Устройство траекторного, оптимального по быстродействию управления манипуляционным роботом

Устройство траекторного, оптимального по быстродействию управления манипуляционным роботом

Реферат

 

Изобретение относится к робототехнике и может быть использовано при разработке систем управления манипуляционными роботами. Техническим результатом является обеспечение движения рабочего органа манипуляционного робота вдоль заданной в пространстве внешних или обобщенных координат траектории с максимально возможной траекторной скоростью. При этом не требуется организации предварительных расчетов поверхностей, линий или моментов переключения управляющих воздействий. Технический результат достигается тем, что в устройство, содержащее планировщик траекторий в пространстве внешних координат, блок датчиков, блок вычисления управлений, блок вычисления нелинейных элементов, блок матрицы управления, введены блок торможения, блок дифференцирования, блок формирования кривой максимальной скорости, блок вычисления матричного коэффициента, блок вычисления коэффициентов управления, блок обращения матрицы, блок вычисления нелинейных элементов, блок вычисления произведений матриц Якоби, блок формирования траекторий, схемы сборки, блоки компараторов, блок вычисления тормозного пути, блок вычисления оставшегося пути, блок схем совпадения, блок вычисления ординат вершин. Выполняемый устройством алгоритм управления не требует решения обратной задачи кинематики при организации рабочего движения вдоль заданных траекторий. 2 з.п. ф-лы, 6 ил.

Изобретение относится к робототехнике и может быть использовано при разработке систем управления манипуляционными роботами, обеспечивающих решение траекторных задач при предъявлении дополнительных требований к максимизации контурной (траекторией) скорости.

Все возрастающая необходимость интенсификации режимов работы манипуляционных роботов (МР) предъявляет все более жесткие требования к системам управления ими. Круг задач, для которых необходима работа в предельных, в смысле быстродействия, режимах достаточно широк. В первую очередь это относиться к режимам функционирования МР в экстремальных условиях: в случае радиационного заражения среды; при активном противодействии внешней среды; при согласовании работы МР с другими роботами и устройствами; при обходе препятствий и т. д. В любом из этих случаев помимо оптимизации критерия быстродействия ставиться задача отслеживания заданной траектории, которая может быть задана как в функции внешних (рабочих) координат, так и в пространстве обобщенных координат МР. Последнее обстоятельство требует аналитического или численного решения обратной задачи кинематики, что в свою очередь связано с известными трудностями и проблемами [Фу К., Гонсалес Р., Ли К. "Робототехника", М. , Мир, 1989, 624 с., с.69-93, Тимофеев А.В. Управление роботами. Л., из-во ЛГУ, 1986, 240 с., с.77].

Не менее важной при такой постановке задачи является необходимость учета нелинейных свойств динамики МР, наиболее характерных для таких режимов [Вукобратович М., Стокич К., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. М.: Мир, 1989, 376 с., с.59-60], и помимо указанных факторов необходимость обеспечения асимптотической устойчивости в целом планируемых траекторий определяет актуальность разработки новых структурно-алгоритмических решений систем траекторного управления, определяемых в классе оптимальных или субоптимальных систем.

Известны алгоритмы траекторного управления роботами и соответствующая им структурная схема [А.В. Тимофеев. Управление роботами. М., из-во Ленинградского университета, 1986, 240 с., с.83-86], которая предполагает наличие блока планировщика траекторий и содержит два вычислительных блока, два блока суммирования и интегратор.

Устройство управления, реализуемое предоставленной структурой, позволяет организовать движение вдоль прямой линии в пространстве внешних координат, соединяющей начальное и конечное положения схвата, с постоянной скоростью и не требует решения обратной задачи кинематики.

Признаки аналога, общие с заявляемым техническим решением, следующие: блок исполнительных механизмов, блок механической системы, представимые двумя интеграторами, блоком матрицы управления, блоком суммирования и блоком нелинейных элементов, планировщик траекторий в пространстве внешних координат, блок датчиков, вычислительные блоки, блоки перемножения и блоки суммирования.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем: полученные структурные решения не позволяют организовать движение по широкому спектру траекторий или предполагают аппроксимацию сложных траекторий отрезками прямых линий и наличия соответствующего блока аппроксимации. Кроме того, структурно-алгоритмические решения аналога не позволяют организовать движение рабочего органа манипуляционного робота с максимальной траекторией скоростью, что, соответственно, не позволяет достичь максимально возможной на данной траектории производительности.

Известны процедура траекторного, оптимального по быстродействию управления манипуляционным роботом (Н.Н. Болотник, Ф.Л. Черноусько. Оптимизация управления манипуляционными роботами. "Техническая кибернетика", 1, 1990, с.189-238] и соответствующая ей структура системы управления, которая предполагает наличие блока исполнительных механизмов, блока механической системы, представимых двумя интеграторами, блоком матрицы управления, блоком суммирования и блоком нелинейных элементов, планировщика траекторий в пространстве внешних координат, блока вычисления кривой максимальной скорости, блока интегрирования, блоков суммирования и блока компараторов.

Устройство управления, реализуемое структурой аналога, позволяет организовать движение манипуляционного робота вдоль заданной траектории с максимально возможной траекторной (контурной) скоростью. Кроме того, представленная процедура позволяет учесть нелинейные свойства и многосвязность динамической модели робота, наиболее характерные для режимов быстрых перемещений манипулятора.

Признаки аналога, общие с заявляемым техническим решением, следующие: блок исполнительных механизмов, блок механической системы, представимые двумя интеграторами, блоком матрицы управления, блоком суммирования и блоком нелинейных элементов, планировщик траекторий в пространстве внешних координат, блок датчиков, блок вычисления кривой максимальной скорости, блоки суммирования, блоки компараторов, вычислительные блоки и блоки перемножения.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем: реализуемые алгоритмы управления требуют предварительного расчета моментов переключения управляющих воздействий, что требует соответствующей программно-аппаратной поддержки, и также требуется дополнительное время, снижающее производительность функционирования манипуляционного робота при оперативной смене желаемых траекторий движения. Кроме того, представляемые алгоритмы управления реализуются в классе разомкнутых систем, что, как известно [Клюев А.С., Колесников А.А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М. , Энергоиздат, 1982, 239 с.], не всегда позволяет организовать движение робота вдоль заданных траекторий с требуемым качеством.

Известно устройство контурного (траекторного) управления манипуляционным роботом [Пшихопов В. Х., Колесников А.А. "Устройство контурного управления манипуляционным роботом". Патент РФ 2146606, бюл. 8, 2000], которое содержит планировщик траекторий в пространстве внешних координат, блок исполнительных механизмов, блок датчиков, блок механической системы робота, блок вычисления управлений, включающий в себя следующие блоки: блок вычисления нелинейных элементов, блок вычисления матрицы коэффициентов управления, блок вычисления якобиана решения прямой задачи кинематики, блок вычисления производной по времени от якобиана решения прямой задачи кинематики, блок вычисления решения прямой задачи кинематики, блоки вычисления якобиана желаемых траекторий, блок вычисления производной по времени от якобиана желаемых траекторий, блок вычисления векторного коэффициента, блок транспонирования, блоки обращения матриц, блоки перемножения и блоки суммирования.

Устройство управления, реализуемое структурой прототипа, позволяет исключить из структуры системы управления блок решения обратной задачи кинематики, которое заменено решением обратной задачи динамики, не требуется наличия аппроксимирующих устройств и интерполяторов в структуре системы управления роботом, что позволяет исключить соответствующие составляющие погрешности задания, связанные с приближенностью расчетов [Бурдаков С.Ф., Дьяченко В. А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М., Высшая школа, 1986, 246 с., с.60], и, следовательно, снизить погрешность отработки планируемых траекторий движения, а также организовать движение робота во всем классе квадратичных форм внешних или обобщенных координат.

Признаки прототипа, общие с заявляемым техническим решением, следующие: блок исполнительных механизмов, блок механической системы, представимые двумя интеграторами, блоком матрицы управления, блоком суммирования и блоком нелинейных элементов, планировщик траекторий в пространстве внешних координат, блок датчиков, блок вычисления якобиана решения прямой задачи кинематики, блок вычисления производной по времени от якобиана решения прямой задачи кинематики, блок вычисления решения прямой задачи кинематики, блоки вычисления якобиана желаемых траекторий, блок вычисления производной по времени от якобиана желаемых траекторий, блоки суммирования, вычислительные блоки и блоки перемножения.

Причины, препятствующие достижению требуемого технического результата, заключаются в следующем: алгоритмы управления, реализуемые прототипом, позволяют организовать движение робота вдоль заданных траекторий только с постоянной траекторией (контурной) скоростью, значение которой может принимать только наименьшее из значений кривой максимальной скорости [Н.Н. Болотник, Ф. Л. Черноусько. Оптимизация управления манипуляционными роботами. "Техническая кибернетика", 1, 1990, с.189-238]. Т.е. имеющиеся энергетические возможности приводов используются не в полной мере, и манипуляционный робот не достигает максимально возможной производительности.

Задачей изобретения является повышение производительности манипуляционных роботов при отработке траекторий, определяемых технологической задачей.

Технический результат, достигаемый при осуществлении предлагаемого устройства, заключается в том, что предлагаемые алгоритмы управления обеспечивают движение рабочего органа манипуляционного робота вдоль заданной в пространстве внешних или обобщенных координат траектории с максимально возможной траекторной скоростью. При этом не требуется организации предварительных расчетов поверхностей или линий переключения, а также предварительного определения моментов переключения управляющих воздействий для случая разомкнутого управления.

Технический результат достигается тем, что в устройство, содержащее планировщик траекторий в пространстве внешних координат, блок датчиков, блок вычисления управлений, первый блок суммирования, первый и второй интеграторы, блок формирования нелинейных элементов, блок матрицы управления, выходы которого связаны с первыми входами первого блока суммирования, вторые входы которого подключены к выходам блока формирования нелинейных элементов, первые входы которого связаны с выходами первого интегратора, входы которого подключены к выходам первого блока суммирования, со вторыми входами блока датчиков и входами второго интегратора, а вторые входы блока формирования нелинейных элементов связаны с выходами второго интегратора и первыми входами блока датчиков, первые выходы которого связаны с первыми входами планировщика траекторий в пространстве внешних координат и четвертыми входами блока вычисления управлений, а вторые выходы блока датчиков подключены ко вторым входам планировщика траекторий в пространстве внешних координат, вторые выходы которого связаны с шестыми входами блока вычисления управлений, и к пятым входам блока вычисления управлений, выходы которого связаны со входами блока матрицы управления, введены блок торможения, блок дифференцирования, блок формирования кривой максимальной скорости.

Первые входы последнего связаны со вторыми выходами блока датчиков, со вторыми входами блока дифференцирования, со вторыми входами планировщика траекторий в пространстве внешних координат, с первыми входами блока торможения, вторые входы которого подключены к третьим выходам планировщика траекторий в пространстве внешних координат, третьи входы которого связаны с выходами блока торможения и четвертыми входами блока формирования кривой максимальной скорости, вторые входы которого подключены к первым выходам блока датчиков, к третьим входам блока торможения, к первым входам блока дифференцирования, первые выходы которого связаны со вторыми входами блока вычисления управлений, к первым входам планировщика траекторий в пространстве внешних координат, первые выходы которого связаны с третьими входами блока формирования кривой максимальной скорости, выходы которого подключены к первым входам блока вычисления управлений и к входам блока дифференцирования, вторые выходы которого связаны с третьими входами блока вычисления управлений.

Блок вычисления управлений содержит блок вычисления коэффициентов управления, блок вычисления матричного коэффициента, блок вычисления нелинейных элементов, блок обращения матрицы, блок формирования траекторий, второй, третий, четвертый и пятый блоки суммирования, первый, второй, третий, четвертый и пятый блоки перемножения, блок вычисления произведения матриц Якоби, первые входы которого являются четвертыми входами блока вычисления управлений и подключены ко вторым входам блока вычисления коэффициентов управления, выходы которого связаны с третьими входами второго блока перемножения, ко вторым входам блока вычисления матричного коэффициента, к первым входам блока формирования траекторий и ко вторым входам блока вычисления нелинейных элементов, выходы которого связаны с первыми входами третьего блока перемножения, выходы которого подключены ко вторым входам третьего блока суммирования.

Вторые входы блока вычисления произведения матриц Якоби являются пятыми входами блока вычисления управлений и подключены к первым входам блока вычисления матричного коэффициента, выходы которого связаны со вторыми входами четвертого блока суммирования, ко вторым входам первого блока перемножения, выходы которого связаны со вторыми входами пятого блока суммирования, и к первым входам блока вычисления нелинейных элементов, третьи входы блока вычисления произведения матриц Якоби являются шестыми входами блока вычисления управлений и связаны с первыми входами блока вычисления коэффициентов управления, с третьими входами блока вычисления матричного коэффициента, с третьими входами блока вычисления нелинейных элементов, со вторыми входами второго блока перемножения, выходы которого подключены ко входам блока обращения матрицы, со вторыми входами блока формирования траекторий, выходы которого подключены к третьим входам третьего блока суммирования, с третьими входами третьего блока перемножения, вторые входы которого подключены к выходам второго блока суммирования и первым входам второго блока перемножения, со вторыми входами четвертого блока перемножения, первые входы которого являются первыми входами блока вычисления управлений, а выходы связаны с первыми входами третьего блока суммирования, выходы которого подключены к первым входам пятого блока суммирования, выходы которого связаны с первыми входами пятого блока перемножения.

Первые входы четвертого блока суммирования, выходы которого подключены к первым входам первого бока перемножения, являются вторыми входами блока вычисления управлений, первые входы второго блока суммирования являются третьими входами бока вычисления управлений, вторые входы второго блока суммирования связаны с выходами блока вычисления произведения матриц Якоби, а инверсные выходы блока обращения матрицы подключены ко вторым входам пятого блока перемножения, выходы которого являются выходами блока вычисления управлений.

Блок вычисления кривой максимальной скорости содержит первую схему сборки, блок ключей, блок схем совпадения, первый блок компараторов, блок вычисления ординат вершин, блок вычисления коэффициентов, первые, вторые и третьи входы которого являются соответственно первыми, вторыми и третьими входами блока формирования кривой максимальной скорости, а его выходы подключены ко входам блока вычисления ординат вершин, выходы которого связаны с первыми входами блока ключей и попарно во всех комбинациях со входами первого блока компараторов, прямые и инверсные выходы которого подключены к первым входам блока схем совпадения, причем прямые выходы каждого ij-го компаратора первого блока компараторов подключены к первым входам i-го элемента блока схем совпадения, а инверсные выходы каждого ij-го компаратора первого блока компараторов подключены к первым входам j-го элемента блока схем совпадения.

Вторые входы блока схем совпадения являются четвертыми входами блока формирования кривой максимальной скорости, а выходы блока схем совпадения связаны со вторыми входами блока ключей, выходы которого подключены ко входам первой схемы сборки, выходы которой являются выходами блока формирования кривой максимальной скорости.

Блок торможения содержит вторую схему сборки, второй блок компараторов, блок вычисления оставшегося пути и блок вычисления тормозного пути, первые входы которого являются первыми входами блока торможения, вторые входы являются третьими входами блока торможения, третьи входы являются вторыми входами блока торможения и связаны со входами блока вычисления оставшегося пути, выходы которого подключены к первым входам второго блока компараторов, вторые входы которого связаны с выходами блока вычисления тормозного пути, а выходы второго блока компараторов подключены ко входам второй схемы сборки, выходы которой являются выходами блока торможения.

Теоретическое доказательство наличия причинно-следственной связи между заявляемыми признаками и достигаемым техническим результатом приведено ниже.

Пусть математическая модель динамики манипуляционного робота представлена в неявном виде [М. Шахинпур, "Курс робототехники". М., Мир, 1990, 527 с., с.327]: где A - (nхn)-матрица инерции; Н - (nхn)-тензор коэффициентов кориолисовых и центробежных членов; С - (nх1)-вектор гравитационных составляющих; - (nх1)-вектор управляющих воздействий; векторы обобщенных ускорений, скоростей и координат соответственно; здесь n - число степеней подвижности МР; r - параметры конкретного робота, под которым будем в дальнейшем понимать параметры, определяемые его массогабаритными показателями (длины и массы звеньев, моменты инерции звеньев и двигателей и т.п.).

Зачастую представляется целесообразным рассмотрение модели (1) в форме Коши с дополнением ее решением прямой задачи кинематики [Пшихопов В.Х., Колесников А. А. "Устройство контурного управления манипуляционным роботом". Патент РФ 2146606, бюл. 8, 2000]: где -векторы координат состояния, соответствующие обобщенным координатам и скоростям; -вектор нелинейных элементов; В - (nхn)-матрица управления, В=А^-1; Р - (mх1)-вектор внешних координат, элементы которого являются гладкими решениями прямой задачи кинематики, здесь n - число степеней подвижности МР.

В дальнейшем, без потери общности рассматриваемых результатов, будем предполагать кинематическую безызбыточность МР, для которых справедливо равенство m=n.

Модели в форме (1) и (2) равнозначны и достаточно адекватно отражают динамику манипуляционных роботов. Решение прямой задачи кинематики (3) является промежуточным результатом при выводе уравнений динамики [М. Вукобратович, Д. Стокич, Н. Кирчански. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. M., Мир. 1989, 376 с., с.50].

Пусть желаемые траектории движения, определяемые требованиями технологической задачи, задаются в пространстве R^m внешних координат или в пространстве Rⁿ обобщенных координат в виде [Пшихопов В.Х., Колесников А.А. "Устройство контурного управления манипуляционным роботом". Патент РФ 2146606, бюл. 8, 2000]: ^m_T = (P), (4) ⁿ_T = (x_2i-1), (5) где - дважды дифференцируемые функции своих аргументов. В соответствии с известными работами [Теория автоматического управления. В 2-х частях. Под ред. акад. Воронова А.А., часть 2-я "Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления", М., "Высшая школа", 1986, 504 с., с.254] задача оптимального по быстродействию управления требует минимизации интегрального критерия вида где t₀, t₁ - соответственно моменты начала и окончания движения.

Пусть при организации оптимального по быстродействию процесса требуется обеспечить J= J_опт= min и удовлетворить ограничениям на управляющие воздействия: Рассмотрим подробнее вид траекторий (4) и (5). Известно, что большинство существующих методов планирования движения рабочего органа МР оперирует пространством внешних координат R^m. Причем набор этих траекторий зачастую ограничен дугами окружностей и отрезками прямых [Фу К., Гонсалес Р., Ли К. "Робототехника", М. , Мир, 1989, 624 с.]. Такое ограничение функциональных возможностей МР определяется в основном достаточно сложной процедурой трансформации траекторий (4) в пространство обобщенных координат Rⁿ и приведением их к виду (5). Аппроксимация траекторий (4) или их интерполяция требует обязательного решения обратной задачи кинематики и поиска компромисса между точностью их задания и производительностью их отработки [Moon K. S. , Kim К. , Azadivar F. Optimum continues path operating conditions for maximum productivity of robotic manufacturing systems. "Rob. And Comput.-Integr. Manuf. ", 19-91, 8, 4, pp. 193-199.]. Уход от решения этих проблем уже обсуждался в работах [Pshikhopov V.H. Analytical Synthesis of the Nonlinear Contour Controllers for Manipulating Robots. Abstracts Book of Int. Conf. "Mathematical Theory of Network and Systems", July 6-10, 1998, Padova, Italy, Пшихопов В.Х. Аналитический синтез агрегированных регуляторов манипуляционных роботов. // В сб. "Синтез алгоритмов сложных систем", вып. 9, М., 1997, с.93-110], в которых удалось получить достаточно эффективные алгоритмы управления, позволяющие планировать траектории в виде квадратичных форм координат пространства внешних координат R^m.

Зададим требования и траектории движения в R^m в виде где М_ij - матрицы заданных коэффициентов, dim M_i1=(nхn), dim М_i2=(1хn), dim М_i3=(1х1); 0₁ - нулевая матрица размерности (1х1).

В частности, при m=n=3 верхние две строки вектора ^m_T могут быть представлены уравнениями конуса и секущей плоскости, задающими траектории в виде конических сечений [Корн Г., Корн Т. "Справочник по математике для научных работников и инженеров", М. , Наука, 1984, 832 с.]. В случае m=n=2 соответственно и размерность вектора ^m_T равна двум и его значимый элемент может быть представлен уравнением одной из кривых 2-го порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола или прямая).

Любая из перечисленных кривых может быть сведена к канонической форме в соответствии с известными процедурами [Корн Г., Корн Т. "Справочник по математике для научных работников и инженеров", М., Наука, 1984, 832 с.].

При n= m3 вектор ^m_T(p) дополняется условиями желаемой ориентации рабочего органа МР, требованиями технологической задачи или решениями иных оптимизационных задач. Следует отметить, что задание траекторий в виде квадратичных форм (8) не является необходимым требованием.

Возможны и другие формы задания траекторий (4), (5) как результат использования оптимизационных или иных процедур.

Сформулируем теперь требования к внешним скоростям. В силу желаемого свойства асимптотической устойчивости в целом очевидным является требование = 0, т.е. отсутствие нормальной к траектории ^m_T (8) составляющей скорости. Также очевидным, в силу поставленной задачи, является достижение некоторой скорости вдоль желаемой траектории (8). Иными словами, требования к траекторной скорости в пространстве внешних координат R^m могут быть заданы в виде равенства Вид функции являющейся желаемой траекторной скоростью, оставим пока без обсуждения. Предположим только, что она является непрерывной на всем участке траектории [р₀, р_f] в R^m или на соответствующем участке | x⁰ _2i-1, x^f _2i-1| в Rⁿ.

В силу предположения о дважды дифференцируемых функций и гладкости решений Ф (3), преобразования (9) могут быть представлены в пространстве обобщенных координат Rⁿ в следующем виде: где J^*_Σ/ - матрица Якоби вектор-функции (4), dim J^*_Σ = (nn), J_Ф - матрица Якоби вектор-функции Ф (3), dim J_Ф = (nхn), 0₂ - нулевой вектор размерности (n-1)х1.

Очевидно [Корн Г. , Корн Т. "Справочник по математике для научных работников и инженеров", М. , Наука, 1984, 832 с.], что линия пересечения многообразия (8) и (10), при учете выражений (3), определяет желаемую траекторию движения в фазовом пространстве обобщенных координат: = ⁿ_T+Rⁿ_C = 0, (13) где R - положительно определенная матрица задаваемых констант, dim R= (nхn).

В работах [Пшихопов В.Х. Аналитический синтез агрегированных регуляторов манипуляционных роботов. // В сб. "Синтез алгоритмов сложных систем", вып. 9, М., 1997, с.93-110. Pshikhopov V.H. Analytical Synthesis of the Nonlinear Contour Controllers for Manipulating Robots. Abstracts Book of Int. Conf. "Mathematical Theory of Network and Systems", July 6-10, 1998, Padova, Italy. Pshikhopov V.H., Kolesnikov A.A. Synergetic Approach to the Synthesis of Multiply Connected control Systems for Perspective Aggregates. Proc VI-th SAUM Inter. Confer, on Systems, Automation Control and Measurement. Nis, Yugoslavia, pp. 423-427. Пшихопов В.Х., Колесников A.A. "Устройство контурного управления манипуляционным роботом". Патент РФ 2146606, бюл. 8, 2000] уже обсуждалась процедура синтеза контурных регуляторов при V_k=const, обеспечивающих асимптотическую устойчивость траекторий (13) во всем фазовом пространстве R^nxn обобщенных координат и, следовательно, желаемых траекторий движения (4) и (5) и заданных скоростных многообразий (9) и (10).

Используя изложенные в этих работах процедуры, с учетом функциональной зависимости вектора V от координат пространства состояний, получим следующий алгоритм траекторного управления [Pshikhopov V. Kh. New Approach to the Design of the Near Time Optimal Path Following Controller for the Manipulating Robots. Proceedings CD and Abstracts Book of Int. Conf. "Mathematical Theory of Network and Systems", Perpignian, France, June 19-23, 2000]: = -K^-1₁[K₂x_2i+K₃], (14) где Т - положительно определенная (nхn)-матрица задаваемых констант.

Предложенный алгоритм управления предполагает планирование траекторий в соответствующих подпространствах пространства ^mхm; последующий переход в пространство R^nхn посредством решения прямой задачи кинематики (3); синтез управляющих воздействий в соответствии с выражениями (14), которые стабилизируют желаемые фазовые траектории во всей области достижимости соответствующих пространств фазовых координат. Следует отметить, что элементы матриц Т и R определяют характер движения замкнутой системы к многообразию (13) и должны выбираться из условия максимального использования энергетических возможностей МР [Пшихопов В.Х. Аналитический синтез агрегированных регуляторов манипуляционных роботов. // В сб. "Синтез алгоритмов сложных систем", вып. 9, М., 1997, с.93-110].

Рассмотрим вопрос формирования контурной скорости V_k (10), удовлетворяющей поставленной задаче.

Известно [Huang H.P., McClamroch N.H. Time-optimal Control for a Robotic Contour following Problem. "IEEE J. Rob and Autom." 1988, 4, 2, p.p. 140-149] , что в задаче оптимального по быстродействию управления минимизация времени перемещения эквивалентна максимизации скорости движения по траектории. Процедура получения профиля максимальной скорости на траектории движения достаточно подробно рассмотрена в работах Сhеn Y., Chien S.Y.-P., Desrochers A.A. General structure of time-optimal control of robotic manipulators moving along prescribed paths. "IEEE Int. J. Control", 1992, 56, 4, pp. 767-782. Shiller Z., Dubovsky S. On the Time Optimal Control of Robotic Manipulators with Actuator and End-effector Constraints. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom. , St. Louis, March 25-28, 1985, Silver Spring, Md, 1984, 614-620; Н. Н. Болотник, Ф.Л. Черноусько. Оптимизация управления манипуляционными роботами. "Техническая кибернетика", 1, 1990, с.189-238.

Используя в качестве параметра траектории S(t) - длину пройденного вдоль нее расстояния, обобщенные координаты q(t) можно представить в функции, зависящей от S(t): q(t)=M(S(t)), q(t₀)=M(S₀), q(t_f)=M(S_f), (15) где t₀, t_f - начальный и конечный моменты времени; S₀, S_f - начальное и конечное значения функции S(t).

Как известно [Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М., Наука, 1967, 608 с., с. 394], если траектория (4) задается на плоскости (m=n=2) в явном виде: у=f(х) или x=g(y), (15-а) то длина дуги кривой, описываемой выражениями (4), соответствующая пройденному вдоль кривой (4) пути S, может быть определена как S_0х=S(x(t₀))=S(X₀), S_0y=S(y(t₀))=S(Y₀) или в общем случае S(t) = S(P(t))-S₀, (15-с) S₀= S(P(t₀))=S(P₀), где ' означает соответствующую производную по аргументу функций (15-а); x₀, y₀ - соответственно координаты точки Р₀ начала движения, принадлежащей желаемой траектории (15-а), ₀ - момент начала движения рабочего органа МР вдоль траектории (15-а).

Связь между траекториями вида (15-а) и траекториями вида (4) при m=n=2 является очевидной [Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М., Наука, 1967, 608 с., с. 205-212].

Следует отметить, что при задании требований к траектории движения рабочего органа МР в более общем виде, в частности, при m=n=3 выражения (4) могут быть также сведены к виду (15-а) [Шикин Е.В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. М., Фазис, 1997, 336 с., с. 261-262].

Таким образом, задание траектории в виде (4) или требований к траектории движения рабочего органа МР вида (8) в пространстве R^m внешних координат при задании точки Р₀ начального положения схвата однозначно, в силу выражения (15-с), определяет значение параметра S(P(t)) в функции внешних координат Р.

Кроме того, учитывая выражение (3), однозначно определяющее связь между вектором внешних Р и обобщенных q=x_2i-1 координат, с учетом выражения (8) можно получить функциональную зависимость параметра S от обобщенных координат q= x_2i-1, определяемую кинематикой МР и желаемой траекторией движения рабочего органа, вида S(t)=S(x_2i-1(t))-S₀, - (15-d) S₀=S(x_2i-1(t₀)).

В случае задания траекторий в виде выражений (5) зависимости вида (15-d) могут быть получены непосредственно на основании второго равенства выражения (15 -b).

Указанное обстоятельство позволяет получить функциональную зависимость вида (15), которая однозначно определяется желаемой траекторией движения рабочего органа МР (4) или (5), а также уравнениями динамики МР (1), что позволяет получить уравнение динамики МР в функции параметра траектории S.

Беря первую и вторую производные от обеих частей первого из равенств (15) и подставляя их в уравнение (1), получим [Chen Y., Chien S.Y.-P., Desrochers A. A. General structure of time-optimal control of robotic manipulators moving along prescribed paths. "IEEE Int. J. Control", 1992, 56, 4, pp. 767-782; Н.Н. Болотник, Ф.Л. Черноусько. Оптимизация управления манипуляционными роботами. "Техническая кибернетика", 1, 1990, с.189-238] где A, H, C - матрицы соответствующих размерностей, определенные в уравнении (1).

Матричная форма записи уравнений (16) позволяет однозначно перейти к скалярной форме записи для каждого i-го звена МР. Запишем уравнение (16) в скалярной форме: Параметры d_i, 1_i, с_i, являющиеся элементами соответствующих векторов D(S), L(S), C(S), определяемых выражениями (16-а), в силу функциональной зависимости параметра S от обобщенных координат q=x_2i-1 и функциональной зависимости матриц А, Н, С от обобщенных координат q, скоростей и параметров робота r [Шахинпур М. Курс робототехники. М., Мир, 1990, 527 с., с 327; Фу К. , Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М., Мир, 1989, 624 с., с. 117-121; Воробьев Е.И., Козырев Ю.Г., Царенко В.И. Промышленные роботы агрегатно-модульного типа. М., Машиностроение. 1989, 240 с., с. 150; Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы. (Динамика, управление, оптимизация). М. , Наука, 1989, 368 с., с.73-83.] однозначно определяются текущими значениями обобщенных координат и скоростей, а также параметрами конкретного робота, определяемыми его массогабаритными показателями (длины и массы звеньев, моменты инерции двигателей и т.п.) и его кинематической схемой.

Подстановка неравенств (7) в уравнение (17) позволяет получить следующие выражения: Для любого сочленения i-e неравенство (18) определяет ограниченную открытую область, образованную парой параллельных прямых на плоскости для заданного значения S. Число n таких неравенств образует на плоскости многоугольник допустимых значений скоростей и ускорений [Chen Y., Chien S. Y. -P., Desrochers A.A. General structure of time-optimal control of robotic manipulators moving along prescribed paths. "IEEE Int. J. Control", 1992, 56, 4, pp.767-782].

Движение МР может иметь место только внутри многоугольника . При различных значениях S эти многоугольники имеют различный вид [Chen Y., Chien S. Y. -P., Desrochers A.A. General structure of time-optimal control of robotic manipulators moving along prescribed paths. "IEEE Int. J. Control", 1992, 56, 4, pp. 767-782].

Очевидно, что значение допустимой траекторной скорости лежит между 0 и некоторой максимальной скоростью Множество всех вдоль траектории S(t) образует кривую максимальной скорости на плоскости Таким образом, формируя кривую максимальной скорости и используя ее в траекторном многообразии _S(9), т.е. принимая мы можем обеспечить максимальное по быстродействию траекторное управление МР, а определение глобального минимума функции максимальной скорости на интервале [S₀, S_f] позволяет однозначно и корректно определить максимально возможное постоянное значение контурной скорости, необходимое для организации, например, операций лазерного кроя, дуговой сварки и т.п.

В соответствии с неравенствами (18) ординаты вершин многоугольника могут быть вычислены в соответствии с выражениями где = C² _2n-n - количество вершин многоугольника , здесь n - число звеньев.

Максимальная из вершин, определяемы