Ф число узлов конечно-разностной аппроксимации исходного уравнения. При этом коэффициенты передачи обратимых операционных усилителей 1 реализуют матрицу коэффициентов конечно-раэ- 50 ностной аппроксимации исходного уравнения, т.е. напряжения V моделируют узловые стационарные значения искОмой функции из области ее опредедения, а напряжен я V о и V„ 55 заданные с выходов блока 3 задания граничных условий, моделируют значения искомой функции на гра-, нице области ее определения. Полученные узловые напряжения Ч„ подаются на входы интегрирующих операционных уси- ФО лителей 2, на выходах которых получаются напряжения ();, изменяющиеся со временем и моделйрующие узловые значения искомого решения, т.е. предлагаемое устройство позволяет решать 65 дифференциальные уравнения в частных производных.

Рассмотрим уравнение 2-го порядка с двумя независимыми переменными, линейное относительно производных второго порядка а ч д 0 с ф Мф3,— — )=0,Ру ди аО дХ2 ахаМ 3Y » ах дМ где А, В и С вЂ” функции, зависящие от х, у и имеющие непрерывные производные до 2-го порядка включительно. Используя метод конечных разностей, уравнение (1)приводим к виду — =ф U (2)

dy где U — - вектор неизвестных функций; ф — матрица коэффициентов;

U — - вектор узловых значений неизвестной функции.

На фиг. 2 приведена принципиальная электрическая схема внутреннего узла. Используя 1-й закон Кирхгофа для узлов A и В (фиг. 2) и закон

Ома для участка цепи, получаем . V n- "En-a .Чп. -Cn-1

Rng Rn

Нп+. -Ии З п = p. (g)

Rn y R н

В

Ф юм V =- — 3 V dt - — ) Ч dt + Ч (0)

n RC n \ъ

Дифференцируя последнее уравнение системы (3) по времени, запишем систему (3::) в матричной форме — = ф V - ЬЕ, dV

dt (4) где V — - вектор искомых напряжений;

V — - вектор узловых напряжений;

Ф1 — матрица проводимостей; вектор невязки;

Ь вЂ” постоянная. "

При равенстве нулю компонент вектора невяэки уравнения (2) и (4) совпадают с точностью до постоянных сомножителей, т.е. напряжения V„ моделируют неизвестные,функции 0 „ .

Применение интегрирующих операционных усилителей, .входы которых подключены к точкам соединения последовательно соединенных в цепочку обратимых операционных усилителей,,расширяет класс решаемых задач и увеличивает точность решения. Расширение класса решаемых задач и более полное использование точностных ха", рактеристик обратимых операционных усилителей выгодно отличает предлагаемое изобретение от известных.

Формула изобретения

Устройство для решения дифФеренциальных уравнений .в частных производных, содержащее и обратимых операционных усилителей, блок задания граничных и блок начальных условий, 842858 о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью расширения класса решаемых задач и повышения точности решения, в Устройство дополнительно введено а-1 интегрирующих операционных усилителей, причем и обратимых операционных усилителей включены последовательно друг с другом, первый выход блока зддания граничных условий подключен ко входу первого обратимого операционного усилителя, второй выход блока задания граничных условий соединен с выходом о-ro обратимого операционного усилителя, а в-1 выходов блока задания начальных условий подключены соответственно к дверным входам и-1 интегрирукицих опемационных усилителей, второй вход каждого интегрирующего операционного усйлителя подключен к выходу . одноименного. обратимого операционного усилйтеля, выходы -: n-1 интегрирующих операционных усилителей являются выходами устройства.

Источники инфюрмации, принятые во внимание нри экспертизе

1. Авторское свидетельство СССР

В 481043, кл. G 06 G 7/46.

2. Авторское свидетельство СССР в 151839, кл. 0 06 G 7/40 (прототип).

842858

Составитель В. Рыбин

Редактор А.Власенко Техред А.Вабинец Корректор И Ш р

Ъ

Заказ 5105/63 . Тираж 745 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений.и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

° и филиал ППП "Патент", r. Ужгород, ул. Проектная, 4