Способ измерения давления, способ калибровки и датчик давления на основе нано- и микроэлектромеханической системы

Способ измерения давления, способ калибровки и датчик давления на основе нано- и микроэлектромеханической системы

Иллюстрации

Показать все

Реферат

Предлагаемое изобретение относится к измерительной технике и может быть использовано при измерении давления жидких и газообразных сред.

Известны способы измерения давления с использованием тензорезисторного датчика давления и устройства для измерения давления [1, 2], в которых в качестве терморезисторного датчика температуры применяют терморезистор или питающую диагональ моста тензорезисторного преобразователя, тензорезисторный преобразователь выполняют в виде нано- и микроэлектромеханической системы (НиМЭМС) [3, 4], а преобразование напряжения в измеряемое давление производят с помощью полиномиальных функций.

Недостатком таких способов и устройств является невысокая точность измерения, обусловленная погрешностью, возникающей из-за использования для аппроксимации функций преобразования (функций преобразования напряжений питающей и измерительной диагоналей мостовой схемы в измеряемое давление) полиномиальных функций невысоких степеней.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому решению является, выбранный в качестве прототипа способ измерения давления и тензорезисторный датчик давления на его основе [5]. Он заключается в том, что воздействие измеряемого давления преобразуется в изменение сопротивлений тензорезисторного преобразователя (тензорезисторной НиМЭМС), подключенного к источнику тока, измерении напряжений в измерительной и питающей диагоналях мостовой измерительной цепи и преобразовании измеренных значений напряжений в давление с помощью полинома третьей степени, коэффициенты которого рассчитываются и записываются в постоянное запоминающее устройство на этапе калибровки.

Датчик давления, реализующий такой способ, содержит тензорезисторный преобразователь давления (НиМЭМС) с мостовой измерительной цепью из тензорезисторов, питающая диагональ которой подключена к источнику тока и к аналого-цифровому преобразователю (АЦП), измерительная диагональ мостовой измерительной цепи тоже подключена к аналого-цифровому преобразователю. Имеется вычислительное устройство в виде микроконтроллера, соединенное с аналого-цифровым преобразователем, постоянным запоминающим устройством (ПЗУ) и цифровым интерфейсом, выход которого является выходом датчика. В качестве терморезисторного датчика температуры используется питающая диагональ моста тензорезисторного преобразователя давления (тензорезисторной НиМЭМС). В процессе калибровки датчика осуществляется регистрация сигналов, соответствующих напряжениям в измерительной и питающей диагоналях моста при контрольных значениях давления и температуры. Производится расчет полиномиальных коэффициентов аппроксимирующей функции преобразования и сохранение их в постоянное запоминающее устройство.

Недостатком известного способа и датчика давления на его основе является присутствие погрешности, обусловленной тем, что для аппроксимации функции преобразования напряжений питающей и измерительной диагоналей моста в измеряемое давление, используется полином третьей степени. Результаты аппроксимации функций двух переменных полиномиальными выражениями невысоких степеней при относительно большом количестве контрольных точек часто получаются неудовлетворительными. Увеличение же степени многочлена приводит к возникновению осцилляции интерполяционной кривой, что не соответствует реальной зависимости. Более того, значение давления, вычисленное с помощью полинома, даже в контрольной точке в общем случае не совпадает с исходным контрольным значением. Кроме того, калибровка таких датчиков не технологична, в связи с необходимостью задания точных значений давления в контрольных точках, что требует большого количества времени, особенно в автоматических системах задания давления.

Задачей предлагаемого изобретения является повышение точности измерения давления и технологичности за счет использования бигармонической сплайн интерполяции по контрольным точкам и проведения большей части вычислений на этапе калибровки.

Техническим результатом изобретения является повышение точности измерения давления и технологичности за счет использования бигармонической сплайн интерполяции по контрольным точкам и проведения большей части вычислений на этапе калибровки, за счет уменьшения погрешности, возникающей из-за аппроксимации функции преобразования напряжений питающей и измерительной диагоналей моста в измеряемое давление, и полностью исключения ее в контрольных точках.

Это достигается тем, что в способе измерения давления с использованием тензорезисторного датчика давления на основе нано- и микроэлектромеханической системы (НиМЭМС), содержащей мостовую измерительную цепь из тензорезисторов, заключающемся в том, что питающую диагональ мостовой измерительной цепи подключают к источнику постоянного тока и регистрируют напряжения на питающей и измерительной диагоналях мостовой измерительной цепи, подают давление, вначале в режиме калибровки, а затем в режиме измерения, причем в режиме калибровки осуществляют регистрацию данных напряжений на питающей и измерительной диагоналях мостовой измерительной цепи, а в режиме измерения осуществляют вычисление измеренного давления по текущим данным напряжений на питающей и измерительной диагоналях мостовой измерительной цепи и данным, зарегистрированным в режиме калибровки, в соответствии с предполагаемым изобретением, в режиме измерения значение измеренного давления P_i вычисляют путем бигармонической сплайн интерполяции по контрольным точкам, исходя из сохраненного на этапе калибровки вектор-столбца W(Р_э, U_iz, U_pt) по формуле

P i = G T × W ,           ( 1 )

причем элементы вектор-столбца G вычисляют по формуле

G j = ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) − 1 )   ,     ( 2 )

где j=1…N - номер элемента вектор-столбца; N - количество контрольных точек; U_iz, U_pt - сохраненные на этапе калибровки вектор-столбцы, напряжений измерительной и питающей диагоналей в контрольных точках (соответственно), P_э - эталонное давление; U_i, U_p - значения напряжений измерительной и питающей диагоналей в момент измерения давления; G^T - транспонированный вектор-столбец G; символ «×» обозначает матричное произведение.

Калибровку для измерения давления осуществляют по способу, заключающемуся в регистрации напряжений измерительной U_iz и питающей U_pt диагоналей мостовой измерительной цепи при установленных контрольных значениях эталонных давления Р_э и температуры и записи вектор-столбцов напряжений U_iz, U_pt, в постоянное запоминающее устройство датчика для установления соотношения между выходным сигналом датчика и значениями давления P_i, соответствующими значениям величин, воспроизводимых при эталонном давлении Р_э, в соответствии с предлагаемым изобретением, на основе значений Р_э, U_iz, U_pt в контрольных точках вычисляют и записывают в постоянное запоминающее устройство датчика вектор-столбец W, который рассчитывают по формуле

W = g − 1 × P           ( 3 )

(символ «×» обозначает матричное произведение), где Р - вектор-столбец эталонных значений давления в контрольных точках; g - матрица, диагональные элементы которой равны нулю, а остальные элементы вычисляют по формуле:

g i , j = ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) − 1 ) ,     ( 4 )

где i, j=1…N - номера элементов вектор-столбцов; N - количество контрольных точек; g^-1 - матрица, обратная к g;

Датчик давления на основе НиМЭМС, реализующий предлагаемые способы измерения и калибровки, содержащий мостовую измерительную цепь из тензорезисторов, питающая диагональ которой подключена к источнику тока и ко входу первого аналого-цифрового преобразователя (АЦП), а измерительная диагональ мостовой измерительной цепи подключена ко входу второго аналого-цифрового преобразователя, вычислительное устройство, первый и второй входы которого соединены с выходами первого и второго аналого-цифровых преобразователей, третий вход соединен с постоянным запоминающим устройством (ПЗУ), а выход соединен со входом цифрового интерфейса, выход которого является выходом датчика, в соответствии с предлагаемым изобретением, вычислительное устройство содержит блок преобразования кода АЦП в численное значение напряжения, блок расчета численного значения давления, причем блок преобразования кода АЦП в численное значение напряжения имеет первый и второй входы, являющиеся входами вычислительного устройства, первый и второй выходы блока преобразования кода АЦП в численное значение напряжения соединены с первым и вторым входами блока расчета численного значения давления, а третий вход является третьим входом вычислителя, выход блока расчета численного значения давления является выходом вычислительного устройства, при этом в блоке расчета численного значения давления измеренное давление P_i определяется по формуле P_i=G^T×W, элементы вектор-столбца G по формуле

G j = ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) − 1 ) ,

где j=1…N - номер элемента вектор-столбца; N - количество контрольных точек; U_iz, U_pt - сохраненные на этапе калибровки вектор-столбцы, напряжений измерительной и питающей диагоналей в контрольных точках (соответственно), P_э - эталонное давление; U_i, U_p - значения напряжений измерительной и питающей диагоналей в момент измерения давления; G^T - транспонированный вектор-столбец G; символ «×» обозначает матричное произведение, в постоянном запоминающем устройстве записаны вектор-столбцы U_iz, U_pt и вектор-столбец W, который рассчитан по формуле W=g^-1×Р (символ «×» обозначает матричное произведение), где Р - вектор-столбец эталонных значений давления в контрольных точках; g - матрица, диагональные элементы которой равны нулю, а остальные элементы вычислены по формуле:

g i , j = ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) − 1 ) ,

где i, j=1…N - номера элементов вектор-столбцов; N - количество контрольных точек; g^-1 - матрица, обратная к g.

На фиг.1 изображена структурная схема предлагаемого датчика давления на основе НиМЭМС, реализующая предлагаемые способ измерения и способ калибровки. На фиг.2 приведена структурная схема вычислительного устройства.

Датчик давления на основе НиМЭМС, реализующий предлагаемые способы измерения и калибровки, содержит источник тока 1, мостовую измерительную цепь из тензорезисторов R₁, R₂, R₃, R₄ НиМЭМС 2, первый 3 и второй 4 аналого-цифровые преобразователи, вычислительное устройство 5, цифровой интерфейс 6, постоянное запоминающее устройство 7. Вычислительное устройство 5 включает в себя блок 8 преобразования кода АЦП в численное значение напряжения, блок 9 расчета численного значения давления. Численное значение давления вычисляется по данным хранящихся в постоянном запоминающем устройстве контрольных значений в соответствии с формулами (1-4).

Датчик давления работает следующим образом. Мостовая измерительная цепь из тензорезисторов R₁, R₂, R₃, R₄ НиМЭМС 2 питается от источника постоянного тока 1 (фиг.1). В результате воздействия давления возникают деформации тензорезисторов, включенных в мостовую измерительную цепь НиМЭМС 2. Изменение сопротивлений тензорезисторов R₁, R₂, R₃, R₄ преобразуется мостовой измерительной цепью в выходное напряжение U_i. Напряжение U_p питающей диагонали моста зависит от температуры тензорезисторного преобразователя (НиМЭМС 2). Напряжения U_p, U_i, с измерительной и питающей диагоналей моста поступают на вход первого 3 и второго 4 аналого-цифровых преобразователей. Выходы аналого-цифровых преобразователей соединены с первым и вторым входами вычислительного устройства 5, являющиеся также первым и вторым входами блока 8 преобразования кода АЦП в численное значение напряжения. Вычисленные данным блоком значения напряжений питающей U_p и измерительной U_i, диагоналей подаются в блок 9 расчета численного значения давления, который вычисляет численное значение P_i измеренного давления. Вычисленное численное значение давления подается на вход цифрового интерфейса 6, формирующего выходной сигнал датчика.

Для расчета численного значения давления на основе напряжений U_p, U_i в блоке 9 (расчета численного значения давления) используются выражения (1, 2) и сохраненные в постоянное запоминающее устройство 7 на этапе калибровки датчика вектор-столбцы U_iz, U_pt, W.

Калибровка осуществляется путем регистрации напряжений измерительной U_iz и питающей U_pt диагоналей мостовой измерительной схемы при установленных контрольных значениях эталонных давления P_э и температуры и записи вектор-столбцов напряжений U_iz, U_pt и вычисленного по формулам (3, 4) вектор-столбца W в постоянное запоминающее устройство 7 датчика.

Процесс вычисления вектор-столбца W в процессе калибровки и работу блока расчета численного значения давления при измерении давления рассмотрим на примере.

Исходными данными для вычисления вектор-столбца W в процессе калибровки являются:

- количество контрольных точек N (в данном примере N=10);

- значения P_э, U_iz и U_pt в контрольных точках.

Значения Р_э, U_iz и U_pt, рассматриваемые в примере, приведены в таблице 1.

Таблица 1
i(номер контр. точки)	Uiz, мВ	Upt, B	Рэ, МПа
1	4,582554	6,380528	5,495175
2	1,621968	6,450691	2,524616
3	2,609278	6,669576	3,727882
4	2,888714	6,027266	4,633139
5	3,373462	6,586099	4,972473
6	6,43131	6,24349	7,289475
7	6,72245	6,020871	7,653824
8	7,184984	6,507655	8,443096
9	7,696169	6,305257	9,557901
10	4,680774	6,639363	5,581799

Для вычисления вектор-столбца W на этапе калибровки предварительно производится расчет матрицы g размером N×N. Диагональные элементы (i=j) матрицы g заполняются нулями. Остальные элементы (i) вычисляются по формуле (4):

g i , j = ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) − 1 )

где i, j=1…N - номер контрольной точки исходных данных.

Элементы матрицы g для значений исходных данных примера приведены в таблице 2.

Таблица 2
	j
i		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	0,751308	-1,23175	-1,35238	-1,19714	-1,31538	-1,06089	-0,28759	1,319978	-0,17507
2	0,751308	0	-1,01122	-1,26765	-1,34723	13,24291	16,58107	22,16645	29,69377	1,126305
3	-1,23175	-1,01122	0	-0,66533	-0,74637	5,13133	7,39473	10,93	16,36564	-1,16581
4	-1,35238	-1,26765	-0,66533	0	-0,71222	3,359788	5,05363	8,670809	13,26027	-1,29625
5	-1,19714	-1,34723	-0,74637	-0,71222	0	1,173529	2,568914	4,91594	8,744114	-1,25174
6	-1,31538	13,24291	5,13133	3,359788	1,173529	0	-0,26915	-0,78122	-1,22497	-1,3372
7	-1,06089	16,58107	7,39473	5,05363	2,568914	-0,26915	0	-0,63047	-1,01429	-1,10283
8	-0,28759	22,16645	10,93	8,670809	4,91594	-0,78122	-0,63047	0	-0,483 1	-0,50713
9	1,319978	29,69377	16,36564	13,26027	8,744114	-1,22497	-1,01429	-0,483 1	0	1,01092
10	-0,17507	1,126305	-1,16581	-1,29625	-1,25174	-1,3372	-1,10283	-0,50713	1,01092	0

Вектор-столбец W вычисляется исходя из вектор-столбца P данных о давлении P_э в контрольных точках и вычисленной матрице g по формуле (3):

W=g^-1×Р,

где g^-1 - обратная матрица к g. Символ «×» обозначает матричное произведение.

Элементы вектор-столбца W для значений исходных данных примера приведены в таблице 3.

Таблица 3
W
-0,04808
1,09125
-1,64613
0,164894
0,16566
-0,31783
-0,11438
-1,59579
1,469874
-0,74517

Значения вектор-столбцов U_iz, U_pt и W сохраняются в ПЗУ на этапе калибровки.

В процессе эксплуатации датчика, при измерении давления, входными данными блока 9 расчета численного значения давления являются численные значения напряжений в измерительной U_i и питающей U_p диагоналях. Выходным сигналом блока 9 является численное значение измеряемого давления P_i. В данном примере значения напряжений измерительной и питающей диагоналей при измерении давления выбраны равными U_i=3 мВ и U_p=6,2 В.

Блоком 9 расчета численного значения давления вычисляются элементы вектор-столбца G по формуле (2):

G j = ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) − 1 ) ,

где j=1…N - номер элемента вектор-столбцов, сохраненных в постоянном запоминающем устройстве контрольных напряжений U_iz и U_pt.

Значения элементов вектор-столбца G для значений исходных данных примера приведены в таблице 4.

Таблица 4
G
-1,35605
-1,30081
-0,55709
-0,10903
-0,46786
2,744021
4,382429
7,64568
12,06956
-1,35116

Вычисление рассматриваемым блоком 9 численного значения измеряемого давления P_i производится исходя из сохраненного на этапе калибровки вектор-столбца W и вычисленного (используя исходные данные U_i, U_p) значения вектор-столбца G по формуле (1):

P_i=G^T×W,

где G^T - транспонированный вектор-столбец G, то есть вектор-строка. Символ «×» обозначает матричное произведение.

Для исходных значений рассмотренного примера измеренное давление равно:

P_i=4,6406 МПа.

На фиг.3а показаны контрольные точки, используемые в примере, и результат их интерполяции полиномом третьей степени. На фиг.3б показан результат бигармонической сплайн-интерполяции тех же данных согласно предлагаемому изобретению. Из рисунков видны отличия интерполяционных поверхностей, полученных различными методами. Интерполяционная поверхность бигармонической сплайн-интерполяции более гладкая и в ней отсутствуют осцилляции на границах диапазона, присущие полиномиальной функции. Так из-за осцилляции на границе, при исходных данных примера (U_i=3 мВ и U_p=6,2 В), полиномиальная интерполяция дает значительно заниженное значение измеренного давления P_i=2,1378 МПа.

Таким образом, при использовании предложенных способа измерения давления, способа калибровки и датчика давления на основе НиМЭМС повышается точность измерения давления за счет уменьшения погрешности, возникающей из-за аппроксимации функции преобразования напряжений питающей и измерительной диагоналей моста в измеряемое давление, и полного исключения ее в контрольных точках. Также повышается быстродействие за счет проведения большей части вычислений (80% при 10 контрольных точках) на этапе калибровки, причем увеличение количества контрольных точек приводит к значительному увеличению вычислений только на этапе калибровки. Так, процентное соотношение затрат времени вычисления при 100 контрольных точках составляет 97% на этапе калибровки к 3% при измерении давления. Технологичность повышается в связи с отсутствием необходимости задания точных значений давления в контрольных точках на этапе калибровки.

Источники информации

1. А.с. СССР №1597623, МПИ G01L 9/04, Бюл. №37 от 07.10.90. Устройство для измерения давления / В.А.Васильев, А.И.Тихонов.

2. Патент РФ №2304762, МПК G01L 9/04, Бюл. №23 от 20.08.2007. Способ и устройство измерения давления / В.И.Садовников, А.П.Кононов, А.Я.Аникин, В.А.Ларионов, А.Л.Шестаков.

3. Патент РФ №2398195, G01L 9/04, Бюл. №24 от 27.08.2010. Способ изготовления нано- и микроэлектромеханической системы датчика давления и датчик давления на его основе / П.С.Чернов, В.А.Васильев, Е.М.Белозубов.

4. Патент РФ 2411474 G01L 9/04, Бюл. №4 от 10.02.2011. Датчик давления повышенной точности на основе нано- и микроэлектромеханической системы с тонкопленочными тензорезисторами / П.С.Чернов, В.А.Васильев, Е.М.Белозубов.

5. Патент РФ №2300745, МПК G01L 9/04, Бюл. №16 от 10.06.2007. Устройство для измерения давления / Ю.ГСвинолупов, В.В.Бычков.

1. Способ измерения давления с использованием тензорезисторного датчика давления на основе нано- и микроэлектромеханической системы (НиМЭМС), содержащей мостовую измерительную цепь из тензорезисторов, заключающийся в том, что питающую диагональ мостовой измерительной цепи подключают к источнику постоянного тока и регистрируют напряжения на питающей и измерительной диагоналях мостовой измерительной цепи, подают давление, вначале в режиме калибровки, а затем в режиме измерения, причем в режиме калибровки осуществляют регистрацию данных напряжений на питающей и измерительной диагоналях мостовой измерительной цепи, а в режиме измерения осуществляют вычисление измеренного давления по текущим данным напряжений на питающей и измерительной диагоналях мостовой измерительной цепи и данным, зарегистрированным в режиме калибровки, отличающийся тем, что в режиме измерения значение измеренного давления P_i вычисляется путем бигармонической сплайн интерполяции по контрольным точкам, исходя из сохраненного на этапе калибровки вектор-столбца W(Р_э, U_iz, U_pt) по формуле P_i=G^T×W, причем элементы вектор-столбца G вычисляют по формуле G j = ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) − 1 )   ,     где j=1…N - номер элемента вектор-столбца; N - количество контрольных точек; U_iz, U_pt - сохраненные на этапе калибровки вектор-столбцы напряжений измерительной и питающей диагоналей в контрольных точках соответственно, P_э - эталонное давление; U_i, U_p - значения напряжений измерительной и питающей диагоналей в момент измерения давления; G^T - транспонированный вектор-столбец G; символ «×» обозначает матричное произведение.

2. Способ калибровки для измерения давления по п.1, заключающийся в регистрации напряжений измерительной U_iz и питающей U_pt диагоналей мостовой измерительной цепи при установленных контрольных значениях эталонных давления P_э и температуры и записи вектор-столбцов напряжений U_iz, U_pt в постоянное запоминающее устройство датчика для установления соотношения между выходным сигналом датчика и значениями давления P_i, соответствующими значениям величин, воспроизводимых при эталонном давлении P_э, отличающийся тем, что на основе значений P_э, U_iz, U_pt в контрольных точках вычисляют и записывают в постоянное запоминающее устройство датчика вектор-столбец W, который рассчитывают по формуле W=g^-1×P (символ «×» обозначает матричное произведение), где P - вектор-столбец эталонных значений давления в контрольных точках; g - матрица, диагональные элементы которой равны нулю, а остальные элементы вычисляют по формуле: g i , j = ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) − 1 )   ,   где i, j=1…N - номера элементов вектор-столбцов; N - количество контрольных точек; g^-1 - матрица, обратная к g.

3. Датчик давления на основе НиМЭМС, реализующий способ измерения по п.1, способ калибровки по п.2, содержащий мостовую измерительную цепь из тензорезисторов, питающая диагональ которой подключена к источнику тока и ко входу первого аналого-цифрового преобразователя (АЦП), а измерительная диагональ мостовой измерительной цепи подключена ко входу второго аналого-цифрового преобразователя, вычислительное устройство, первый и второй входы которого соединены с выходами первого и второго аналого-цифровых преобразователей, третий вход соединен с постоянным запоминающим устройством (ПЗУ), а выход соединен со входом цифрового интерфейса, выход которого является выходом датчика, отличающийся тем, что вычислительное устройство содержит блок преобразования кода АЦП в численное значение напряжения, блок расчета численного значения давления, причем блок преобразования кода АЦП в численное значение напряжения имеет первый и второй входы, являющиеся входами вычислительного устройства, первый и второй выходы блока преобразования кода АЦП в численное значение напряжения соединены с первым и вторым входами блока расчета численного значения давления, а третий вход является третьим входом вычислителя, выход блока расчета численного значения давления является выходом вычислительного устройства, при этом в блоке расчета численного значения давления измеренное давление P_i определяется по формуле P_i=G^T×W, элементы вектор-столбца G по формуле G j = ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i − U i z j ) 2 + ( U p − U p t j ) 2 ) − 1 )   ,     где j=1…N - номер элемента вектор-столбца; N - количество контрольных точек; U_iz, U_pt - сохраненные на этапе калибровки вектор-столбцы напряжений измерительной и питающей диагоналей в контрольных точках соответственно, P_э - эталонное давление; U_i, U_p - значения напряжений измерительной и питающей диагоналей в момент измерения давления; G^T - транспонированный вектор-столбец G; символ «×» обозначает матричное произведение, в постоянном запоминающем устройстве записаны вектор-столбцы U_iz, U_pt и вектор-столбец W, который рассчитан по формуле W=g^-1×P (символ «×» обозначает матричное произведение), где P - вектор-столбец эталонных значений давления в контрольных точках; g - матрица, диагональные элементы которой равны нулю, а остальные элементы вычислены по формуле: g i , j = ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) ( ln ( ( U i z i − U i z j ) 2 + ( U p t i − U p t j ) 2 ) − 1 )   ,   где i, j=1…N - номера элементов вектор-столбцов; N - количество контрольных точек; g^-1 - матрица, обратная к g.