Нейронная сеть для деления чисел, представленных в системе остаточных классов

Нейронная сеть для деления чисел, представленных в системе остаточных классов

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Изобретение относится к вычислительным модулярным нейрокомпьютерным системам и предназначено для выполнения операции деления над числами, представленными в системе остаточных классов (СОК).

Известно устройство для деления чисел в системе остаточных классов (Овчаренко Л.А., Лопатин Д.С. Деление числа в модулярном коде на основание системы счисления // Телекоммуникации. - 2002. - №6. - С.7-10), содержащее табличные вычислители, когерентный преобразователь модулярного кода, устройство отображения и сумматор по модулю.

Недостатком данного устройства является большой объем оборудования и низкая скорость деления чисел.

Наиболее близким к данному изобретению техническим решением является устройство, представленное в виде "Нейронной сети для округления и масштабирования чисел, представленных в системе остаточных классов" (Решение о выдаче патента по заявке №2003115586/09(016529) от 26.05.2003), содержащее входной слой нейронов, нейронную сеть конечного кольца (НСКК) определения ранга числа, нейронную сеть конечного кольца вычисления остатка по основанию n+1, n - нейронных сетей конечного кольца вычисления масштабированного числа.

Недостатком устройства является большой объем оборудования и низкая скорость округления.

Однако такие нейронные сети предназначены для округления и масштабирования чисел, представленных в системе остаточных классов.

Целью данного изобретения является расширение возможностей известной нейронной сети для выполнения операции деления чисел, повышения скорости деления и уменьшения объема оборудования.

Поставленная цель достигается тем, что в нейронную сеть введена нейронная сеть конечного кольца для определения остатка делителя. Таким образом, нейронная сеть для деления чисел, представленных в системе остаточных классов, будет состоять из входного слоя 2 с нейронами 3, нейронной сети для вычисления остатка делителя 4, состоящей из нейронных сетей конечного кольца 5 по модулям СОК р₁, р₂,...,p_n делимого и нейронных сетей конечного кольца 6 по модулю делителя, нейронных сетей конечного кольца 14 для вычисления произведений , нейронной сети конечного кольца 11 для выполнения финального шага при выполнении делителя остатка и выходной нейронной сети частного 7, состоящей из НСКК 8.

Структура нейронной сети зависит от внешних параметров, которые определяются модулями делимого, делителя и частного. Функционирование нейронной сети определяется весовыми коэффициентами, которые являются константами СОК и определяются заранее. Обучение сети не требуется.

Число А представляется в СОК набором наименьших неотрицательных остатков α₁,α₂,...,α_n от деления А на попарно простые числа р₁,p₂,...,р_n, называемые модулями (основаниями). При этом число А записывается в СОК в следующей форме

где .

Число А лежит в пределах - Р≤А<Р, где Р=р₁·р₂·...·р_n.

При выполнении этого условия представление (1) взаимно однозначно с обычным представлением А в позиционной системе счисления, т.е. по (α₁,α₂,...,α_n) можно определить А.

Деление числа в СОК сводится к отбрасыванию от делимого соответствующим образом подобранного остатка, определяющегося делителем. Ниже выводится алгоритм деления числа А на число D с отбрасыванием остатка в предположении, что D либо целое положительное число, попарно простое с p₁,р₂,...,р_n, либо целое положительное число, представляющее собой произведение чисел, попарно простых с p₁,р₂,...,р_n. Алгоритм деления получается, исходя из следующих рассуждений.

Если А делится на D без остатка, то операция деления является модульной операцией и сравнительно просто реализуется на НСКК. Поэтому алгоритм деления в качестве вспомогательной операции включает операцию нахождения числа , которое делится на D без остатка. Операция нахождения заменяет операцию отбрасывания остатка от деления. При нахождении используется алгоритм определения остатка делителя путем расширения системы оснований, где в качестве расширяемого основания используется делитель. Пусть

Тогда

где .

Из выражения (3) видно, что делится без остатка на D.

Рассмотрим алгоритм определения остатка делителя.

Пусть СОК состоит из оснований р₁, р₂, ..., р_n. Диапазон чисел этой системы будет . Добавим к числу оснований СОК делитель D=р_n+1. Диапазон этой системы равен . Тогда любое число А из диапазона [0, P_n+1) в обобщенной позиционной системе счисления (ОПСС) представим как , где а_i - коэффициенты обобщенной позиционной системы счисления.

Если число А будет лежать в первоначальном диапазоне [0, Р_n), то в обобщенной позиционной системе цифра a_n+1=0. Этот факт и используется для получения остатка делителя от деления числа А на новое основание СОК р_n+1, которое отождествляется с делителем.

Пусть число А имеет представление (α₁,α₂,...,α_n) по основаниям p₁,p₂,...,р_n. Добавим новое основание p_n+1=D, тогда число в системе оснований р₁,р₂,...,р_n, D=p_n+1, где - остаток от деления числа А на р_n+1, т.е. искомая цифра по новому основанию, равному делителю D.

Для определения этой цифры используется метод перевода числа из СОК в ОПСС, включая неизвестную цифру в проводимые операции. При этом мы параллельно получаем цифры в ОПСС a₁,a₂,...,а_n и выражение для цифры a_n+1=0. Из полученных соотношений и определяем остаток числа по модулю делителя .

Расширим число А в системе оснований р₁,р₂,...,р_n, р_n+1, тогда

где - диапазон расширенной системы оснований,

- ортогональные базисы расширенной системы оснований.

Представим ортогональные базисы в обобщенной позиционной системе счисления, тогда

где - коэффициенты ОПСС; i,j=1,2,...,n.

На основании (5) запишем выражение (4) в виде

Из выражения (6) можно определить коэффициенты обобщенной позиционной системы счисления а_i числа А, тогда

где α_i - вычеты числа А по р_i;

- ортогональные базисы, представленные в ОПСС.

Цифра а_i в представлении ОПСС получается суммированием по модулю p_i всех произведений и переносом, генерируемым при формировании a_i-1. Перенос генерируется как число раз, когда сумма цифр в ОПСС переполняется по модулю p_i. Этот перенос используется для формирования цифр a_i+1. Последний перенос, генерируемый при получении последней цифры числа в ОПСС, отбрасывается. Рассмотренный метод выполняется в параллельном режиме. Цифры α_i, принимают от 0 до p_i-1, причем являются константами, поэтому произведение можно поместить в ПЗУ или в весовые коэффициенты связей между нейронами. Адресами произведений являются вычеты α_i числа А по модулю p_i.

Для иллюстрации определения констант приведем пример 1.

Пример 1. Пусть p₁=2, p₂=3, p₃=5, D=7, Р_n+1=2·3·5·7=210, B₁=105, B₂=70, В₃=126, B₄=120.

Далее на основании (5) определим :

Пример 2. Пусть задана система модулей р₁=2, р₂=3, р₃=5, тогда Р_n=2·3·5=30. И пусть задано число X=23=(1, 2, 3). Расширим систему оснований, где в качестве р_n+1 возьмем делитель D=7. Необходимо определить остаток по основанию, равному делителю.

Пусть X=23=(1, 2, 3, |A|₇) в системе оснований р₁=2, р₂=3, р₃=5, р₄=D=7.

Воспользуемся константами , приведенными в (8), которые заданы матрицей

Процесс решения задачи приведем в таблице 1.

Таблица 1
Вычеты числа Х по модулю pi	Модули
p1=2	p2=3	p3=5	p4=7
1	1	1	2	3
2	0	4	2	4
3	0	0	3	12
|A|7	0	0	0	4|A|7
Коэффициенты ОПСС числа A	1	2	3	6+4|A|7

Так как , но по условию a₄=0, т.е. 4|A|₇=-6 или . Мультипликативная обратная величина , и так как число 6 отрицательное, возьмем его дополнение по модулю 7.

Итак, вычет числа А по модулю p₄=D=7 определяется выражением |A|₇=2·(7-6)=2.

Так как результат образования цифры в СОК по новому основанию p_n+1=D зависит только от первых цифр, то операцию определения вычетов можно проводить сразу по нескольким делителям, попарно простым с основаниями СОК.

Преимущество предложенного метода определения вычетов исходного числа по нескольким делителям состоит в том, что:

- все вычисления выполняются в параллельных каналах по отдельным модулям;

- не требуется вычисления большого количества дополнительных величин, необходимо только наличие констант и мультипликативных величин по расширенным основаниям;

- возможно получение расширенного представления вычетов числа сразу по нескольким дополнительным основаниям, что не влияет на быстродействие всей операции расширения.

На основании проведенных расширений алгоритм деления числа А на число D с отбрасыванием остатка можно представить как последовательность следующих операций:

определение α_n+1 на основе вычислительной модели (7);

вычисление на основе вычислительной модели (3);

нахождение частного от деления на D

Эта операция представляет собой совокупность модульных операций, реализующих выражение

В случае, если p_i - простые числа

Величины d₁,d₂,...,d_n не зависят от А и они вычисляются заранее по заданному D, т.е. числа d₁,d₂,...,d_n являются константами операции. Алгоритм деления числа А на число D, являющееся произведением чисел, попарно простых с р₁,р₂,...,р_n, может быть представлен как последовательность алгоритмов деления числа на числа, попарно простые с p₁,p₂,...,p_n.

Пример 3. Пусть задана система оснований, как в примере 1. Требуется число А=(1, 2, 3) разделить на D=7.

В примере 2 вычислен остаток по модулю D и он равен α₄=2.

После этого вычисляются по формуле (3)

Далее вычисляем по формуле (11) d₁=|7⁰|₂=1, d₂=|7¹|₃=1 и d₃=|7³|₅=3.

Наконец, по формуле (10) вычисляем частное F=(|1·1|₂, |1·0|₃, |1·3|₅)=(1, 0, 3).

Нетрудно проверить, что F=23:7≈3→(1, 0, 3).

Предложенный алгоритм деления отличается от известного тем, что его реализация полностью состоит из модульных операций по модулю p_i и его можно легко реализовать нейронными сетями конечного кольца.

На чертеже представлена схема нейронной сети для деления чисел, представленных в СОК.

Принцип работы данного изобретения излагается ниже.

Нейронная сеть, приведенная на чертеже, позволяет выполнять операции деления исходного числа (α₁,α₂,...,α_n) 1 на число D, соответствующее расширяемому модулю p_n+1.

Остатки делимого (α₁,α₂,...,α_n) 1 по системе оснований р₁,р₂,...,р_n поступают на вход нейронов 3 входного слоя 2, остаток делителя с учетом переносов 10 формируется нейронной сетью 4, состоящей из НСКК 5, 6, 14, финальный шаг которого вычисляется НСКК 11, а результат (частное) в остатках появляется на выходе нейронной сети частного 7, выходы 9.

С выходов нейронов 3 входного слоя 2 остатки делимого (α₁,α₂,...,α_n) по модулям р₁,р₂,...,р_n поступают на вход нейронной сети 4, состоящей из НСКК 5, 6, по соответствующим модулям. Весовые коэффициенты 12 нейронов НСКК 5, 6, выполняющие роль распределенной памяти, определяются значениями . НСКК 5, 6 вычисляют значение с учетом переносов 10. Выходные значения НСКК 5, 6 с весовыми коэффициентами 13, равными 1, подаются на вход НСКК 14 для выполнения суммирования значений .

Результаты суммирования с выхода НСКК 14 по модулю D (делителя), соответствующему остатку делителя, в дополнительном коде подаются на вход нейронной сети НСКК 11 для выполнения финального шага, весовой коэффициент которого 15 определяется мультипликативной величиной . На выходе НСКК 11 формируется остаток делителя, равный , который поступает на первые входы нейронной сети 7 НСКК 8. На вторые входы НСКК 8 с входного слоя поступают остатки делимого α₁,α₂,...,α_n. Весовые коэффициенты 16 НСКК 8 определяются выражением , где i=1,2,...,n. Используя распределительный закон алгебры, выходные НСКК 8 реализуют вычислительную модель , на выходах которой формируется частное 9.

Время деления числа определяется двумя циклами синхронизации: один цикл для формирования остатка делителя и один цикл для формирования частного.

Работа выполнена по гранту А 04-2.8-755.

Нейронная сеть для деления чисел, представленных в системе остаточных классов, содержащая входной слой нейронов, выходы которых разветвлены на входы нейронных сетей конечного кольца, входящих в состав выходной нейронной сети частного и на входы нейронных сетей конечного кольца по модулям р₁,р₂,...р_n,р_n+1, входящих в состав нейронной сети для вычисления остатка делителя, которая реализует вычислительную модель α_n+1=|A|_D, где А - исходное число, представленное в системе остаточных классов, D - делитель, D=р_n+1, отличающаяся тем, что в нейронную сеть для вычисления остатка делителя введены нейронная сеть конечного кольца для вычисления суммы произведений , где α_i - остатки исходного числа А по модулю р_i, - ортогональные базисы, представленные в обобщенной позиционной системе счисления, i,j=1,2,...n, и нейронная сеть конечного кольца с весовым коэффициентом, равным обратной мультипликативной величине для выполнения финального шага при вычислении остатка от делителя, вход которой соединен с инверсным выходом нейронной сети конечного кольца для вычисления суммы произведений по модулю делителя D, на вход которой подаются значения с выходов нейронных сетей конечного кольца по модулям р₁,р₂,...р_n,р_n+1, выход нейронной сети конечного кольца для выполнения финального шага при вычислении остатка от делителя соединен с первыми входами нейронных сетей конечного кольца, входящих в состав выходной нейронной сети частного, на вторые входы которых поступают остатки исходного числа по модулям р₁,р₂,...р_n, которая реализует вычислительную модель , где , причем d_i являются константами операции, вычисляемыми заранее по заданному делителю D и не зависящими от исходного числа А, на выходной нейронной сети частного получают результат от деления исходного числа на заданный делитель.